2023-2024學年湖南省醴陵一中、攸縣一中高二上數(shù)學期末綜合測試試題含解析

2023-2024學年湖南省醴陵一中、攸縣一中高二上數(shù)學期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的左、右焦點分別為、，上存在兩點、滿足，，則的離心率為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.3．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.44．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.5．設α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，下列命題中為真命題的是（）A如果，，n∥β，那么B.如果，，，那么α∥βC.如果m∥n，，，那么α∥βD.如果m∥n，，，那么6．已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（）A. B.C. D.7．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.18．已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.9．“”是“方程是圓的方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.11．若雙曲線的焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.12．橢圓的長軸長為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線的左、右焦點，若為雙曲線上一點，且，則__________.14．“五經(jīng)”是《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》的合稱，貴為中國文化經(jīng)典著作，所載內(nèi)容及哲學思想至今仍具有積極意義和參考價值.某校計劃開展“五經(jīng)”經(jīng)典誦讀比賽活動，某班有、兩位同學參賽，比賽時每位同學從這本書中隨機抽取本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則、兩位同學抽到同一本書的概率為______.15．如圖是用斜二測畫法畫出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.16．圓與圓的位置關系為______(填相交，相切或相離).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和18．（12分）已知一張紙上畫有半徑為4的圓O，在圓O內(nèi)有一個定點A，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點在軸上的標準方程；（2）過曲線C的右焦點（左焦點為）的直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.19．（12分）某市共有居民60萬人，為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，……分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中的a值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)（單位：人）；（2）估計該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)20．（12分）在平面直角坐標系中，動點到直線的距離與到點的距離之差為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與交于、兩點，若的面積為，求直線的方程.21．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求的最大值和最小值；（2）說明的圖象由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？22．（10分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】作點關于原點的對稱點，連接、、、，推導出、、三點共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導出，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點關于原點的對稱點，連接、、、，則為、的中點，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因為，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.2、C【解析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C3、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B4、B【解析】根據(jù)球的性質可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B5、C【解析】AB.利用兩平面的位置關系判斷；CD.利用面面平行的判定定理判斷；【詳解】A.如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故錯誤；B.如果，，，那么α，β垂直，故錯誤；C.如果m∥n，，則，又，那么α∥β，故C正確；D錯誤，故選:C6、A【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點坐標表示出來，結合的值即可求得答案.【詳解】設直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當時，，即直線l恒過定點，故選：A.7、B【解析】由可得拋物線標椎方程為：，由焦點和準線方程即可得解.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，所以拋物線的焦點為，準線方程為，所以焦點到準線的距離為，故選：B【點睛】本題考了拋物線標準方程，考查了焦點和準線相關基本量，屬于基礎題.8、B【解析】構造利用導數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性比較大小【詳解】設恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，.故選：B9、A【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】若方程表示圓，則，即，解得或，故“”是“方程是圓的方程”的充分不必要條件，故選：A10、B【解析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因為，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域為，且，令，解得或，令解得，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B11、A【解析】由焦距為可得，又，進而可得，最后根據(jù)焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為即可求解.【詳解】解：因為雙曲線的焦距為，所以，所以，解得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即，故選：A.12、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知：，長軸長為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、17【解析】根據(jù)雙曲線的定義求解【詳解】由雙曲線方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案為：1714、##【解析】計算出、兩位同學各隨機抽出一本書的結果種數(shù)，以及、兩位同學抽到同一本書的結果種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】、兩位同學抽到的結果都有種，由分步乘法計數(shù)原理可知，、兩位同學各隨機抽出一本書，共有種結果，而、兩位同學抽到同一本書的結果有種，故所求概率為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)直觀圖和平面圖的關系可求出，進而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.16、相交【解析】求兩圓圓心距，并與半徑之和、半徑之差的絕對值比較即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∵，∴兩圓相交.故答案為：相交.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設的公差為，由等差數(shù)列的通項公式結合條件可得答案.（2）由（1）可得，由錯位相減法可得答案.【小問1詳解】設的公差為，由已知得且，解得，，所以的通項公式為【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，兩式相減得：，所以，所以18、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O、A為焦點的橢圓；(2)分為l斜率存在和不存在時討論，斜率存在時，直線方程和橢圓方程聯(lián)立，用韋達定理表示的面積，根據(jù)變量范圍可求面積的最大值﹒【小問1詳解】以OA中點G坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖：∴可知，，設折痕與和分別交于M，N兩點，則MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的軌跡是以O，A為焦點，4為長軸的橢圓．∴M的軌跡方程C為；【小問2詳解】設，，則的周長為當軸時，l的方程為，，，當l與x軸不垂直時，設，由得，∵＞0，∴，，，令，則，，∵，∴，∴.綜上可知，S的取值范圍是19、（1）a0.3，72000人；（2）眾數(shù)2.25；中位數(shù)2.04.【解析】（1）根據(jù)所有小長方形面積和為1即可求得參數(shù)，結合題意求得用水量不少于3噸對應的頻率，再求頻數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖直接寫出眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的求法，結合頻率的計算，即可容易求得結果.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，可知：，解得；月均用水量不少于3噸的人數(shù)為：（人）【小問2詳解】由圖可估計眾數(shù)為2.25；設中位數(shù)為x噸，因為前5組的頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，由，可得，故居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.20、（1）；（2）或.【解析】（1）本題首先可以設動點，然后根據(jù)題意得出，通過化簡即可得出結果；（2）本題首先可排除直線斜率不存在時情況，然后設直線方程為，通過聯(lián)立方程并化簡得出，則，，再然后根據(jù)得出，最后根據(jù)的面積為即可得出結果.【詳解】（1）設動點，因為動點到直線的距離與到點的距離之差為，所以，化簡可得，故軌跡方程為.（2）當直線斜率不存在時，其方程為，此時，與只有一個交點，不符合題意，當直線斜率存在時，設其方程為，聯(lián)立方程，化簡得，，令、，則，，因為，所以，因為的面積為，所以，解得或，故直線方程為：或.【點睛】本題考查動點的軌跡方程的求法以及拋物線與直線相交的相關問題的求解，能否根據(jù)題意列出等式是求動點的軌跡方程的關鍵，考查韋達定理的應用，在計算時要注意斜率為這種情況，考查計算能力，考查轉化與化歸思想，是中檔題.21、（1）2，；（2）答案見解析.【解析】(1)根據(jù)，求出范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像即可求值域；(2)根據(jù)正弦函數(shù)圖像變換對解析式的影響即可求解.【小問1詳解】當時，