試論高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計中的實踐

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)重難點內(nèi)容，是學(xué)生后續(xù)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)前提。高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)內(nèi)容，有助于學(xué)生在觀察分析、歸納、猜想、邏輯推理中，有效強化學(xué)生的數(shù)學(xué)知識綜合運用能力，在反復(fù)實踐中逐步內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)，維持高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。因此，結(jié)合新課程改革相關(guān)要求，應(yīng)進一步深化高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計，轉(zhuǎn)變教學(xué)理念、方法，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)高效的教學(xué)氛圍來激勵學(xué)生全身心投入到學(xué)習(xí)中，在清晰掌握數(shù)學(xué)概念、公式和解題方法基礎(chǔ)上，有效培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。新時期綜合分析研究高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計內(nèi)容，深化教學(xué)改革，為枯燥的數(shù)學(xué)課堂注入新的生機與活力，為后續(xù)教學(xué)改革深化提供支持和參考。一、高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計要素分析1.數(shù)學(xué)分析。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)要點內(nèi)容，也是離散函數(shù)主要數(shù)學(xué)模型之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位。指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)等內(nèi)容，具有任意階導(dǎo)數(shù)，在函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)列具有重要作用，可以通過離散化方法來學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容。如，函數(shù)y=f（x）在x0連續(xù)用數(shù)列刻畫，任何一個x0為極限的數(shù)列{xn}，其極限為f（x0），反之同樣成立。函數(shù)思想在數(shù)列問題解決中具有積極作用，通過設(shè)立離散函數(shù)模型，與一次函數(shù)對照學(xué)習(xí)等差數(shù)列，對照指數(shù)函數(shù)來學(xué)習(xí)等比數(shù)列內(nèi)容，便于更加深刻的理解數(shù)列性質(zhì)。通過此種方式，將原本復(fù)雜的問題精簡化為數(shù)列問題，相較于簡單的解決函數(shù)問題。2.課程標準分析。等差數(shù)列關(guān)鍵在于等差，等比數(shù)列關(guān)鍵在于等比，用公式呈現(xiàn)即an-an-1=d和等比=q，是等差數(shù)列、等比數(shù)列概念理解的基礎(chǔ)所在，也是解決數(shù)列問題的主要依據(jù)。在數(shù)列知識學(xué)習(xí)中，應(yīng)該高度關(guān)注學(xué)習(xí)過程，列舉具體實例歸納和總結(jié)數(shù)列特征，如，1，2，3，4，…，n為典型等差數(shù)列，等差數(shù)列特征與前n項和公式均可以在此基礎(chǔ)上歸納和推理出來?？偟恼f來，數(shù)列知識學(xué)習(xí)，是學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識培養(yǎng)的有效載體，可以引入生活中的分期付款和教育儲蓄內(nèi)容，將實際問題轉(zhuǎn)化為教學(xué)問題，有效鍛煉學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力。3.教學(xué)方式分析。高中數(shù)列內(nèi)容教學(xué)中，可以從概念、技能訓(xùn)練與問題解決幾個角度靈活選擇最佳的教學(xué)方法。首先，從學(xué)生思維啟發(fā)角度著手。數(shù)列知識點在鍛煉學(xué)生觀察、分析和解決問題能力方面有著得天獨厚的優(yōu)勢，無論是概念引入還是問題提出均可以有效激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)興趣，可以在講解數(shù)列概念時列出幾個數(shù)列，學(xué)生仔細觀察和總結(jié)共同點，在此基礎(chǔ)更加深刻的理解抽象數(shù)學(xué)概念。結(jié)論分析和推理層面，收集相關(guān)素材來挖掘有價值信息，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。例如，具體講解等差數(shù)列前n項和的公式推導(dǎo)和引用方面，傳統(tǒng)教師課堂上直接介紹公式推導(dǎo)方式存在很大局限性，可以嘗試著問題引導(dǎo)，如，一個工廠中有一批水管材料，上面一層5根，下面各層均超出上一層1根，底層共有9根，如何計算得到水管總數(shù)？通過此種方式，充分調(diào)動起學(xué)生的數(shù)列求解興趣，在觀察分析下總結(jié)和歸納數(shù)列對稱相關(guān)內(nèi)容，任意第k項和倒數(shù)第k項的和均等于首末兩項和，可以幫助學(xué)生明確思路，梳理知識點。其次，注重知識靈活運用。在原有教材內(nèi)容基礎(chǔ)上設(shè)計一些應(yīng)用問題，可以引入教育儲蓄問題來設(shè)計等差數(shù)列例題；等比數(shù)列可以引入分期付款和學(xué)畫曲線問題來引導(dǎo)學(xué)生分析；數(shù)列應(yīng)用內(nèi)容，可以引入斐波那契數(shù)落內(nèi)容計算分析。最后，滲透重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)列知識點中含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法，深層次挖掘教材，從函數(shù)角度去學(xué)習(xí)數(shù)列內(nèi)容，便于數(shù)列性質(zhì)整體化呈現(xiàn)，有效解決學(xué)習(xí)問題。多數(shù)的數(shù)列例題多為“已知數(shù)列滿足某些條件，采用方程式來計算這一數(shù)列?！痹诮忸}過程中，收集已知條件靈活運用數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式方式求解，便于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中靈活運用所學(xué)數(shù)列知識，提升學(xué)習(xí)效率的同時，促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力穩(wěn)步提升。二、高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計分析1.數(shù)學(xué)概念。核心內(nèi)容為“以往的知識點對數(shù)列概念理解有什么影響”“概念變式”以及“數(shù)列概念理解的層次”。作為數(shù)列單元教學(xué)的第一部分內(nèi)容，概念教學(xué)中可以選擇代表性的例題來講解數(shù)列概念，并且在課堂上大致介紹斐波那契數(shù)列知識點，作為教學(xué)補充材料，對開拓思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣有著積極作用。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該堅持學(xué)生主體地位，采用集合類比方式來幫助學(xué)生加深數(shù)列內(nèi)容理解和記憶，豐富知識儲備。通項公式內(nèi)容講解中，類比通項公式與函數(shù)，在此基礎(chǔ)上引出數(shù)列為特殊函數(shù)，采用數(shù)形結(jié)合方法逐步突破重難點。教師可以通過創(chuàng)設(shè)情境來引入數(shù)列內(nèi)容，列舉特殊例子來引入等差數(shù)列、等比數(shù)列相關(guān)內(nèi)容，幫助學(xué)生切身感受數(shù)列概念，在討論和分析中取得結(jié)論，便于增強學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與學(xué)科素養(yǎng)。等差數(shù)列通項公式本身并不難，但如何推導(dǎo)出來則需要多角度分析，改善以往強制性灌輸模式的不足，在情境中啟發(fā)學(xué)生推導(dǎo)公式，令學(xué)生更好的接受和學(xué)習(xí)。例題講解中，題型學(xué)生使用（-1）n，（-1）n+1調(diào)節(jié)項的符號，在例題講述后歸納和總結(jié)此類問題解題方法，幫助學(xué)生更加深刻的理解通項公式屬于特殊函數(shù)范疇這一概念。在后續(xù)的例題講解中，加強師生互動與生生互動，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)通項公式的同時，潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生合作精神和創(chuàng)新意識。對此，教師可以圍繞教學(xué)內(nèi)容來創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，營造師生密切互動的學(xué)習(xí)范圍，彰顯學(xué)生主體地位的同時，理論聯(lián)系實踐來鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)。諸如，在課堂教學(xué)時，可以通過引入“2005年，我國的神舟六號航天飛船發(fā)射成功，在正式發(fā)射飛船前發(fā)令員倒數(shù)讀秒依次是多少？”在教師的支持和引導(dǎo)下，便于學(xué)生保持高度學(xué)習(xí)熱情投入其中，一塊大聲說出“10，9，8，…2，1。”借助實際生活中的實例，巧妙吸引學(xué)生注意力，集中興趣投入到課堂學(xué)習(xí)中。在此基礎(chǔ)上進一步提問“每個細胞每分鐘分裂為2個，每過一分鐘，一個細胞分裂個數(shù)依次是多少？”挑選一名學(xué)生回答問題：“1，2，4，8，16，……”教師繼續(xù)提問：“相信大家很容易就說出三列數(shù)，那么你們仔細思考下他們有什么共同點？”學(xué)生們通過仔細思考，尋找共同點，最終發(fā)現(xiàn)數(shù)字都是按照書序依次列出，最后由教師來總結(jié)歸納，這種按照一定次序排成的數(shù)稱之為數(shù)列。除此之外，還要適當?shù)厥占驼頂?shù)學(xué)史內(nèi)容，將其積極引入到數(shù)列教學(xué)中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，全身心投入到數(shù)列知識學(xué)習(xí)中。如，將棋盤擺放麥粒問題引入到數(shù)列學(xué)習(xí)中，滲透數(shù)學(xué)史內(nèi)容，加深知識理解和記憶同時，有效強化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。此種課堂引入方式，給予學(xué)生充分思考和分析的機會，切身感受數(shù)列概念，把握不同類型數(shù)列，為后續(xù)學(xué)習(xí)深入奠定基礎(chǔ)。2.數(shù)列求和。數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)設(shè)計的重點內(nèi)容，教學(xué)設(shè)計要點在于以下幾點：數(shù)列求和包含哪些基本技能？如何掌握技能訓(xùn)練尺度？如何超越技巧？在數(shù)列求和設(shè)計中，主要選擇q倍錯項相消法、拆項法和裂項求和法開展教學(xué)活動。教師可以選擇學(xué)生相較于熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題著手分析，數(shù)列對應(yīng)項相加后求和，引出拆項法。此種課堂引入方法，與高中生的認知規(guī)律相契合，在后續(xù)練習(xí)題中選擇不同題型鞏固理解，了解拆項法適應(yīng)題型。然后將兩個數(shù)列對應(yīng)項相乘得到數(shù)列求和結(jié)果。發(fā)揮教師引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生深入分析來消除思維障礙，在解題遇到問題時由教師適度指導(dǎo)。q倍錯項消法是一種抽象的解題方法，可以適當?shù)姆怕菔舅俣龋逦菔窘忸}過程，引導(dǎo)學(xué)生深入理解和掌握。最后，介紹裂項求合法，以及對應(yīng)的解題方法，在師生交流中鍛煉學(xué)生的解題能力。諸如，在學(xué)習(xí)了等比數(shù)列、等差數(shù)列求和公式后，在黑板上列出兩個數(shù)列，具體如下：學(xué)生看到黑板上的數(shù)列例題，分別計算通項公式與前n項的和，化繁為簡，學(xué)生計算后展示自己的答案，由教師來選擇一名學(xué)生回答問題。①答案為an=n，Sn=，②答案為對于學(xué)生們可以正確計算得到答案并不意外，可以進一步提問，計算數(shù)列，…通項公式與前n項和。在之前兩道題目的訓(xùn)練基礎(chǔ)下，學(xué)生可以很快的得到答案。在此基礎(chǔ)上，教師提問：“這個數(shù)列屬于等差數(shù)列還是等比數(shù)列？如何確定？”學(xué)生們經(jīng)過討論分析了解到，盡管并非是等差或等比數(shù)列，但每一項均為之前兩個等差等比數(shù)列對應(yīng)項相加得到，所以同對應(yīng)項相加來實現(xiàn)通項公式求和。選擇較為熟悉的等比數(shù)列和等差數(shù)列通項公式與求和內(nèi)容，進一步引出非等差等比數(shù)列求和問題，循序漸進，層層遞進，充分彰顯數(shù)學(xué)化歸思想。在教師引導(dǎo)下，契合學(xué)生認知規(guī)律來鼓勵學(xué)生自主探索和實踐，內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)的同時，切實提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果。又比如，在講解拆項法時，提問什么樣的數(shù)列適合拆項法？如果沒有前兩個數(shù)列鋪墊，第三個數(shù)列能快速得到前n項的和嗎？在黑板上列出：，…學(xué)生自習(xí)思考后即可得到答案Sn=在此基礎(chǔ)上，教師進一步提問，如何思考得到的？學(xué)生們將自己的思路表達出來，是將通項公式拆解為一個等比數(shù)列和等差數(shù)列對應(yīng)項的差，然后再分別求和。最后，教師提問學(xué)生什么樣的數(shù)列適合拆項法求和？最后給出答案，采用拆項法來滿足等差數(shù)列求和。但是需要注意的是，即便是同樣的解題方法，在實際解題中也要靈活運用，有時直接套用即可，有的時候則需要適當轉(zhuǎn)化運用，如果學(xué)生存在思維障礙，教師應(yīng)尊重學(xué)生的個體差異，提供充分時間思考和分析，適當引導(dǎo)和幫助，幫助學(xué)生改進不足，內(nèi)化知識結(jié)構(gòu)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點內(nèi)容，同時也是基礎(chǔ)內(nèi)容，其中數(shù)列求和是數(shù)列教學(xué)重點內(nèi)容，需要掌握一定技巧和方法來解題。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該多選擇引導(dǎo)的方式，鼓勵學(xué)生自行分析、探究和解決問題，而不是教師直接給出答案。給予學(xué)生充分的思考分析時間，選擇不同的解題方法來解決問題，在收獲解題喜悅和成就感同時，在頭腦中更加深刻的理解記憶。但是教師不要過分急于求成，而是要循序漸進，幫助學(xué)生高效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，強化數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，為后續(xù)深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。3.實踐分析。數(shù)列教學(xué)設(shè)計中，應(yīng)堅持學(xué)生學(xué)習(xí)為核心，教師主要是起到引導(dǎo)作用，具體教學(xué)模式的選擇，則是要充分契合不同教學(xué)內(nèi)容靈活選擇，以期取得預(yù)期效果。如，等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)中，認真吸收不同教師的不同詮釋方法，一種是圍繞教師為主體，另一種則是圍繞學(xué)生為主體，對比分析不同的教學(xué)效果。前者以教師講解方式為主，但受限于教師自身能力限制，無法帶給學(xué)生良好的啟發(fā)和引導(dǎo)，因此學(xué)生的思想存在偏差，難以最大程度上調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。同時，由于公式推導(dǎo)過程生硬、枯燥，不可避免的弱化學(xué)習(xí)效果。后者可以將公式推導(dǎo)和梯形面積公式有機整合在一起，營造輕松、舒適、趣味的教學(xué)情境，便于將繁瑣、復(fù)雜的公式推導(dǎo)精簡化，直觀呈現(xiàn)在學(xué)生面前。此種方式，有助于最大程度上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，集中注意力投入其中，取得理想的學(xué)習(xí)效果。對于一些經(jīng)驗豐富的教師，在長期實踐摸索中已經(jīng)沉淀出獨特的想法，并且被實踐證明為有效的學(xué)習(xí)方法。如，等差數(shù)列概念教學(xué)，可以結(jié)合以往所學(xué)的數(shù)列通項公式內(nèi)容，巧妙引入新課內(nèi)容，承上啟下，加深學(xué)生的理解和記憶。如，已知數(shù)列{an}通項公式為an=3n-2。（1）計算a1，a2，a3，a4；(2)計算a2-a1，a3-a2，a4-a3，得到三個數(shù)值后，猜想對任意正整數(shù)n都有an+1-an的值為同一常數(shù)。如