一類集合的構(gòu)造

一類集合的構(gòu)造

1差3種運(yùn)算所產(chǎn)生的最小部分集在本文中，我們介紹了集合宇宙中的過(guò)程、集合的基本過(guò)程以及新集合的結(jié)構(gòu)。設(shè)X是拓?fù)淇臻g,A?X,A的補(bǔ)集,內(nèi)部,閉包分別記A′,A0,A-其定義見(jiàn),又(A′)-簡(jiǎn)記為A′-。其余類推,用Z+表示正整數(shù)集。本文將給出一個(gè)結(jié)論:對(duì)于任何拓?fù)淇臻g中的任何子集A,經(jīng)過(guò)取補(bǔ)集、閉包、內(nèi)部3種運(yùn)算后再進(jìn)行并,交,差3種運(yùn)算最多能產(chǎn)生2214-1個(gè)個(gè)不同的集合。引理1設(shè)X是拓?fù)淇臻g,A?X,,則下列等式成立:1)A--=A-2)A-′-′-′-=A-′-3)A′-′-′-′-=A′-′-4)(A∪B)′=A′∩B′5)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6)A∩A′=?7)(A∩B)′=A′∪B′8)A∩(B∩C)=(A∩B)∩C9)A0=A′-′10)A∪A′=X11)A′′=A12)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)13)A∪(B∪C)=(A∪B)∪C(注:產(chǎn)生的新集合用Ai(i∈Z+)表示)定義1設(shè)A1,A2…,An是全集合U的子集,形為∩i=1nAi∩i=1nAi的集合稱為由A1,A2…,An所產(chǎn)生的最小部分集,其中每個(gè)Ai或A′i。例,由集合A,B,C所產(chǎn)生的全部最小部分集為A∩B∩C,A∩B∩C′,A∩B′∩C,A∩B′∩C′,A′∩B∩C,A′∩B∩C′,A′∩B′∩C。引理2n個(gè)集合所產(chǎn)生的最小部分集最多為2n-1個(gè)。(n∈Z+,k∈Z+)。證明由數(shù)學(xué)歸納法證明1n.1時(shí)，當(dāng)n.1時(shí)，最大最小值的最小組件將合并為1，并可描述為21-1如圖1。2n.2時(shí)，將生成的最小最多部分組為三個(gè)，可以表示為22-1如圖2。3n.3時(shí)，將生成的最小部分組為7個(gè)，可以表示為23-1如圖3。4最小部分集的生成那么當(dāng)n=k+1時(shí),由4)可知。k個(gè)集合最多可以產(chǎn)生2k-1個(gè)最小部分集。要得到k+1個(gè)集合產(chǎn)生的最小部分集,則可增加一個(gè)集合與產(chǎn)生的2k-1個(gè)集合作交集得到。由圖1～3看出,當(dāng)添加一個(gè)集合與原部分作交集時(shí),添加的集合把原來(lái)的集合分成2個(gè)部分,且多出相交以外的部分,即如圖2的第3部分和圖3的第7部分。則由上述可知,當(dāng)n=k+1是最多能產(chǎn)生的最小部分集數(shù)為2(2k-1)+1個(gè)。即2k+1個(gè)。所以,當(dāng)n=k+1時(shí),所產(chǎn)生的最小部分集最多為2k+1-1個(gè)。引理3由A1,A2…,An產(chǎn)生的每個(gè)非空集合恒可以表示為由A1,A2…,An所產(chǎn)生的不同最小部分集的并集。2主要結(jié)果定理1設(shè)X是任意拓?fù)淇臻g,A?X,,則A經(jīng)過(guò)取補(bǔ)集,閉包,內(nèi)部運(yùn)算可產(chǎn)生14個(gè)集合。證明分3種情況討論:1以aaa為a,a-------------------------------------------------------------------------------------------------------------對(duì)A2進(jìn)行閉包,補(bǔ)集,內(nèi)部運(yùn)算:∵A0-=A′-′-,A0′=A′-′′=A′-,A00=A0=A′-′∴可能產(chǎn)生的新集合為:A2=A0=A′-′,A3=A′-′-,A4=A′-對(duì)A2、A3、A4進(jìn)行閉包、補(bǔ)集、內(nèi)部運(yùn)算:∵A′-′-=A3,A′-′′=A′-=A4,A′-′0=A′-′′-′=A00=A0=A′-′=A2,A′-′--=A′-′-=A3,A′--=A′-=A4,A′-′=A2,A′-0=A′-′-′∴可能產(chǎn)生的新集合為:A5=A′-′-′,A6=A′-′-0=A′-′-′-′對(duì)A5、A6進(jìn)行閉包、補(bǔ)集、內(nèi)部運(yùn)算:∵A′-′-′′=A′-′-=A3,A′-′-′0=A′-00=A′-′-′=A5,A′-′-′-′-=A′-′-=A3,A′-′-′-′′=A′-′-′-=A′-′-′-′0=A′-′-′-′∴可能產(chǎn)生的新集合為:A7=A′-′-′-對(duì)A7進(jìn)行閉包、補(bǔ)集、內(nèi)部運(yùn)算:∵A′-′-′--=A′-′-′-=A7,A′-′-′-′=A6,A′-′-′-0=A′-′-′=A5∴不會(huì)產(chǎn)生新的集合由上述,對(duì)A先作內(nèi)部運(yùn)算,再任意進(jìn)行閉包、補(bǔ)集、內(nèi)部運(yùn)算可能產(chǎn)生的新集合如下:——A′-′——A′-′-——A′-——A′-′-′——A′-′-′-——A′-′-′-′2a-a,a------1、b---、a------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------對(duì)A8進(jìn)行補(bǔ)集、閉包、內(nèi)部運(yùn)算:∵A--=A-=A8,A-0=A-′-′∴可能產(chǎn)生的新集合為:A9=A-′,A10=A-′-′對(duì)A9、A10進(jìn)行補(bǔ)集、閉包、內(nèi)部運(yùn)算:∵A-′′=A-=A8,A-′0=A-′′-′=A-′=A9,A-′-′′=A-′-=A-′-′0=A-00=A-0=A-′-′=A10∴可能產(chǎn)生的新集合為:A11=A-′-,A12=A-′-′-對(duì)A11、A12進(jìn)行補(bǔ)集、閉包、內(nèi)部運(yùn)算:∵A-′-′=A10,A-′--=A-′-=A11,A-′-0=A-′-′-′,A-′-′--=A-′-′-A12,A-′-′-0=A-′-′=A10∴可能產(chǎn)生的新集合為:A13=A-′-′-′對(duì)A13進(jìn)行補(bǔ)集、閉包、內(nèi)部運(yùn)算:∵A-′-′-′′=A-′-′-=A12,A-′-′-′-=A-′-=A11,A-′-′-′0=A-′-0=A-′-′-′=A13∴不會(huì)產(chǎn)生新的集合;由上述,對(duì)A先作閉包運(yùn)算,再任意進(jìn)行補(bǔ)集、閉包、內(nèi)部運(yùn)算可能產(chǎn)生的新集合如下:A-——A-′——A-′-——A-′-′——A-′-′-——A-′-′-′3定理2:2n個(gè)集合最多能生成21n-1個(gè)互補(bǔ)相同對(duì)A14進(jìn)行閉包、補(bǔ)集、內(nèi)部運(yùn)算:∵A′-=A4,A′′=A=A1,A′0=A′′-′=A-′=A9∴不會(huì)產(chǎn)生新的集合。定理2n個(gè)集合經(jīng)過(guò)交、并、差3種運(yùn)算最多能生成22n-1個(gè)互