極坐標與極坐標方程專題復習

極坐標與極坐標方程專項復習1．（1）【高考江蘇卷22】在極坐標系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．（I）求，的值；（II）求出直線與圓的公共點的極坐標．【答案】（I）；（II）【思路導引】（I）將A，B點坐標代入即得成果；（II）聯(lián)立直線與圓極坐標方程，解得成果．【解析】（I）．（II），當時；當時（舍），即所求交點坐標為當．【專家解讀】本題考察了極坐標方程及其應用，考察函數(shù)與方程思想，考察數(shù)學運算學科素養(yǎng)．2【高考全國Ⅱ文理22】在極坐標系中，為極點，點在曲線上，直線過點且與垂直，垂足為．（I）當時，求及的極坐標方程；（II）當在上運動且在線段上時，求點軌跡的極坐標方程．解：（I）由于在C上，當時，．由已知得．設為l上除P的任意一點．在中，經(jīng)檢查，點在曲線上，因此，l的極坐標方程為．（II）設，在中，即．由于P在線段OM上，且，故的取值范疇是．因此，P點軌跡的極坐標方程為．3【高考全國Ⅲ文理22】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）如圖，在極坐標系Ox中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧．（I）分別寫出，，的極坐標方程；（II）曲線由，，構成，若點在M上，且，求P的極坐標．【答案】（I）；（II）P的極坐標為或或或．【分析】(1)將三個過原點的圓方程列出，注意題中規(guī)定的是弧，因此要注意的方程中的取值范疇；(2)根據(jù)條件逐個方程代入求解，最后解出點的極坐標．【精確講析】（I）由題設可得，弧所在圓的極坐標方程分別為，，．因此的極坐標方程為，的極坐標方程為，的極坐標方程為．（II）設，由題設及（I）知：若，則，解得；若，則，解得或；若，則，解得．綜上，P的極坐標為或或或．4.【高考全國乙卷文理22】在直角坐標系中，的圓心為，半徑為．（1）寫出的一種參數(shù)方程；（2）過點，作的兩條切線，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．【解析】（1）由題意，的普通方程為，∴的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．（2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，∴切線方程為或，將，代入化簡得或．5.（江西景德鎮(zhèn)·模擬預測（理））在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），直線，垂足為．覺得坐標原點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系．（I）分別寫出曲線與直線的極坐標方程；（II）設直線?分別與曲線交于?與?，順次連接???四個點構成四邊形，求．【解析】（I）由的參數(shù)方程，可得，則，即，∴．由題設知：為，故的極坐標方程為，又，∴為且．（II）由題設知：，若，，聯(lián)立與：，可得，，聯(lián)立與：，可得，，∴．∴．6．（云南大理·模擬預測（理））數(shù)學中有許多寓意美妙的曲線，在極坐標系中，曲線被稱為“三葉玫瑰線”（如圖所示）．（I）當，求以極點為圓心，為半徑的圓與三葉玫瑰線交點的極坐標；II）設點P是由（I）中的交點所擬定的圓M上的動點，直線，求點P到直線l的距離的最大值．【答案】（I）；（II）．【分析】（I）由可得，然后解出的值即可；（II）將圓和直線l的極坐標方程轉化為直角坐標方程，然后可求出答案．【解析】（I）由可得，∴或，∴或，∴，∴，∴交點的極坐標為．（II）由（I）可得圓M的極坐標方程為，轉化為直角坐標方程為，直線的直角坐標方程為，∴點P到直線l的距離的最大值為．7.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.覺得極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線與直線有且僅有一種公共點.（1）求；（2）設曲線上的兩點，且，求的最大值．解（1）直線的普通方程是，曲線的直角坐標方程是，依題意直線與圓相切，則，解得或，由于，因此；（2）如圖，不妨設，，則，，因此，因此當，即，時，最大值是．一軌跡問題1.已知曲線的極坐標方程為，以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標系，點為曲線上的動點，點在軸上的射影為點，且滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）直線的極坐標方程為，點為直線上的動點，求的最小值.【答案】（1）；（2）.解：（1）可得的直角坐標方程為，由已知，設，，.由于，因此，即，由于點在曲線：上，因此，從而點的執(zhí)跡的方程為.（2）直線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設，點到直線距離為，（其中），當時，，因此.2.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為，它在點處的切線為直線l.（1）求直線l的直角坐標方程；（2）設直線l與的交點為P1，P2，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵曲線C的極坐標方程為，∴，∴曲線C的直角坐標方程為，∴，又的直角坐標為（2，2），∴.∴曲線C在點（2，2）處的切線方程為，即直線l的直角坐標方程為.（2），不妨設P1(1，0)，P2(0，-2)，則線段P1P2的中點坐標所求直線斜率為k于是所求直線方程為y+1化為極坐標方程，并整頓得2ρcosθ+4ρsinθ=-3，即ρ3．(·課標Ⅰ，23，10分)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝1＋asint))(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cos.(1)闡明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；(2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tan＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓．將x＝ρcos，y＝ρsin代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin＋1－a2＝0.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，,ρ＝4cosθ.))若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sincos＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上．因此a＝1.4(·課標Ⅱ，22，10分)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．【解析】(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)．由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程為ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設點B的極坐標為(ρB，α)，ρB>0.由題設知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面積S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋eq\r(3).當α＝－eq\f(π,12)時，S獲得最大值2＋eq\r(3).因此△OAB面積的最大值為2＋eq\r(3).5.(·課標Ⅲ)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝kt))(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m為參數(shù))．設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cos＋sin)－eq\r(2)＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑．【解析】(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝eq\f(1,k)(x＋2)．設P(x，y)，由題設得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2），,y＝\f(1,k)（x＋2），))消去k得x2－y2＝4(y≠0)，因此C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，,ρ（cosθ＋sinθ）－\r(2)＝0，))得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f(1,3)，從而cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，因此交點M的極徑為eq\r(5).6.【高考全國3文理22】[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點且傾斜角為的直線與交于，兩點．（1）求的取值范疇；（2）求中點的軌跡的參數(shù)方程．【答案】（1）；（2）（為參數(shù)，）．解析：（1）圓的直角坐標方程為．當時，與圓交于兩點．當時，記，則方程為．與圓交于兩點當且僅當，解得或，即或．綜上，的取值范疇是．（2）的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．設對應的參數(shù)分別為，則，且滿足．于是，．又點的坐標滿足因此點的軌跡的參數(shù)方程是（為參數(shù)，）．7.【全國甲卷文理22】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線極坐標方程為．（1）將的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點的直角坐標為為上的動點，點滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷與與否有公共點．【答案】（1）；（2）P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)），C與沒有公共點．【解析】（1）由曲線C的極坐標方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標方程為．（2）設，設．，則，即，故P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，，兩圓內含，故曲線C與沒有公共點．二距離問題1．(·課標Ⅱ，23，10分)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|＝eq\r(10)，求l的斜率．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標方程為ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)．設A，B所對應的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標方程代入C的極坐標方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11，|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq\r(（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2)＝eq\r(144cos2α－44).由|AB|＝eq\r(10)得，cos2α＝eq\f(3,8)，tanα＝±eq\f(\r(15),3)，因此l的斜率為eq\f(\r(15),3)或－eq\f(\r(15),3).·課標Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．解：(1)由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，因此C1的極坐標方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)辦法一：將θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r(2)，ρ2＝eq\r(2).故ρ1－ρ2＝eq\r(2)，即|MN|＝eq\r(2).由于C2的半徑為1，因此△C2MN的面積為eq\f(1,2).辦法二：將極坐標方程θ＝eq\f(π,4)化為直角坐標方程為y＝x.圓心C2(1，2)到直線x－y＝0的距離d＝eq\f(|1－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴|MN|＝2＝eq\r(2)，∴S△C2MN＝eq\f(1,2)d·|MN|＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝eq\f(1,2).3.已知平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程以及曲線的參數(shù)方程；（2）過曲線上任意一點作與直線的夾角為的直線，交于點，求的最小值．【答案】：（1）；（2）【解析】：（1）設4．(·課標Ⅰ，22，10分)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t為參數(shù))．(1)若a＝－1，求C與l的交點坐標；(2)若C上的點到l距離的最大值為eq\r(17)，求a.解：(1)當a＝－1時，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋4t，,y＝1－t，))消參得x＋4y－3＝0.易得曲線C：eq\f(x2,9)＋y2＝1.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝0，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－\f(21,25)，,y2＝\f(24,25)，))∴交點坐標為(3，0)，.(2)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))消參得：x＋4y－a－4＝0.設C上一點坐標為(3cosθ，sinθ)，因此eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17))≤eq\r(17)，即|5sin(θ＋φ)－a－4|≤17，當－a－4≥0時，5－a－4＝17，∴a＝－16；當－a－4＜0時，－5－a－4＝－17，∴a＝8.∴a＝8或－16.5.(·課標Ⅲ，23，10分)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為sin＝2eq\r(2).(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標．解：(1)C1的普通方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0.(2)由題意，可設點P的直角坐標為(eq\r(3)cosα，sinα)．由于C2是直線，因此|PQ|的最小值即為點P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝eq\f(|\r(3)cosα＋sinα－4|,\r(2))＝eq\r(2)，當且僅當α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)時，d(α)獲得最小值，最小值為eq\r(2)，此時P的直角坐標為.6.【高考江蘇】【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為．（I）求兩點間的距離；（II）求點到直線距離．【詳解】（I）設極點為O．在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=．（II）由于直線l方程為，則直線l過點，傾斜角為．又，因此點B到直線l的距離為．7.在平面直角坐標系中，曲線(為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（I）分別求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（II）若分別為曲線上的動點，求的最大值．【解析】（I）由于曲線參數(shù)方程為，因此，由于，因此的普通方程為．由于曲線的極坐標方程為，即，故曲線的直角坐標方程為，即．（II）設，則到曲線的圓心的距離由于，因此當時，有最大值．因此的最大值為．8.在平面直角坐標系中，已知曲線（為參數(shù)），直線．（I）在曲線上求一點，使點到直線的距離最大，并求出此最大值；（II）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，兩點的距離之積．【解析】（I）設點，則點到直線的距離為，因此當時，，此時．（II）曲線化為普通方程為：，即，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡得：，得，因此．9.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點，曲線與曲線的交點為（異于點O）兩點，求的值．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）消去參數(shù)即可得到的普通方程，將，代入即可得的直角坐標方程；（2）運用直線參數(shù)方程的幾何意義即求．【解析】（1）由（為參數(shù)）可得，∴曲線的普通方程為由，得，∴曲線的直角坐標方程為．（2）易知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入曲線的普通方程中，得．設點A，B對應的參數(shù)分別為，∴∴，∴．10.廣西·高三月考】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．（1）求直線及圓的直角坐標方程；（2）若直線和圓交于，兩點，是圓上不同于，的任意一點，求面積的最大值．【答案】（1）圓的方程為：，直線的方程為；（2）．【解析】（1）由，得：，即．由，得：，即，則，則，即，∴直線的方程為，圓的方程為：；（2）由（1）得：圓的圓心坐標為，半徑為，則圓心到直線的距離為：，∴，則點到直線距離的最大值為，∴四直線參數(shù)方程的幾何意義：1.（四川遂寧·模擬預測（理））已知直線過點，且傾斜角為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（I）求的直角坐標方程與的參數(shù)方程；（II）若與相交于不同的兩點，，求的值．【解析】（I）曲線C的極坐標方程為，即，將，代入得，即；∴直線過定點，且傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)）（注：只要能化為的其它形式的參數(shù)方程也對?。↖I）將直線的參數(shù)方程代入，得設方程的兩根分別為，，則由根與系數(shù)的關系有，∴，故．2.（云南大理·模擬預測（理））在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線的傾斜角），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（I）求曲線的直角坐標方程；（II）已知點，直線與曲線交于兩點，與軸交于點，若成等比數(shù)列，求直線的普通方程．【解析】（I）由可得，則，由，則，∴曲線的直角坐標方程為；（II）設兩點對應的參數(shù)分別為，聯(lián)立直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程，整頓得，，設點對應的參數(shù)為，由可得，由成等比數(shù)列可得，則，即，，得，直線的斜率為，∴直線的方程為或3．（新疆·克拉瑪依市教育研究所模擬預測（理））在平面直角坐標系中，點，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為，，是曲線C的下、上焦點．（I）求曲線C的原則方程和直線的直角坐標方程；II）通過點且與直線垂直的直線l交曲線C于A、B兩點，求的值．【解析】（I）解：由得，即，∴，即，∴，∴直線的直角坐標方程為：，即；（II）解：由（I）知，直線l的直角坐標方程為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的原則方程可得：，設A、B兩點對應的參數(shù)分別為，，則，，∴，異號，∴．4.（河南駐馬店·模擬預測）在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是．（I）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（II）若點的極坐標為，直線通過點且與曲線相交于，兩點，求，兩點間的距離的值．【解析】（I）由參數(shù)方程可得，消去參數(shù)可得直線的普通方程為：，即；即，轉化為直角坐標方程可得曲線的直角坐標方程為；（II）∵的極坐標為，∴點的直角坐標為．∴，直線的傾斜角．∴直線的參數(shù)方程為．代入，得．設，兩點對應的參數(shù)為，，則，∴．5.（廣西南寧·模擬預測（理））以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），曲線C的極坐標方程為．（I）求曲線C的直角坐標方程；（II）設點P的直角坐標為，直線l與曲線C相交于A、B兩點，的中點為M，并且，求的值．【解析】（I）∵，∴，∵，∴曲線C的直角坐標方程為；（II）將(t為參數(shù))，代入，得，∴，，得到，即，得，即，即或．6.在平面直角坐標系中，已知曲線：（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（I）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（II）過點，且與直線平行的直線交曲線于，兩點，求點到，兩點的距離之積．