高斯定理在廣義引力引力計(jì)算中的應(yīng)用

高斯定理在廣義引力引力計(jì)算中的應(yīng)用

在電磁學(xué)中，高斯定理和動靜軌跡法是兩個(gè)反應(yīng)靜態(tài)能量的基本特征。這兩個(gè)假設(shè)可以解決許多對稱分布于祖母的靜電學(xué)問題。眾所周知,靜電場中的高斯定理和靜電環(huán)路定理源于真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力滿足平方反比規(guī)律——庫侖定律。在經(jīng)典力學(xué)領(lǐng)域里,兩物體之間的萬有引力也滿足平方反比規(guī)律——牛頓萬有引力定律。本文應(yīng)用類比的方法,通過在萬有引力場中定義引力場強(qiáng)矢量和萬有引力勢,將靜電場中的高斯定理和靜電環(huán)路定理推廣到了經(jīng)典萬有引力場中,然后舉例說明了這兩個(gè)定理分別在某些質(zhì)量對稱分布的問題和天文上的應(yīng)用。1高思定理在現(xiàn)場的引入1.1fb計(jì)算靜電學(xué)中的庫侖定律:?F=14πε0q1q2r2??er(1)F?=14πε0q1q2r2?e?r(1)牛頓萬有引力定律:?F=G?m1m2r2??er(2)F?=G?m1m2r2?e?r(2)以上(1)、(2)兩式在數(shù)學(xué)形式上完全等同。比較兩式可得如下結(jié)論:1)電學(xué)中14πε014πε0相當(dāng)于力學(xué)中的G,為了記法的方便,我們記為14πε0?G(下同),于是有1ε0?4πG(3)上式中ε0=8.85×10-12(C2·N-1·m-2),G=6.67×10-11(N·m2·kg-2)2)電學(xué)中電荷q相當(dāng)于力學(xué)中的質(zhì)量m,有q?m(4)1.2引力場強(qiáng)度矢量靜電場中點(diǎn)電荷在電場中受到的電場力:?F=q?E(5)經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)在引力場中受到的重力:?Ρ=m?g(6)和電場強(qiáng)度類似,在萬有引力場中定義一個(gè)引力場強(qiáng)度矢量(以下簡稱引力場強(qiáng))?g?E??g(7)且規(guī)定:試探質(zhì)點(diǎn)在引力場中某點(diǎn)受到的力?f與其質(zhì)量之比定義為引力場中該點(diǎn)的引力場強(qiáng)?g=?fm(8)如果已知引力場中某點(diǎn)的引力場強(qiáng)?g?則質(zhì)點(diǎn)在該處受到的引力可由下式給出?f=m?g(9)1.3道s的總引力場強(qiáng)通量的確定—萬有引力場中高斯定理一般說來,引力場中的某點(diǎn)的?g是該點(diǎn)位置?r的矢量函數(shù),對于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的引力場,引力場強(qiáng)滿足疊加原理。有了引力場強(qiáng)的定義后,就可以仿照電通量Фe的概念,在引力場中定義引力場強(qiáng)通量Фg:對某面積微元的引力場強(qiáng)通量:dΦg=?g?d?S=gdScosθ。其中θ是引力場強(qiáng)?g與面積微元d?S的夾角,因此,對某曲面S的總引力場強(qiáng)通量:Φg=?S?g?d?S(10)有了引力場強(qiáng)通量的概念,就可以討論穿過閉合曲面引力場強(qiáng)通量的問題。仿照電場中高斯定理的證明過程可以證明引力場中的高斯定理(本文證明從略)。由(7)、(3)、(4)式,并考慮到閉合曲面面積微元的法線正方向定義后,不難得到穿過某某閉合曲面S的引力場強(qiáng)通量應(yīng)滿足??E?d?S=1ε0∑qi???g?d?S=-4πG∑mi(11)上式稱為萬有引力場中的高斯定理,與靜電場中的高斯定理具有相似的形式。根據(jù)散度的定義,我們還可以將(11)式寫成相應(yīng)的微分形式???E=ρε0????g=-4πGρ(12)此式說明萬有引力場是一種有源場,它的源可認(rèn)為就是質(zhì)量分布。2高辛理論在柯爾伯格領(lǐng)域的應(yīng)用2.1u3000y,品質(zhì)微元dm的引力值及l(fā)s-df例題1:如圖1,有一質(zhì)量分布均勻的無限長細(xì)桿,其單位長度上的質(zhì)量為ρ,細(xì)桿外距離細(xì)桿為a處有一質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)。求質(zhì)點(diǎn)受到的細(xì)桿的萬有引力。解:建立如圖所示的坐標(biāo)系,在y軸上選取長度為dy的質(zhì)量微元dm,則dm=ρdy,質(zhì)點(diǎn)m0受到該質(zhì)量微元dm的引力大小為dF=Gm0dmr2=Gm0ρdyr2(13)dF的x、y分量分別是dFx=dFsinθ?dFx=Gm0ρsinθdyr2(14)dFy=dFcosθ?dFy=Gm0ρcosθdyr2(15)結(jié)合圖中幾何關(guān)系,對以上兩式積分可得:Fx=Gm0ρ∫sinθdyr2=Gm0ρa(bǔ)(cosθ1-cosθ2)(16)方向沿x軸負(fù)向;Fy=Gm0ρ∫cosθdyr2=Gm0ρa(bǔ)(sinθ2-sinθ1)(17)方向沿y軸負(fù)向;當(dāng)a?L時(shí),細(xì)桿可視為無限長,這時(shí)有θ1=0,θ2=π于是有Fy=0?Fx=2Gm0ρa(bǔ)(18)因此無限長質(zhì)量分布均勻的細(xì)桿對它附近的質(zhì)點(diǎn)的引力大小F=2Gm0ρa(bǔ)方向垂直于細(xì)桿沿著徑向指向細(xì)桿。2.2柱面為小細(xì)桿的情況由于空間的各向同性以及細(xì)桿質(zhì)量分布的軸對稱性可知:細(xì)桿周圍的引力場強(qiáng)的分布也具有軸對稱性,它表現(xiàn)在:離開細(xì)桿距離相等的點(diǎn)g大小相等,這些點(diǎn)g方向垂直于細(xì)桿沿著徑向指向細(xì)桿。作如圖2所示圓柱形高斯面并計(jì)算其引力場強(qiáng)通量:Φg=?S?g?d?S=?上底?g?d?S+?下底?g?d?S+?側(cè)?g?d?S(19)圓柱面的上下底面由于g的方向與dS方向處處垂直,故通量為0。在圓柱的側(cè)面,g的方向與dS方向處處夾180°角,且側(cè)面上各點(diǎn)的g大小相等。因此Φg=?S?g?d?S=?側(cè)?g?d?S=-?g?∫側(cè)dS=-g?2πrl(20)高斯面內(nèi)包圍的質(zhì)量Σmi=ρl,由引力場的高斯定理得到-g?2πrl=-4πGρl→g=2Gρr(21)方向垂直于細(xì)竿沿著徑向指向細(xì)桿。于是高斯面上質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)受到的引力大小為Fx=2Gm0ρr(22)方向垂直細(xì)桿沿著徑向指向細(xì)桿。這和方法(1)得到的結(jié)果相同。比較兩種方法可知:應(yīng)用引力場中的高斯定理大大簡化了繁瑣的運(yùn)算。本題中如果細(xì)桿的粗細(xì)不能忽略,那么其引力場強(qiáng)分布就應(yīng)為?g={-2πGρR2?err?(r＞R)-2πGρ?r?(r＜R)(23)式中?er是由柱收指向外的沿徑向單位矢。這時(shí),如果再用萬有引力定律,就要求解復(fù)雜的二重積分。2.3引力場中的高斯定理例題2:將地球看成近似正圓球,設(shè)想沿地球赤道方向挖一條隧道,隧道內(nèi)有一質(zhì)量為m的小球,如圖3。試分析小球的受力情況。忽略所有摩擦,并假設(shè)地球具有均勻密度ρ。解:設(shè)質(zhì)點(diǎn)在距離球心為r處的萬有引力場強(qiáng)為g,以球心為中心,r為半徑作球面S。注意到地球質(zhì)量分布的球?qū)ΨQ性,應(yīng)用引力場中的高斯定理:Φg=?S?g?d?S=-g?4πr2(24)高斯面包圍的質(zhì)量:∑mi=ρ4πr23(25)因此,-g?4πr2=-4πG?ρ43πr3→g=43πGρ?r方向沿徑向指向球心。在隧道中的質(zhì)點(diǎn)受力大小為,F=mg=43πGρmr(26)方向沿徑向指向球心。令k=43πGρm(常數(shù)),并設(shè)由球心指向外的單位矢為?er,此式可寫為F=-kr?er=-k?r(27)由式(27)可知:力與位移大小成正比,方向與之相反。因此質(zhì)點(diǎn)在隧道內(nèi)的運(yùn)動為簡諧振動。此題如果根據(jù)萬有引力定律去分析,我們將不可避免地要求解三重積分。高斯定理的應(yīng)用直觀明了且省去了許多繁雜的積分運(yùn)算。類似地,我們可以求出質(zhì)量分布均勻的球體對其內(nèi)和其外的質(zhì)點(diǎn)的作用力,這里不再贅述。3波浪方程和波浪方程3.1萬有引力場的特征仿照萬有引力場中的高斯定理的導(dǎo)出方法,可以用類比的方法導(dǎo)出萬有引力場中的環(huán)路定理。靜電場的環(huán)路定理∮L?E?d?l=0(28)?E??g→引力場強(qiáng)?g的環(huán)流∶∮L?g?d?l=0(29)上式稱為萬有引力場中的環(huán)路定理。根據(jù)旋度的定義,(29)式可以寫為相應(yīng)的微分形式?×?g=0(30)(30)式表明:和靜電場一樣,萬有引力場也是一種無旋場。結(jié)合(12)式可以知道:萬有引力場是一種有源無旋場。它們所反映的物理圖像是質(zhì)量分布是萬有引力場的源,在靜質(zhì)量情形下萬有引力場沒有旋渦狀結(jié)構(gòu)。因此可以在萬有引力場中引入萬有引力勢(以下簡稱引力勢)和萬有引力勢能(以下簡稱引力勢能)的概念。3.2引力勢差的量值靜電場中a、b兩點(diǎn)的電勢能之差定義為Wa-Wb=Aab=b∫aq0?E?d?l用Ep表示萬有引力場中某點(diǎn)的勢能,則萬有引力場中a、b兩點(diǎn)的引力勢能之差定義為W?Ep,q?m,?E??g→Epa-Epb=Aab=b∫am0?g?d?l(31)該勢能差的量值就是將物體m0從a點(diǎn)移動到b點(diǎn)萬有引力所做的功。勢能是個(gè)相對概念,如果事先選取b點(diǎn)勢能為0,則質(zhì)量為m0的物體在a點(diǎn)具有的引力勢能就為Epa=Aa0=(0)∫am0?g?d?l(32)該勢能在量值上等于將物體m0從a點(diǎn)移動到零勢能點(diǎn)萬有引力所做的功。3.3引力勢的疊加靜電場中a、b兩點(diǎn)的電勢能之差定義為Va-Vb=Vab=b∫a?E?d?l用U表示萬有引力場中某點(diǎn)的勢,萬有引力場中a、b兩點(diǎn)的引力勢之差可定義為V?U??E??g→Ua-Ub=Uab=b∫a?g?d?l(33)引力勢是個(gè)相對概念,如果事先選取b點(diǎn)引力勢能為0,則萬有引力場a點(diǎn)的引力勢為Ua=Aa0m0=(0)∫a?g?d?l(34)一般說來,引力場中的某點(diǎn)的U是該點(diǎn)位置?r的標(biāo)量函數(shù),對于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的引力場,引力勢滿足疊加原理。綜合引力場強(qiáng)的定義,引力勢和引力場強(qiáng)的關(guān)系應(yīng)為?g=-?U(35)結(jié)合(12)式有?2U=4πGρ(36)式(36)即為靜質(zhì)量分布引力場——牛頓引力場方程。4例如，不規(guī)則路面計(jì)算的示例4.1第一宇重要速度的確定從地面以一定初速度v0發(fā)射一質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星。人造地球衛(wèi)星的初速度需要滿足什么條件才能使得:(設(shè)地球質(zhì)量為M,半徑為Re)①衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)動?②衛(wèi)星能夠從地球引力場中逃逸?解:將衛(wèi)星和地球組成的系統(tǒng)作為研究對象。①假定衛(wèi)星繞地球作半徑為r的圓周運(yùn)動,則在初態(tài):在地表開始發(fā)射時(shí),系統(tǒng)的機(jī)械能E0=12mv20-GΜmRe(37)末態(tài):衛(wèi)星圍繞地球運(yùn)動時(shí),系統(tǒng)的機(jī)械能E=12mv2-GΜmr(38)衛(wèi)星繞地球運(yùn)動時(shí),有G=Μmr2=man=mv2r(39)此過程中機(jī)械能守恒:E=E0(40)由式(37)、(38)、(39)、(40),并考慮到在地表GΜmR2e=mg→GΜR2e=g?最后得到:v0=√2gRe(1-Re2R)(41)顯然,r增大,v0跟著增大,當(dāng)r=Re=rmin時(shí),v0=√gRe=7.9km/s。這就是第一宇宙速度,也稱為環(huán)繞速度。②要使衛(wèi)星能夠從地球引力場中逃逸,衛(wèi)星的初動能必須足以克服地表的引力勢能,即12mv20≥GΜmRe→v0≥√2gRe=11.2km/s(42)這就是第二宇宙速度,也稱為逃逸速度。5萬有引力場中的質(zhì)量分布萬有引力場中的高斯定理說明了穿過閉合曲面的引力場強(qiáng)通量只和它包圍的質(zhì)量有關(guān)。萬有引力場中的環(huán)路定理說明了萬有引力沿閉合路徑的環(huán)流為0,在萬有引力場中可以定義引力勢的概念。萬有引力場也是一種有源無旋場,它的源就是質(zhì)量分布。類