2024屆北京市師大附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆北京市師大附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且，，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.2．已知，，直線(xiàn)：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.93．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能是（）A. B.C. D.4．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論中正確的有（）A.平面ABC的一個(gè)法向量是 B.的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是C. D.與是共線(xiàn)向量5．已知是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.6．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，7．若，，且，則（）A. B.C. D.8．若拋物線(xiàn)與直線(xiàn)：相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（）A.6 B.8C. D.9．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.110．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.411．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（）A. B.C. D.以上都不對(duì)12．已知，為雙曲線(xiàn)：的焦點(diǎn)，為，（其中為雙曲線(xiàn)半焦距），與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，且有，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體中，，，P，F(xiàn)分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)EF的距離是___________.14．已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則的值為_(kāi)_____.15．已知橢圓()中，成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為_(kāi)______.16．，若2是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓于A(yíng)，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求直線(xiàn)l的方程；（2）求的面積.19．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，（1）證明：；（2）設(shè)平面平面，求l與平面MND所成角的正弦值20．（12分）已知函數(shù)，且a0（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：21．（12分）已知圓C的方程為.（1）直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線(xiàn)l2的方程.22．（10分）已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)條件設(shè)，，由條件求得，即可求得雙曲線(xiàn)方程.【詳解】設(shè)，則由已知得，，又，，又，，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D2、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查垂直直線(xiàn)的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.3、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答【詳解】原函數(shù)在上先減后增，再減再增，對(duì)應(yīng)到導(dǎo)函數(shù)先負(fù)再正，再負(fù)再正，且原函數(shù)在處與軸相切，故可知，導(dǎo)函數(shù)圖象為D故選：D4、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間中平面法向量的定義，向量模長(zhǎng)的求解，以及共線(xiàn)定理，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)?，，，故可得，因?yàn)?，故，不平行，則D錯(cuò)誤；對(duì)A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對(duì)B：因?yàn)橄蛄康哪ｉL(zhǎng)為，其不是單位向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)椋士傻?，故C錯(cuò)誤；故選：A.5、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線(xiàn)的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.6、B【解析】由空間向量?jī)?nèi)容知，構(gòu)成基底的三個(gè)向量不共面，對(duì)選項(xiàng)逐一分析【詳解】對(duì)于A(yíng)：，因此A不滿(mǎn)足題意；對(duì)于B：根據(jù)題意知道，，不共面，而和顯然位于向量和向量所成平面內(nèi)，與向量不共面，因此B正確；對(duì)于C：，故C不滿(mǎn)足題意；對(duì)于D：顯然有，選項(xiàng)D不滿(mǎn)足題意.故選：B7、A【解析】由于對(duì)數(shù)函數(shù)的存在，故需要對(duì)進(jìn)行放縮，結(jié)合（需證明），可放縮為，利用等號(hào)成立可求出，進(jìn)而得解.【詳解】令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A8、B【解析】由題得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線(xiàn)上，再聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，利用韋達(dá)定理和拋物線(xiàn)的定義求解.【詳解】解：由題得.由題得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線(xiàn)上，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程得,所以.所以.故選：B9、A【解析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，由可知，此直線(xiàn)可用由直線(xiàn)平移得到，求的最大值，即直線(xiàn)的截距最大，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)直線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)取最大值，即故選：10、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式計(jì)算后即可判斷【詳解】解：①，故錯(cuò)誤；②，故正確；③，故錯(cuò)誤；④，故錯(cuò)誤.所以求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為1.故選：A.11、C【解析】根據(jù)目標(biāo)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】.故選：C12、B【解析】根據(jù)求得的關(guān)系，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義以及勾股定理，即可求得的等量關(guān)系，再求離心率即可.【詳解】根據(jù)題意，連接，作圖如下：顯然為直角三角形，又，又點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解點(diǎn)P到直線(xiàn)EF的距離.【詳解】解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，所以，，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)EF的距離.故答案為：.14、【解析】先求出，由題設(shè)易知是的解集，利用根與系數(shù)關(guān)系求m、n，進(jìn)而求的值.【詳解】由題設(shè)，，由單調(diào)遞減區(qū)間是，∴的解集為，則是的解集，∴，可得，故.故答案為：15、【解析】根據(jù)成等比數(shù)列，可得，再根據(jù)的關(guān)系可得，然后結(jié)合的自身范圍解方程即可求出【詳解】∵成等比數(shù)列，∴，∴，∴，∴，又，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率的計(jì)算以及等比數(shù)列定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題16、3【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)列方程，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】由題可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列公差為，由成等比數(shù)列求得，可得.利用求得；（2）利用錯(cuò)位相減求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列公差為，由成等比數(shù)列有：，解得：，所以，數(shù)列，當(dāng)即，，解得：，當(dāng)時(shí)，有，所以，得：.又，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問(wèn)2詳解】，，，得，，化簡(jiǎn)得：.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)，根據(jù)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可得，再利用點(diǎn)差法求得直線(xiàn)的斜率，即可求出直線(xiàn)方程；（2）易得直線(xiàn)過(guò)左焦點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，消，利用韋達(dá)定理求得，再根據(jù)即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，兩式相減得，即，即，所以直線(xiàn)l的斜率為1，所以直線(xiàn)l的方程為，即；【小問(wèn)2詳解】在直線(xiàn)中，當(dāng)時(shí)，，由橢圓：，得，則直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，聯(lián)立，消整理得，則，.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】∵PD⊥平面ABCD，，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小問(wèn)2詳解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，設(shè)平面MND的一個(gè)法向量，則，取，則，于是是平面MND的一個(gè)法向量，因?yàn)?，設(shè)l與平面MND所成角為，則20、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)，求解可得導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問(wèn)題得證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】（i）由已知可得方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根記，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)k(x)是減函數(shù)，所以，故（ii）易知，當(dāng)x1時(shí)，，故．由（1）可知，當(dāng)0x1時(shí)，，所以2lnxx?由，得，所以因?yàn)?，所?1、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)的方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計(jì)算可得；（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線(xiàn)的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在直線(xiàn)得到直線(xiàn)方程，但直線(xiàn)的斜率存在時(shí)設(shè)直線(xiàn)方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，直線(xiàn)的方程為，即，則圓心到直線(xiàn)的距離為故；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程是，此時(shí)與圓C：相切，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即，直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離為解得此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，所以滿(mǎn)