考點26 概率、二項分布與正態(tài)分布（核心考點講與練）-2024年高考數(shù)學一輪復習核心考點講與練（新高考專用）解析版

考點26概率、二項分布與正態(tài)分布（核心考點講與練）1.概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B).②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B).2.基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.3.古典概型具有以下兩個特征的概率模型稱為古典的概率模型，簡稱古典概型.(1)試驗的所有可能結果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結果.(2)每一個試驗結果出現(xiàn)的可能性相同.3.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).4.古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的可能結果數(shù),試驗的所有可能結果數(shù)).5.全概率公式(1)完備事件組：設Ω是試驗E的樣本空間，事件A1，A2，…，An是樣本空間的一個劃分，滿足：①A1∪A2∪…∪An＝Ω.②A1，A2，…，An兩兩互不相容，則稱事件A1，A2，…，An組成樣本空間Ω的一個完備事件組.(2)全概率公式設S為隨機試驗的樣本空間，A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，eq\o(∪,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))Ai＝

S，則對任一事件B，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)稱滿足上述條件的A1，A2，…，An為完備事件組.6.獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗①定義：在相同的條件下，重復地做n次試驗，各次試驗的結果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復試驗.②概率公式：在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).(2)二項分布：在n次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)設為X，事件A不發(fā)生的概率為q＝1－p，則n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布列：X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)pqn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0此時稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作X～B(n，p).7.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線，其函數(shù)表達式為f(x)＝eq\f(1,\r(2π)·σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R(其中μ，σ為參數(shù)，且σ>0，－∞<μ<＋∞).(2)正態(tài)曲線的性質①曲線位于x軸上方，與x軸不相交，與x軸之間的面積為1；②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.1.求古典概型概率的基本步驟：

(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．2.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有：(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面計算較繁瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算．3.判斷隨機變量X服從二項分布的條件(X～B(n，p))①X的取值為0，1，2，…，n；②P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p為試驗成功的概率)．[提醒]在實際應用中，往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗可視為獨立重復試驗，進而判定是否服從二項分布．4.超幾何分布的特點(1)對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可直接應用公式給出．(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)，隨機變量取值的概率實質上是古典概型．5.正態(tài)分布下的概率計算常見的兩類問題(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．概率1.（2021重慶市九龍坡區(qū)高三上學期期中）有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖，現(xiàn)準備通過一一試開將其區(qū)分出來，每次隨機抽出一把進行試開，試開后不放回，則恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率是（）

A. B. C. D.【答案】B【分析】恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的情況為3種：①前三把都能開鎖，②第一把不能開鎖，第二把能開鎖，第三把不能開鎖，③第一把能開鎖，第二把不能開鎖，第三把不能開鎖，由此能求出恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率．【詳解】有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖．現(xiàn)準備通過一一試開將其區(qū)分出來，每次隨機抽出一把進行試開，試開后不放回，恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的情況為3種：①前三把都能開鎖，②第一把不能開鎖，第二把能開鎖，第三把不能開鎖，③第一把能開鎖，第二把不能開鎖，第三把不能開鎖，恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率為：．故選：B．2.（2021重慶市第一中學高三下學期第二次月考）我國占代圖書之一的《周髀算經》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次是一個等差數(shù)列．已知立春與驚蟄兩個節(jié)氣的日影長分別為11尺和10尺，現(xiàn)在隨機選出3個節(jié)氣，至少有一個節(jié)氣的日影長大于9尺的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】令冬至影長為，公差為，則，進而確定十二節(jié)氣日影長，再應用組合數(shù)及對立事件的概率求法求概率即可.【詳解】由題意，令冬至影長為，公差為，則，故.∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次為，∴隨機選出3個節(jié)氣至少有一個節(jié)氣的日影長大于9尺的概率.故選：C3.（2

021新疆烏魯木齊市第八中學高三檢測）我國古代的一些數(shù)字詩精巧有趣，又飽含生活的哲學，如清代鄭板橋的《題畫竹》：“一兩三枝竹竿，四五六片竹葉，自然淡淡疏疏，何必重重疊疊．”現(xiàn)從1，2，3，4，5，6中隨機選取2個不同的數(shù)字組成，則恰好能使得的概率是____________．【答案】【分析】列舉基本事件，直接求概率即可.【詳解】1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字中滿足的數(shù)對有：，，4，5，6，，，5，6；，，6；，，共10種，而，，3，4，5，6，，，2，4，5，6，，，2，3，5，6，，，2，3，4，6，，，2，3，4，5，共有25種，所求概率為．故答案為：．4.事件A,B,C相互獨立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,則P(B)=____;PB)=____.【答案】①.②.【解析】【詳解】分析：根據(jù)獨立事件的概率公式可得結合對立事件概率公式可得結果.

詳解：由題意得得,所以點睛：本題主要考查獨立事件、對立事件的概率，屬于中檔題.解答這類綜合性的概率問題一定要把事件的獨立性、互斥性結合起來，要會對一個復雜的隨機事件進行分析，也就是說能把一個復雜的事件分成若干個互斥事件的和，再把其中的每個事件拆成若干個相互獨立的事件的積，這種把復雜事件轉化為簡單事件，綜合事件轉化為單一事件的思想方法在概率計算中特別重要.二項分布1.（多選）（2022年高考數(shù)學一輪復習）若隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布，則（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】利用二項分布的概率計算公式即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)二項分布中概率的計算公式，，則，，，，

，因此，，．故選：BD．2．設X為隨機變量，，若隨機變量的期望為，則______.【答案】【分析】利用二項分布的數(shù)學期望計算公式求出，再根據(jù)二項分布的概率計算公式求解即可.【詳解】由題意可知，，所以，因為隨機變量的期望為，所以，解得，所以.故答案為：.3.已知，且，求Y的分布列．【分析】列舉Y的可能取值，求概率即可求解【詳解】故X可能取值為0,1,2,3，則的可能取值為1,3,5,7，，故分布列為：1357

P超幾何分布1.（2021江蘇省鎮(zhèn)江中學高三檢測）有10件產品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【分析】，然后算出即可.【詳解】故選：D【點睛】本題考查的是利用組合數(shù)解決超幾何分布的問題，較簡單.2.在含有3件次品的50件產品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】直接利用超幾何分布概率求解.【詳解】在含有3件次品的50件產品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為，故選：D【點睛】本題主要考查超幾何分布概率的求法，屬于基礎題.3.（2021遼寧省錦州市第二高級中學高三檢測）學校要從5名男教師和2名女教師中隨機選出3人去支教，設抽取的人中女教師的人數(shù)為X，求________．【答案】【分析】本題主要考查了超幾何分步的概率計算，屬于基礎題．根據(jù)題意，X的取值為0或1，代入超幾何分布公式求出對應概率，再相加即可．

【詳解】解：由題意可得，，所以．故答案為：．正態(tài)分布1.（多選）（2021廣東省普寧市華僑中學高三上學期期中）甲、乙兩名高中同學歷次數(shù)學測試成績(百分制)分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是（）附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則.A．乙同學的平均成績優(yōu)于甲同學的平均成績B．甲同學的平均成績優(yōu)于乙同學的平均成績C．甲同學的成績比乙同學成績更集中于平均值附近D．若，則甲同學成績高于80分的概率約為0.1587【答案】ACD【分析】利用正態(tài)分布曲線與參數(shù)的關系、參數(shù)的意義、正態(tài)曲線的對稱性，對四個選項逐一分析判斷即可．【詳解】解：由圖象可知，甲的圖象關于對稱，乙的圖象關于對稱，所以甲同學的平均成績?yōu)?5分，乙同學的平均成績?yōu)?5分，故選項A正確，B錯誤；

因為甲的圖象比乙的圖象更“高瘦”，所以甲的成績比乙的成績更集中于平均值左右，則甲同學成績的方差比乙同學成績的方差小，故選項C正確；若，則甲同學成績高于80分的概率約為，故選項D正確．故選：ACD．2.（2021廣西桂林普通高中高三檢測）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得．【詳解】∵隨機變量服從正態(tài)分布，∴正態(tài)曲線的對稱軸是．又，∴，由對稱性可知，

．故答案為：．1.（2021年全國高考乙卷數(shù)學）在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.【詳解】設“區(qū)間隨機取1個數(shù)”，對應集合為：，區(qū)間長度為，

“取到的數(shù)小于”，對應集合為：，區(qū)間長度為，所以．故選：B．【點睛】本題解題關鍵是明確事件“取到的數(shù)小于”對應的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可準確求出．2．（2021·全國·高考真題）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，下列結論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.故選：D.3．（2021·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立

【答案】B【分析】根據(jù)獨立事件概率關系逐一判斷【詳解】，故選：B【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應概率，再判斷是否成立4.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標Ⅰ））甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計算出四局以內結束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出甲贏的基本事件，結合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內結束比賽的概率為，所以，需要進行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，

記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.【點睛】本題考查獨立事件概率的計算，解答的關鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬于中等題.5.（2017全國高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學期望；（2）一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ（精確到0.01）.

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1），（2）（?。┮娫斀?；（ⅱ）需要.,【分析】（1）依題知一個零件的尺寸在之內的概率，可知尺寸在之外的概率為0.0026，而，進而可以求出的數(shù)學期望.（2）（i）判斷監(jiān)控生產過程的方法的合理性，重點是考慮一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；（ii）計算，剔除之外的數(shù)據(jù)，算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計值，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計值.【詳解】（1）抽取的一個零件的尺寸在之內的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此.的數(shù)學期望為.（2）（i）如果生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的.（ii）由，得的估計值為，的估計值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，

因此需對當天的生產過程進行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計值為.，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計值為.【點睛】本題考查正態(tài)分布的實際應用以及離散型隨機變量的數(shù)學期望，正態(tài)分布是一種重要的分布，尤其是正態(tài)分布的原則，審清題意，細心計算，屬中檔題.一、單選題1．（2022·全國·贛州市第三中學模擬預測（理））中國習俗講究“十全十美?紅紅火火”.某次元宵節(jié)游園會中有這么一個活動：一個不透明的箱子中裝有15個質地均勻且大小相同的小球，其中有5個紅球，10個黑球，每次隨機取出一球（取出后不放回），取出的第10個球為紅球則獲得小禮品一份，每人只能參與該游戲一次.則小明參與該游戲獲獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】（方法一）從箱子中逐次取出15個球，一共有種取法，而第10個球確定為紅球，有5種取法，其余14個球可以隨機排列，共有種方式，所以取出的第10個球為紅球的概率為（方法二）可以類比為3個小球，2黑1紅，共有紅黑黑?黑紅黑?黑黑紅3中取法，

則取出的第二個小球為紅球是黑紅黑1種取法，所以取出的第二個小球為紅球的概率為.故選：B2．（2022·黑龍江·哈師大附中三模（理））七巧板是中國民間流傳的智力玩具.據(jù)清代陸以湉《冷廬雜識》記載，七巧板是由宋代黃伯思設計的宴幾圖演變而來的，原為文人的一種室內游戲，后在民間逐步演變?yōu)槠磮D版玩具.到明代，七巧板已基本定型為由下面七塊板組成；五塊等腰直角三角形（其中兩塊小型三角形?一塊中型三角形和兩塊大型三角形）?一塊正方形和一塊平行四邊形，可以拼成人物?動物?植物?房亭?樓閣等1600種以上圖案.現(xiàn)從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊，則兩塊板恰好是全等三角形的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)古典概型，結合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】五塊三角形中有兩組全等三角形，所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊，則兩塊板恰好是全等三角形的概率.故選：D3．（2022·遼寧·二模）在北京時間2022年2月6日舉行的女足亞洲杯決賽中，中國女足面對上半場0-2落后的劣勢，發(fā)揚永不言棄的拼搏精神，最終強勢逆轉，時隔16年再奪亞洲杯冠軍！足球比賽中點球射門是隊員練習的必修課．己知某足球隊員在進行點球射門時命中率為，由于慣用腳的原因，他踢向球門左側的概率為，踢向球門右側的概率為．經統(tǒng)計，當他踢向球門左側時，球進的概率為，那么他踢向球門右側時，球進的概率為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】某足球隊員在進行點球射門時命中率=他踢向球門左側的概率×他踢向球門左側時球進的概率+他踢向球門右側的概率×他踢向球門右側時球進的概率，據(jù)此即可列式求解．【詳解】設某隊員踢向球門右側時，球進的概率為x，則由題可知：，解得．

故選：D．4．（2022·江蘇·南京市第一中學三模）柯西分布(Cauchydistribution)是一個數(shù)學期望不存在的連續(xù)型概率分布．記隨機變量服從柯西分布為，其中當，時的特例稱為標準柯西分布，其概率密度函數(shù)為．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由標準柯西分布的概率密度函數(shù)可知，其圖象關于軸對稱，則，利用條件求解即可.【詳解】由題，因為，，所以，所以，故選：D二、多選題5．（2022·廣東·三模）一部機器有甲乙丙三個易損零件，在一個生產周期內，每個零件至多會出故障一次，工程師統(tǒng)計了近100個生產周期內一部機器各類型故障發(fā)生的次數(shù)得到如下柱狀圖，由頻率估計概率，在一個生產周期內，以下說法正確的是（

）A．至少有一個零件發(fā)生故障的概率為0.8

B．有兩個零件發(fā)生故障的概率比只有一個零件發(fā)生故障的概率更大C．乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大D．已知甲零件發(fā)生了故障，此時丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大【答案】AD【分析】由統(tǒng)計圖表得出各概率比較可判斷各選項．【詳解】由圖可得，在一個生產周期內，機器正常的概率為，則至少有一個零件發(fā)生故障的概率為0.8，A正確；有兩個零件發(fā)生故障的概率為，只有一個零件發(fā)生故障的概率為，則有兩個零件發(fā)生故障的概率比只有一個零件發(fā)生故障的概率更小，B錯誤；乙零件發(fā)生故障的概率為，甲零件發(fā)生故障的概率為，則乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更小，C錯誤；由圖可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正確.故選：AD．6．（2022·江蘇南京·三模）連續(xù)拋擲一枚質地均勻的硬幣3次，每次結果要么正面向上，要么反面向上，且兩種結果等可能．記事件A表示“3次結果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次結果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次結果中沒有正面向上”，則（

）A．事件B與事件C互斥B．C．事件A與事件B獨立D．記C的對立事件為，則【答案】BCD【分析】對A，根據(jù)事件B包含事件C判斷即可；對B，根據(jù)概率的性質，用1減去全為正面和全為反面的情況概率即可；對C，根據(jù)相互獨立事件的公式判斷即可；對D，先求得，再利用條件概率公式求解即可【詳解】選項A：顯然B發(fā)生的情況中包含C，故可同時發(fā)生，錯誤；選項B：，正確；

選項C：，故A與B獨立，正確；選項D：，，正確；故選：BCD．7．（2022·全國·模擬預測）下列命題正確的是（

）A．若事件A與B相互獨立，且，，則B．設隨機變量X服從正態(tài)分布，則C．在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，當樣本相關系數(shù)越接近1時，樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強D．在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好【答案】ACD【分析】根據(jù)相互獨立事件和條件概率的概率計算公式，可判定A正確；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可判定B錯誤；根據(jù)相關系數(shù)的含義，可判定C正確；根據(jù)殘差的含義，可判定D正確.【詳解】對于A中，若事件A與B相互獨立，且，，可得，則，所以A正確；對于B中，設隨機變量X服從正態(tài)分布，可得，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以B錯誤；對于C中，在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，根據(jù)相關系數(shù)的含義，可得當樣本相關系數(shù)越接近1時，樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強，所以C正確；對于D中，在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，根據(jù)殘差的含義，可得殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好，所以D正確.故選：ACD

8．（2022·全國·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．頻率分布直方圖中最高的小矩形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)的估計值B．已知一組數(shù)據(jù)的方差為5，則這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都加上3后方差為8C．若隨機變量服從二項分布，則D．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】AC【分析】由頻率分布直方圖中眾數(shù)的求解方法即可判斷A；將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都加上同一常數(shù)后，方差不變即可判B；由二項分布和均值的性質即可判C；由正態(tài)分布的對稱性即可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)的求解方法知A正確.對于B，由方差的計算公式知，將一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)都加上同一常數(shù)后，方差不變，故B錯誤.對于C，由二項分布的性質得，，故C正確.對于D，易知，又，所以，則，故D錯誤.故選：AC.9．（2021·海南·模擬預測）設隨機變量服從正態(tài)分布，隨機變量服從正態(tài)分布，下列判斷正確的是（

）A． B．C．存在，滿足 D．存在，滿足【答案】BC【分析】根據(jù)已知X、Y的正態(tài)分布，利用正態(tài)分布曲線的性質，即可判斷各選項的正誤【詳解】由題設知，的正態(tài)分布的參數(shù)為，，的正態(tài)分布的參數(shù)為，.A：，，所以，錯誤；B：，，所以，正確；C：由，所以，正確；

D：大致作出和的正態(tài)曲線，如圖所示，可知在軸左側，的正態(tài)曲線總在的正態(tài)曲線的下方，的正態(tài)曲線下方的區(qū)域面積總小于的正態(tài)曲線下方的區(qū)域面積，即，從而，錯誤.故選：BC10．（2021·河北唐山·三模）下列說法正確的是（

）A．某投擲類游戲闖關規(guī)則是游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，游戲者即闖關成功，并停止投擲，已知每次投中的概率為，，則游戲者闖關成功的概率為B．從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為C．已知隨機變量X的分布列為，則D．若隨機變量，且.則，【答案】AC【分析】選項A先求5次都沒投中的概率，由對立事件的概率關系判斷；選項B.由其中至少有一名女生分為：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四種情況，可判斷;選項C.由分布列的性質先求，即可判斷；選項C.由正態(tài)分布的性質和期望的性質可判斷.【詳解】選項A.5次都沒投中的概率為.所以游戲者闖關成功的概率為，故A正確.選項B.從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生分為：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四種情況.共有種情況.而

所以其中至少有一名女生的概率為：.故B不正確.選項C.由，則，解得所以，故C正確.選項D.由隨機變量，則，所以,故D不正確.故選：AC11．（2021·江蘇江蘇·二模）某中學為了研究高三年級學生的身高和性別的相關性問題，從高三年級800名學生中隨機抽取200名學生測量身高，測量數(shù)據(jù)的列聯(lián)表如下：單位：人性別身高合計低于170不低于170女801696男2084104合計100100200下列說法正確的有（

）附1：(其中).臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附2：若，則隨機變量X取值落在區(qū)間上的概率約為68.3%.A．從列聯(lián)表可以判斷該樣本是由分層抽樣而得B．從列聯(lián)表可以看出該中學高三學生身高最高的是男生C．有99.9%的把握認為該中學高三學生的身高與性別有關聯(lián)D．若該樣本中男生身高(單位：)服從正態(tài)分布，則該樣本中身高在區(qū)間

內的男生超過30人【答案】CD【分析】A.由分層抽樣的特點判斷；B.從列聯(lián)表的特點判斷；C.求出判斷；D.由正態(tài)分布求解判斷.【詳解】A.高三年級學生沒有差異，所以不用分層抽樣，故錯誤；B.從列聯(lián)表可以看出該中學高三學生身高的人數(shù)，故錯誤；C.，故正確D.，故正確，故選：CD.三、填空題12．（2022·福建莆田·三模）五一期間，某個家庭（一共四個大人，三個小孩）一起去旅游，在某景點站成一排拍照留念，則小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的概率是_______．【答案】【分析】根據(jù)全排列求出7人總的排法種數(shù)，再利用插空法求出小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的排法種數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】7個人全排列有種排法，利用插空法，其中小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的排法有種，所以小孩不站在兩端，且每個小孩左右兩邊都有大人的概率.故答案為：13．（2022·全國·河源市河源中學模擬預測）A?B兩輛貨車計劃于同一時刻達到某一港口.已知在貨車B準點的情況下，貨車A晚點的概率為；而在貨車A晚點的情況下，貨車B準點的概率為.若貨車A?B準點的概率相同，且貨車到達該港口只有準點與晚點兩種情況，則貨車B晚點的概率為___________.【答案】【分析】設A晚點為事件X，B準點為事件Y，由條件概率公式得，從而得到答案.【詳解】設A晚點為事件X，B準點為事件Y，因為，所以.

由條件概率公式得，，因此，可以求解得到，因此B晚點的概率為.故答案為：14．（2022·江蘇江蘇·三模）抽樣表明，某地區(qū)新生兒體重近似服從正態(tài)分布.假設隨機抽取個新生兒體檢，記表示抽取的個新生兒體重在以外的個數(shù).若的數(shù)學期望，則的最大值是___________.【答案】16【分析】根據(jù)正太分布的原則進行計算.【詳解】根據(jù)正太分布的原則可知：，得：，因為為正整數(shù)，故的最大值為16.故答案為：16四、雙空題15．（2022·江蘇南京·三模）19世紀，美國天文學家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀后，物理學家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進制隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學愛好者用此定律來檢驗某些經濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．根據(jù)本福特定律，在某項大量經濟數(shù)據(jù)（十進制）中，以6開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為______；若,，則k的值為__________．【答案】

5【分析】第一空，將代入即可求得答案；第二空，根據(jù)得到的表達式，結合的值可得方程，解得答案.【詳解】由題意可得：（1）

（2），而，故，則．故答案為：16．（2022·浙江·慈溪中學模擬預測）林鋒家所在小區(qū)原本是開放式小區(qū)，停車難問題一直困擾著該小區(qū)居民.今年當?shù)卣e極進行老小區(qū)改造，通過竭力協(xié)調將閑置的空間改造成了綠色車位，受到居民的廣泛稱贊，如今林鋒家樓下原本堆滿廢墟的地方已經改造成了7個綠色車位.某天中午林鋒家來了四位客人，這四位客人各自駕駛一輛車，其中三輛黑色，一輛白色.此時這7個車位恰好均未使用，于是這四輛車隨機規(guī)范停入這7個車位.則恰好三輛黑色車相鄰停放的概率為___________；記剩余的3個空車位中相鄰的車位數(shù)最大者為（若3個空車位均相鄰則，若3個空車位有且僅有兩個相鄰則，若3個空車位均不相鄰則），則的數(shù)學期望為___________.【答案】

【分析】依據(jù)古典概型去求恰好三輛黑色車相鄰停放的概率；依據(jù)離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義去求的數(shù)學期望.【詳解】記“恰好三輛黑色車相鄰停放”為事件M，則.隨機變量的取值為1，2，3，則；；，故.故答案為：；.17．（2022·安徽安慶·二模（理））立德中學開展學生數(shù)學素養(yǎng)測評活動，高一年級測評分值（滿分100分）X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線如圖①所示.為了調查參加測評的學生數(shù)學學習的方法與習慣差異，決定在分數(shù)段內抽取學生，并確定m＝67，且.在某班隨機抽樣得到20名學生的分值分布莖葉圖如圖②所示.若該班抽取學生分數(shù)在分數(shù)段內的人數(shù)為k，則k等于______；這k名學生的人均分為______.（附：，，）

【答案】

10

74分【分析】由已知，測評分值服從正態(tài)分布，根據(jù)圖像，分別求解出，，根據(jù)給的參考數(shù)據(jù)，結合給定的范圍，即可確定的值，然后根據(jù)區(qū)間的范圍，在圖②輸出滿足條件的數(shù)據(jù)，即可確定k的值，并根據(jù)k的取值再去計算平均數(shù)即可.【詳解】有圖像可知，服從正態(tài)分布，其中，，所以隨機變量，，，由，可得.由圖②可知，該班在內抽取了10人；所以，人均分為分.故答案為：10，74分.五、解答題18．（2022·四川南充·三模（文））某企業(yè)主管部門為了解企業(yè)某產品年營銷費用x（單位：萬元）對年銷售量）（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近5年的年營銷費用和年銷售量做了初步處理，得到的散點圖及一些統(tǒng)計量的值如下：15052518001200

根據(jù)散點圖判斷，發(fā)現(xiàn)年銷售量y（萬件）關于年營銷費用x（萬元）之間可以用進行回歸分析．(1)求y關于x的回歸方程；(2)從該產品的流水線上隨機抽取100件產品，統(tǒng)計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖：規(guī)定產品的質量指標值在的為劣質品，在的為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷售時劣質品每件虧損0.8元，優(yōu)等品每件盈利4元，特優(yōu)品每件盈利6元，以這100件產品的質量指標值位于各區(qū)間的頻率代替產品的質量指標值位于該區(qū)間的概率．如果企業(yè)今年計劃投入的營銷費用為80萬元，請你預報今年企業(yè)該產品的銷售總量和年總收益．附：①收益＝銷售利潤－營銷費用；②對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【答案】(1)；(2)今年企業(yè)該產品的銷售總量估計為180萬件，年總收益估計為460萬元．【分析】（1）求出，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）求出產品的質量指標值在、、

的頻率，由（1）估計銷售總量，再由已知列式計算作答.(1)根據(jù)題意得，，，，y關于x的回歸方程為.(2)由（1）可知：當時，，即營銷費用為80萬元，該產品的銷售總量約為180萬件，由頻率分布直方圖知，產品的質量指標值在、、的頻率分別為、、，以頻率為概率可以估計：銷售的180萬件產品中，劣質品約為180×0.25=45（萬件），優(yōu)等品約為180×0.65＝117（萬件），特優(yōu)品約為180×0.1＝18（萬件），估計今年企業(yè)該產品的總收益為：（萬元），所以，今年企業(yè)該產品的銷售總量估計為180萬件，年總收益估計為460萬元.19．（2022·河南商丘·三模（文））大力開展體育運動，增強學生體質，是學校教育的重要目標之一．某校組織全校學生進行了立定跳遠訓練，為了解訓練的效果，從該校男生中隨機抽出100人進行立定跳遠達標測試，成績（單位：米）均在內，整理數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖．學校規(guī)定男生立定跳遠2.05米及以上為達標，否則不達標．(1)若男生立定跳遠的達標率低于60%，該校男生還需加強立定跳遠訓練．請你通過計算，判斷該校男生是否還需加強立定跳遠訓練；(2)從該校隨機抽取的100名立定跳遠成績在和

內的男生中，用分層抽樣的方法抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這2人來自不同區(qū)間的概率．【答案】(1)該校男生還需加強立定跳遠訓練．(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出男生立定跳遠的達標率，即可判斷；（2）依題意抽取的7人應從立定跳遠成績在內的男生中抽取4人，分別記為，，，，成績在內的男生中抽取3人，分別記為，，．用列舉法列出所有可能結果，再找出符合題意的基本事件，最后根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；(1)解：由頻率分布直方圖可知，男生立定跳遠的達標率為因為，所以該校男生還需加強立定跳遠訓練．(2)解：由題意可知，抽取的7人應從立定跳遠成績在內的男生中抽取人，分別記為，，，，成績在內的男生中抽取人，分別記為，，．從這7人中隨機抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21個；其中這2人來自不同區(qū)間的有：，，，，，，，，，，，共12個；故這2人來自不同區(qū)間的概率為．20．（2022·北京·模擬預測）2022年北京冬奧會的成功舉辦，帶動中國3億多人