考點(diǎn)26 概率、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布（核心考點(diǎn)講與練）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）解析版

考點(diǎn)26概率、二項(xiàng)分布與正態(tài)分布（核心考點(diǎn)講與練）1.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B).②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B).2.基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.3.古典概型具有以下兩個(gè)特征的概率模型稱為古典的概率模型，簡稱古典概型.(1)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果.(2)每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.3.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).4.古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的可能結(jié)果數(shù),試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)).5.全概率公式(1)完備事件組：設(shè)Ω是試驗(yàn)E的樣本空間，事件A1，A2，…，An是樣本空間的一個(gè)劃分，滿足：①A1∪A2∪…∪An＝Ω.②A1，A2，…，An兩兩互不相容，則稱事件A1，A2，…，An組成樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組.(2)全概率公式設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，eq\o(∪,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))Ai＝

S，則對任一事件B，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)稱滿足上述條件的A1，A2，…，An為完備事件組.6.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)①定義：在相同的條件下，重復(fù)地做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).②概率公式：在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).(2)二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X，事件A不發(fā)生的概率為q＝1－p，則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布列：X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)pqn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0此時(shí)稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).7.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線，其函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝eq\f(1,\r(2π)·σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R(其中μ，σ為參數(shù)，且σ>0，－∞<μ<＋∞).(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交，與x軸之間的面積為1；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.(3)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.1.求古典概型概率的基本步驟：

(1)算出所有基本事件的個(gè)數(shù)n.(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有：(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面計(jì)算較繁瑣或難以入手時(shí)，可從其對立事件入手計(jì)算．3.判斷隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布的條件(X～B(n，p))①X的取值為0，1，2，…，n；②P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p為試驗(yàn)成功的概率)．[提醒]在實(shí)際應(yīng)用中，往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗(yàn)可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，進(jìn)而判定是否服從二項(xiàng)分布．4.超幾何分布的特點(diǎn)(1)對于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可直接應(yīng)用公式給出．(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量取值的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型．5.正態(tài)分布下的概率計(jì)算常見的兩類問題(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè)．概率1.（2021重慶市九龍坡區(qū)高三上學(xué)期期中）有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖，現(xiàn)準(zhǔn)備通過一一試開將其區(qū)分出來，每次隨機(jī)抽出一把進(jìn)行試開，試開后不放回，則恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率是（）

A. B. C. D.【答案】B【分析】恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的情況為3種：①前三把都能開鎖，②第一把不能開鎖，第二把能開鎖，第三把不能開鎖，③第一把能開鎖，第二把不能開鎖，第三把不能開鎖，由此能求出恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率．【詳解】有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖．現(xiàn)準(zhǔn)備通過一一試開將其區(qū)分出來，每次隨機(jī)抽出一把進(jìn)行試開，試開后不放回，恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的情況為3種：①前三把都能開鎖，②第一把不能開鎖，第二把能開鎖，第三把不能開鎖，③第一把能開鎖，第二把不能開鎖，第三把不能開鎖，恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率為：．故選：B．2.（2021重慶市第一中學(xué)高三下學(xué)期第二次月考）我國占代圖書之一的《周髀算經(jīng)》中指出：某地的冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次是一個(gè)等差數(shù)列．已知立春與驚蟄兩個(gè)節(jié)氣的日影長分別為11尺和10尺，現(xiàn)在隨機(jī)選出3個(gè)節(jié)氣，至少有一個(gè)節(jié)氣的日影長大于9尺的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】令冬至影長為，公差為，則，進(jìn)而確定十二節(jié)氣日影長，再應(yīng)用組合數(shù)及對立事件的概率求法求概率即可.【詳解】由題意，令冬至影長為，公差為，則，故.∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷肉、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次為，∴隨機(jī)選出3個(gè)節(jié)氣至少有一個(gè)節(jié)氣的日影長大于9尺的概率.故選：C3.（2

021新疆烏魯木齊市第八中學(xué)高三檢測）我國古代的一些數(shù)字詩精巧有趣，又飽含生活的哲學(xué)，如清代鄭板橋的《題畫竹》：“一兩三枝竹竿，四五六片竹葉，自然淡淡疏疏，何必重重疊疊．”現(xiàn)從1，2，3，4，5，6中隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)字組成，則恰好能使得的概率是____________．【答案】【分析】列舉基本事件，直接求概率即可.【詳解】1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字中滿足的數(shù)對有：，，4，5，6，，，5，6；，，6；，，共10種，而，，3，4，5，6，，，2，4，5，6，，，2，3，5，6，，，2，3，4，6，，，2，3，4，5，共有25種，所求概率為．故答案為：．4.事件A,B,C相互獨(dú)立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,則P(B)=____;PB)=____.【答案】①.②.【解析】【詳解】分析：根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可得結(jié)合對立事件概率公式可得結(jié)果.

詳解：由題意得得,所以點(diǎn)睛：本題主要考查獨(dú)立事件、對立事件的概率，屬于中檔題.解答這類綜合性的概率問題一定要把事件的獨(dú)立性、互斥性結(jié)合起來，要會對一個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)事件進(jìn)行分析，也就是說能把一個(gè)復(fù)雜的事件分成若干個(gè)互斥事件的和，再把其中的每個(gè)事件拆成若干個(gè)相互獨(dú)立的事件的積，這種把復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為簡單事件，綜合事件轉(zhuǎn)化為單一事件的思想方法在概率計(jì)算中特別重要.二項(xiàng)分布1.（多選）（2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)）若隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，則（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)二項(xiàng)分布中概率的計(jì)算公式，，則，，，，

，因此，，．故選：BD．2．設(shè)X為隨機(jī)變量，，若隨機(jī)變量的期望為，則______.【答案】【分析】利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求出，再根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求解即可.【詳解】由題意可知，，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量的期望為，所以，解得，所以.故答案為：.3.已知，且，求Y的分布列．【分析】列舉Y的可能取值，求概率即可求解【詳解】故X可能取值為0,1,2,3，則的可能取值為1,3,5,7，，故分布列為：1357

P超幾何分布1.（2021江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三檢測）有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個(gè)數(shù)，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【分析】，然后算出即可.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是利用組合數(shù)解決超幾何分布的問題，較簡單.2.在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】直接利用超幾何分布概率求解.【詳解】在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則至少取到1件次品的概率為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查超幾何分布概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.3.（2021遼寧省錦州市第二高級中學(xué)高三檢測）學(xué)校要從5名男教師和2名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，設(shè)抽取的人中女教師的人數(shù)為X，求________．【答案】【分析】本題主要考查了超幾何分步的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意，X的取值為0或1，代入超幾何分布公式求出對應(yīng)概率，再相加即可．

【詳解】解：由題意可得，，所以．故答案為：．正態(tài)分布1.（多選）（2021廣東省普寧市華僑中學(xué)高三上學(xué)期期中）甲、乙兩名高中同學(xué)歷次數(shù)學(xué)測試成績(百分制)分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是（）附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則.A．乙同學(xué)的平均成績優(yōu)于甲同學(xué)的平均成績B．甲同學(xué)的平均成績優(yōu)于乙同學(xué)的平均成績C．甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)成績更集中于平均值附近D．若，則甲同學(xué)成績高于80分的概率約為0.1587【答案】ACD【分析】利用正態(tài)分布曲線與參數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的意義、正態(tài)曲線的對稱性，對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】解：由圖象可知，甲的圖象關(guān)于對稱，乙的圖象關(guān)于對稱，所以甲同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，乙同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，故選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)榧椎膱D象比乙的圖象更“高瘦”，所以甲的成績比乙的成績更集中于平均值左右，則甲同學(xué)成績的方差比乙同學(xué)成績的方差小，故選項(xiàng)C正確；若，則甲同學(xué)成績高于80分的概率約為，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．2.（2021廣西桂林普通高中高三檢測）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得．【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴正態(tài)曲線的對稱軸是．又，∴，由對稱性可知，

．故答案為：．1.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)）在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.【詳解】設(shè)“區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”，對應(yīng)集合為：，區(qū)間長度為，

“取到的數(shù)小于”，對應(yīng)集合為：，區(qū)間長度為，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是明確事件“取到的數(shù)小于”對應(yīng)的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可準(zhǔn)確求出．2．（2021·全國·高考真題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選：D.3．（2021·全國·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立

【答案】B【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】，故選：B【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計(jì)算對應(yīng)概率，再判斷是否成立4.（2020年全國統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計(jì)算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，

記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5.（2017全國高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1），（2）（?。┮娫斀?；（ⅱ）需要.,【分析】（1）依題知一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率，可知尺寸在之外的概率為0.0026，而，進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望.（2）（i）判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；（ii）計(jì)算，剔除之外的數(shù)據(jù)，算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計(jì)值，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計(jì)值.【詳解】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此.的數(shù)學(xué)期望為.（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.（ii）由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，

因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為.，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計(jì)值為.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，正態(tài)分布是一種重要的分布，尤其是正態(tài)分布的原則，審清題意，細(xì)心計(jì)算，屬中檔題.一、單選題1．（2022·全國·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））中國習(xí)俗講究“十全十美?紅紅火火”.某次元宵節(jié)游園會中有這么一個(gè)活動：一個(gè)不透明的箱子中裝有15個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中有5個(gè)紅球，10個(gè)黑球，每次隨機(jī)取出一球（取出后不放回），取出的第10個(gè)球?yàn)榧t球則獲得小禮品一份，每人只能參與該游戲一次.則小明參與該游戲獲獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】（方法一）從箱子中逐次取出15個(gè)球，一共有種取法，而第10個(gè)球確定為紅球，有5種取法，其余14個(gè)球可以隨機(jī)排列，共有種方式，所以取出的第10個(gè)球?yàn)榧t球的概率為（方法二）可以類比為3個(gè)小球，2黑1紅，共有紅黑黑?黑紅黑?黑黑紅3中取法，

則取出的第二個(gè)小球?yàn)榧t球是黑紅黑1種取法，所以取出的第二個(gè)小球?yàn)榧t球的概率為.故選：B2．（2022·黑龍江·哈師大附中三模（理））七巧板是中國民間流傳的智力玩具.據(jù)清代陸以湉《冷廬雜識》記載，七巧板是由宋代黃伯思設(shè)計(jì)的宴幾圖演變而來的，原為文人的一種室內(nèi)游戲，后在民間逐步演變?yōu)槠磮D版玩具.到明代，七巧板已基本定型為由下面七塊板組成；五塊等腰直角三角形（其中兩塊小型三角形?一塊中型三角形和兩塊大型三角形）?一塊正方形和一塊平行四邊形，可以拼成人物?動物?植物?房亭?樓閣等1600種以上圖案.現(xiàn)從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊，則兩塊板恰好是全等三角形的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)古典概型，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】五塊三角形中有兩組全等三角形，所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊，則兩塊板恰好是全等三角形的概率.故選：D3．（2022·遼寧·二模）在北京時(shí)間2022年2月6日舉行的女足亞洲杯決賽中，中國女足面對上半場0-2落后的劣勢，發(fā)揚(yáng)永不言棄的拼搏精神，最終強(qiáng)勢逆轉(zhuǎn)，時(shí)隔16年再奪亞洲杯冠軍！足球比賽中點(diǎn)球射門是隊(duì)員練習(xí)的必修課．己知某足球隊(duì)員在進(jìn)行點(diǎn)球射門時(shí)命中率為，由于慣用腳的原因，他踢向球門左側(cè)的概率為，踢向球門右側(cè)的概率為．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)他踢向球門左側(cè)時(shí)，球進(jìn)的概率為，那么他踢向球門右側(cè)時(shí)，球進(jìn)的概率為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】某足球隊(duì)員在進(jìn)行點(diǎn)球射門時(shí)命中率=他踢向球門左側(cè)的概率×他踢向球門左側(cè)時(shí)球進(jìn)的概率+他踢向球門右側(cè)的概率×他踢向球門右側(cè)時(shí)球進(jìn)的概率，據(jù)此即可列式求解．【詳解】設(shè)某隊(duì)員踢向球門右側(cè)時(shí)，球進(jìn)的概率為x，則由題可知：，解得．

故選：D．4．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）柯西分布(Cauchydistribution)是一個(gè)數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分布．記隨機(jī)變量服從柯西分布為，其中當(dāng)，時(shí)的特例稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，其概率密度函數(shù)為．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的概率密度函數(shù)可知，其圖象關(guān)于軸對稱，則，利用條件求解即可.【詳解】由題，因?yàn)椋?，所以，所以，故選：D二、多選題5．（2022·廣東·三模）一部機(jī)器有甲乙丙三個(gè)易損零件，在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，每個(gè)零件至多會出故障一次，工程師統(tǒng)計(jì)了近100個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)一部機(jī)器各類型故障發(fā)生的次數(shù)得到如下柱狀圖，由頻率估計(jì)概率，在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，以下說法正確的是（

）A．至少有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為0.8

B．有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率比只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率更大C．乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更大D．已知甲零件發(fā)生了故障，此時(shí)丙零件發(fā)生故障的概率比乙零件發(fā)生故障的概率更大【答案】AD【分析】由統(tǒng)計(jì)圖表得出各概率比較可判斷各選項(xiàng)．【詳解】由圖可得，在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，機(jī)器正常的概率為，則至少有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為0.8，A正確；有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率為，只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率為，則有兩個(gè)零件發(fā)生故障的概率比只有一個(gè)零件發(fā)生故障的概率更小，B錯(cuò)誤；乙零件發(fā)生故障的概率為，甲零件發(fā)生故障的概率為，則乙零件發(fā)生故障的概率比甲零件發(fā)生故障的概率更小，C錯(cuò)誤；由圖可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正確.故選：AD．6．（2022·江蘇南京·三模）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，每次結(jié)果要么正面向上，要么反面向上，且兩種結(jié)果等可能．記事件A表示“3次結(jié)果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次結(jié)果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次結(jié)果中沒有正面向上”，則（

）A．事件B與事件C互斥B．C．事件A與事件B獨(dú)立D．記C的對立事件為，則【答案】BCD【分析】對A，根據(jù)事件B包含事件C判斷即可；對B，根據(jù)概率的性質(zhì)，用1減去全為正面和全為反面的情況概率即可；對C，根據(jù)相互獨(dú)立事件的公式判斷即可；對D，先求得，再利用條件概率公式求解即可【詳解】選項(xiàng)A：顯然B發(fā)生的情況中包含C，故可同時(shí)發(fā)生，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，正確；

選項(xiàng)C：，故A與B獨(dú)立，正確；選項(xiàng)D：，，正確；故選：BCD．7．（2022·全國·模擬預(yù)測）下列命題正確的是（

）A．若事件A與B相互獨(dú)立，且，，則B．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則C．在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)越接近1時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)D．在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好【答案】ACD【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件和條件概率的概率計(jì)算公式，可判定A正確；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的含義，可判定C正確；根據(jù)殘差的含義，可判定D正確.【詳解】對于A中，若事件A與B相互獨(dú)立，且，，可得，則，所以A正確；對于B中，設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，可得，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以B錯(cuò)誤；對于C中，在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的含義，可得當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)越接近1時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以C正確；對于D中，在回歸分析中，對一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，根據(jù)殘差的含義，可得殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好，所以D正確.故選：ACD

8．（2022·全國·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．頻率分布直方圖中最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)的估計(jì)值B．已知一組數(shù)據(jù)的方差為5，則這組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)都加上3后方差為8C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則D．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】AC【分析】由頻率分布直方圖中眾數(shù)的求解方法即可判斷A；將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)都加上同一常數(shù)后，方差不變即可判B；由二項(xiàng)分布和均值的性質(zhì)即可判C；由正態(tài)分布的對稱性即可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)頻率分布直方圖中眾數(shù)的求解方法知A正確.對于B，由方差的計(jì)算公式知，將一組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)都加上同一常數(shù)后，方差不變，故B錯(cuò)誤.對于C，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)得，，故C正確.對于D，易知，又，所以，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.9．（2021·海南·模擬預(yù)測）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，下列判斷正確的是（

）A． B．C．存在，滿足 D．存在，滿足【答案】BC【分析】根據(jù)已知X、Y的正態(tài)分布，利用正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的正誤【詳解】由題設(shè)知，的正態(tài)分布的參數(shù)為，，的正態(tài)分布的參數(shù)為，.A：，，所以，錯(cuò)誤；B：，，所以，正確；C：由，所以，正確；

D：大致作出和的正態(tài)曲線，如圖所示，可知在軸左側(cè)，的正態(tài)曲線總在的正態(tài)曲線的下方，的正態(tài)曲線下方的區(qū)域面積總小于的正態(tài)曲線下方的區(qū)域面積，即，從而，錯(cuò)誤.故選：BC10．（2021·河北唐山·三模）下列說法正確的是（

）A．某投擲類游戲闖關(guān)規(guī)則是游戲者最多投擲5次，只要有一次投中，游戲者即闖關(guān)成功，并停止投擲，已知每次投中的概率為，，則游戲者闖關(guān)成功的概率為B．從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為C．已知隨機(jī)變量X的分布列為，則D．若隨機(jī)變量，且.則，【答案】AC【分析】選項(xiàng)A先求5次都沒投中的概率，由對立事件的概率關(guān)系判斷；選項(xiàng)B.由其中至少有一名女生分為：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四種情況，可判斷;選項(xiàng)C.由分布列的性質(zhì)先求，即可判斷；選項(xiàng)C.由正態(tài)分布的性質(zhì)和期望的性質(zhì)可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.5次都沒投中的概率為.所以游戲者闖關(guān)成功的概率為，故A正確.選項(xiàng)B.從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生分為：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四種情況.共有種情況.而

所以其中至少有一名女生的概率為：.故B不正確.選項(xiàng)C.由，則，解得所以，故C正確.選項(xiàng)D.由隨機(jī)變量，則，所以,故D不正確.故選：AC11．（2021·江蘇江蘇·二模）某中學(xué)為了研究高三年級學(xué)生的身高和性別的相關(guān)性問題，從高三年級800名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生測量身高，測量數(shù)據(jù)的列聯(lián)表如下：單位：人性別身高合計(jì)低于170不低于170女801696男2084104合計(jì)100100200下列說法正確的有（

）附1：(其中).臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附2：若，則隨機(jī)變量X取值落在區(qū)間上的概率約為68.3%.A．從列聯(lián)表可以判斷該樣本是由分層抽樣而得B．從列聯(lián)表可以看出該中學(xué)高三學(xué)生身高最高的是男生C．有99.9%的把握認(rèn)為該中學(xué)高三學(xué)生的身高與性別有關(guān)聯(lián)D．若該樣本中男生身高(單位：)服從正態(tài)分布，則該樣本中身高在區(qū)間

內(nèi)的男生超過30人【答案】CD【分析】A.由分層抽樣的特點(diǎn)判斷；B.從列聯(lián)表的特點(diǎn)判斷；C.求出判斷；D.由正態(tài)分布求解判斷.【詳解】A.高三年級學(xué)生沒有差異，所以不用分層抽樣，故錯(cuò)誤；B.從列聯(lián)表可以看出該中學(xué)高三學(xué)生身高的人數(shù)，故錯(cuò)誤；C.，故正確D.，故正確，故選：CD.三、填空題12．（2022·福建莆田·三模）五一期間，某個(gè)家庭（一共四個(gè)大人，三個(gè)小孩）一起去旅游，在某景點(diǎn)站成一排拍照留念，則小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的概率是_______．【答案】【分析】根據(jù)全排列求出7人總的排法種數(shù)，再利用插空法求出小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的排法種數(shù)，根據(jù)古典概型求解.【詳解】7個(gè)人全排列有種排法，利用插空法，其中小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的排法有種，所以小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的概率.故答案為：13．（2022·全國·河源市河源中學(xué)模擬預(yù)測）A?B兩輛貨車計(jì)劃于同一時(shí)刻達(dá)到某一港口.已知在貨車B準(zhǔn)點(diǎn)的情況下，貨車A晚點(diǎn)的概率為；而在貨車A晚點(diǎn)的情況下，貨車B準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.若貨車A?B準(zhǔn)點(diǎn)的概率相同，且貨車到達(dá)該港口只有準(zhǔn)點(diǎn)與晚點(diǎn)兩種情況，則貨車B晚點(diǎn)的概率為___________.【答案】【分析】設(shè)A晚點(diǎn)為事件X，B準(zhǔn)點(diǎn)為事件Y，由條件概率公式得，從而得到答案.【詳解】設(shè)A晚點(diǎn)為事件X，B準(zhǔn)點(diǎn)為事件Y，因?yàn)?，所?

由條件概率公式得，，因此，可以求解得到，因此B晚點(diǎn)的概率為.故答案為：14．（2022·江蘇江蘇·三模）抽樣表明，某地區(qū)新生兒體重近似服從正態(tài)分布.假設(shè)隨機(jī)抽取個(gè)新生兒體檢，記表示抽取的個(gè)新生兒體重在以外的個(gè)數(shù).若的數(shù)學(xué)期望，則的最大值是___________.【答案】16【分析】根據(jù)正太分布的原則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】根據(jù)正太分布的原則可知：，得：，因?yàn)闉檎麛?shù)，故的最大值為16.故答案為：16四、雙空題15．（2022·江蘇南京·三模）19世紀(jì)，美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．根據(jù)本福特定律，在某項(xiàng)大量經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)（十進(jìn)制）中，以6開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為______；若,，則k的值為__________．【答案】

5【分析】第一空，將代入即可求得答案；第二空，根據(jù)得到的表達(dá)式，結(jié)合的值可得方程，解得答案.【詳解】由題意可得：（1）

（2），而，故，則．故答案為：16．（2022·浙江·慈溪中學(xué)模擬預(yù)測）林鋒家所在小區(qū)原本是開放式小區(qū)，停車難問題一直困擾著該小區(qū)居民.今年當(dāng)?shù)卣e極進(jìn)行老小區(qū)改造，通過竭力協(xié)調(diào)將閑置的空間改造成了綠色車位，受到居民的廣泛稱贊，如今林鋒家樓下原本堆滿廢墟的地方已經(jīng)改造成了7個(gè)綠色車位.某天中午林鋒家來了四位客人，這四位客人各自駕駛一輛車，其中三輛黑色，一輛白色.此時(shí)這7個(gè)車位恰好均未使用，于是這四輛車隨機(jī)規(guī)范停入這7個(gè)車位.則恰好三輛黑色車相鄰?fù)７诺母怕蕿開__________；記剩余的3個(gè)空車位中相鄰的車位數(shù)最大者為（若3個(gè)空車位均相鄰則，若3個(gè)空車位有且僅有兩個(gè)相鄰則，若3個(gè)空車位均不相鄰則），則的數(shù)學(xué)期望為___________.【答案】

【分析】依據(jù)古典概型去求恰好三輛黑色車相鄰?fù)７诺母怕?；依?jù)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義去求的數(shù)學(xué)期望.【詳解】記“恰好三輛黑色車相鄰?fù)７拧睘槭录﨧，則.隨機(jī)變量的取值為1，2，3，則；；，故.故答案為：；.17．（2022·安徽安慶·二模（理））立德中學(xué)開展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評活動，高一年級測評分值（滿分100分）X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線如圖①所示.為了調(diào)查參加測評的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，決定在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取學(xué)生，并確定m＝67，且.在某班隨機(jī)抽樣得到20名學(xué)生的分值分布莖葉圖如圖②所示.若該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為k，則k等于______；這k名學(xué)生的人均分為______.（附：，，）

【答案】

10

74分【分析】由已知，測評分值服從正態(tài)分布，根據(jù)圖像，分別求解出，，根據(jù)給的參考數(shù)據(jù)，結(jié)合給定的范圍，即可確定的值，然后根據(jù)區(qū)間的范圍，在圖②輸出滿足條件的數(shù)據(jù)，即可確定k的值，并根據(jù)k的取值再去計(jì)算平均數(shù)即可.【詳解】有圖像可知，服從正態(tài)分布，其中，，所以隨機(jī)變量，，，由，可得.由圖②可知，該班在內(nèi)抽取了10人；所以，人均分為分.故答案為：10，74分.五、解答題18．（2022·四川南充·三模（文））某企業(yè)主管部門為了解企業(yè)某產(chǎn)品年?duì)I銷費(fèi)用x（單位：萬元）對年銷售量）（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值如下：15052518001200

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，發(fā)現(xiàn)年銷售量y（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用x（萬元）之間可以用進(jìn)行回歸分析．(1)求y關(guān)于x的回歸方程；(2)從該產(chǎn)品的流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在的為劣質(zhì)品，在的為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷售時(shí)劣質(zhì)品每件虧損0.8元，優(yōu)等品每件盈利4元，特優(yōu)品每件盈利6元，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率．如果企業(yè)今年計(jì)劃投入的營銷費(fèi)用為80萬元，請你預(yù)報(bào)今年企業(yè)該產(chǎn)品的銷售總量和年總收益．附：①收益＝銷售利潤－營銷費(fèi)用；②對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．【答案】(1)；(2)今年企業(yè)該產(chǎn)品的銷售總量估計(jì)為180萬件，年總收益估計(jì)為460萬元．【分析】（1）求出，再利用最小二乘法公式求解作答.（2）求出產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在、、

的頻率，由（1）估計(jì)銷售總量，再由已知列式計(jì)算作答.(1)根據(jù)題意得，，，，y關(guān)于x的回歸方程為.(2)由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，即營銷費(fèi)用為80萬元，該產(chǎn)品的銷售總量約為180萬件，由頻率分布直方圖知，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在、、的頻率分別為、、，以頻率為概率可以估計(jì)：銷售的180萬件產(chǎn)品中，劣質(zhì)品約為180×0.25=45（萬件），優(yōu)等品約為180×0.65＝117（萬件），特優(yōu)品約為180×0.1＝18（萬件），估計(jì)今年企業(yè)該產(chǎn)品的總收益為：（萬元），所以，今年企業(yè)該產(chǎn)品的銷售總量估計(jì)為180萬件，年總收益估計(jì)為460萬元.19．（2022·河南商丘·三模（文））大力開展體育運(yùn)動，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，是學(xué)校教育的重要目標(biāo)之一．某校組織全校學(xué)生進(jìn)行了立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練，為了解訓(xùn)練的效果，從該校男生中隨機(jī)抽出100人進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)測試，成績（單位：米）均在內(nèi)，整理數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖．學(xué)校規(guī)定男生立定跳遠(yuǎn)2.05米及以上為達(dá)標(biāo)，否則不達(dá)標(biāo)．(1)若男生立定跳遠(yuǎn)的達(dá)標(biāo)率低于60%，該校男生還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練．請你通過計(jì)算，判斷該校男生是否還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練；(2)從該校隨機(jī)抽取的100名立定跳遠(yuǎn)成績在和

內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自不同區(qū)間的概率．【答案】(1)該校男生還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練．(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出男生立定跳遠(yuǎn)的達(dá)標(biāo)率，即可判斷；（2）依題意抽取的7人應(yīng)從立定跳遠(yuǎn)成績在內(nèi)的男生中抽取4人，分別記為，，，，成績在內(nèi)的男生中抽取3人，分別記為，，．用列舉法列出所有可能結(jié)果，再找出符合題意的基本事件，最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；(1)解：由頻率分布直方圖可知，男生立定跳遠(yuǎn)的達(dá)標(biāo)率為因?yàn)椋栽撔Ｄ猩€需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練．(2)解：由題意可知，抽取的7人應(yīng)從立定跳遠(yuǎn)成績在內(nèi)的男生中抽取人，分別記為，，，，成績在內(nèi)的男生中抽取人，分別記為，，．從這7人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21個(gè)；其中這2人來自不同區(qū)間的有：，，，，，，，，，，，共12個(gè)；故這2人來自不同區(qū)間的概率為．20．（2022·北京·模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會的成功舉辦，帶動中國3億多人