2023-2024學(xué)年上海市12校聯(lián)考高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市12校聯(lián)考高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國(guó)大運(yùn)河項(xiàng)目成功人選世界文化遺產(chǎn)名錄，成為中國(guó)第46個(gè)世界遺產(chǎn)項(xiàng)目，隨著對(duì)大運(yùn)河的保護(hù)與開發(fā)，大運(yùn)河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的地．今有一旅游團(tuán)乘游船從奧體公園碼頭出發(fā)順流而下至漕運(yùn)碼頭，又立即逆水返回奧體公園碼頭，已知游船在順?biāo)械乃俣葹?，在逆水中的速度為，則游船此次行程的平均速度V與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.2．若，都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3．橢圓的焦點(diǎn)為、，上頂點(diǎn)為，若，則（）A B.C. D.4．某地區(qū)高中分三類，A類學(xué)校共有學(xué)生2000人，B類學(xué)校共有學(xué)生3000人，C類學(xué)校共有學(xué)生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學(xué)校中的學(xué)生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.5．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切，則圓的方程為A. B.或C. D.或6．在四面體中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.7．設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的有，若，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)取最大時(shí)的值為（）A. B.C. D.9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，焦距，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的方程為（）A. B.C. D.10．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11．下列說(shuō)法中正確的是（）A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.棱臺(tái)的所有側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形D.正棱錐的各條棱長(zhǎng)都相等12．己知命題；命題，則下列命題中為假命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線的傾斜角為_______________.14．“”是“”的________條件.（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選擇一項(xiàng)填空.）15．半徑為的球的體積為_________16．寫出同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式______．①不是等差數(shù)列，②是等比數(shù)列，③是遞增數(shù)列三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行，求函數(shù)的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.18．（12分）已知橢圓：，的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為，的離心率為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)E和，分別作直線交橢圓于，和，點(diǎn)，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.19．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值.20．（12分）某學(xué)校一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型飛行高度實(shí)驗(yàn)，飛機(jī)模型在第一分鐘時(shí)間內(nèi)上升了米高度．若通過(guò)動(dòng)力控制系統(tǒng)，可使飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的（1）在此動(dòng)力控制系統(tǒng)下，該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是多少米？（2）這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度能超過(guò)米嗎？如果能，求出從第幾分鐘開始高度超過(guò)米；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．（10分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點(diǎn)，D為上一點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，求平面ADC與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出平均速度V，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】易知，設(shè)奧運(yùn)公園碼頭到漕運(yùn)碼頭之間的距離為1，則游船順流而下的時(shí)間為，逆流而上的時(shí)間為，則平均速度，由基本不等式可得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩個(gè)不等式都取得“=”，而根據(jù)題意，于是.故選：A.2、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可得正確選項(xiàng).【詳解】若，則，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，滿足，但，無(wú)意義得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.3、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，焦點(diǎn)為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.4、D【解析】利用抽樣的性質(zhì)求解【詳解】所有學(xué)生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D5、D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式可得或，進(jìn)而求得答案【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳A與直線相切，所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程，屬于一般題6、B【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：由題知，故選：B.7、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后利用單調(diào)性，對(duì)題干條件變形后得到不等關(guān)系，求出答案.【詳解】令，則恒成立，故單調(diào)遞增，變形為，即，從而，解得：，故k的取值范圍是故選：C8、B【解析】由已知條件及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷取最大時(shí)的值.【詳解】令公差為，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B9、A【解析】畫出圖形，利用已知條件，推出，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，得到直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解，即可求得橢圓的方程.【詳解】如圖所示，，則，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，可得直角和直角，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，在直角中，，解得，又在中，，代入可得，所以，所以橢圓的方程為.故選：A.10、A【解析】因?yàn)椤叭?，則”是真命題，“若，則”是假命題，所以“”是“”成立的充分不必要條件．選A考點(diǎn)：充分必要條件的判斷【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件,必要條件,充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.對(duì)于命題“若,則”是真命題,我們說(shuō),并且說(shuō)是的充分條件，是的必要條件，命題“若,則”是假命題,我們說(shuō),由充分條件，必要條件的定義，可以判斷出“”是“”成立的充分不必要條件．掌握充分條件，必要條件的定義是解題關(guān)鍵11、B【解析】根據(jù)棱柱、棱臺(tái)、球、正棱錐結(jié)構(gòu)特征依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A不正確；棱臺(tái)是由對(duì)應(yīng)的棱錐截得的，B正確；不是所有幾何體的表面都能展開成平面圖形，例如球不能展開成平面圖形，C不正確；正棱錐的各條棱長(zhǎng)并不是都相等，應(yīng)該為正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，所以D不正確.故選：B.12、A【解析】根據(jù)或且非命題的真假進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng),故命題是真命題，，故命題是真命題.因此可知是假命題，是真命題，，均為真命題.故選:A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問(wèn)題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、充分不必要【解析】由不等式的性質(zhì)可知，由得，反之代入進(jìn)行驗(yàn)證，然后根據(jù)充分性與必要性的定義進(jìn)行判斷，即可得出所要的答案【詳解】解：由不等式的性質(zhì)可知，由得，故“”成立可推出“”，而，當(dāng)，則，所以“”不能保證“”，故“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)，屬于較簡(jiǎn)單題型15、【解析】根據(jù)球的體積公式求解【詳解】根據(jù)球的體積公式【點(diǎn)睛】球的體積公式16、【解析】由條件②寫出一個(gè)等比數(shù)列，再求出并確保單調(diào)遞增即可作答.【詳解】因是等比數(shù)列，令，當(dāng)時(shí)，，，是遞增數(shù)列，令是互不相等的三個(gè)正整數(shù)，且，若，，成等差數(shù)列，則，即，則有，顯然、都是正整數(shù)，，都是偶數(shù)，于是得是奇數(shù)，從而有不成立，即，，不成等差數(shù)列，數(shù)列不成等差數(shù)列，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)平行關(guān)系得到切線斜率，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，列出方程，求出，進(jìn)而得到函數(shù)解析式；（2）先由求出，再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性和最值.【小問(wèn)1詳解】，.由題意得：，解得：.，【小問(wèn)2詳解】，則，解得，，，當(dāng)，解得：，即函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，解得：或，即函數(shù)分別在，遞增.又，，，，，.18、（1）：；：（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）利用待定系數(shù)法，根據(jù)條件先求曲線的方程，再求曲線的方程；（2）首先設(shè)，表示直線和的斜率之積，即可求解定值；（3）首先表示直線與方程聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，以及利用直線和的斜率關(guān)系，表示弦長(zhǎng)，并證明為定值.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)知，橢圓離心率為解得∴，∵橢圓的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，∴設(shè)雙曲線：∴的離心率為解得.∴：：；【小問(wèn)2詳解】證明：∵點(diǎn)在上∴設(shè)則，∴.∴直線和的斜率之積為定值1；【小問(wèn)3詳解】證明：設(shè)直線和的斜率分別為，，則設(shè)，：與方程聯(lián)立消得“*”則，是“*”的二根則則同理∴.19、（1）（2）【解析】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)有焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，從而即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立拋物線的方程，由韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間的斜率公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：依題意，，解得，∴拋物線的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，由消去可得，∵直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，∴，由韋達(dá)定理得，∴.20、（1）；（2）不能，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由題得每分鐘上升的高度構(gòu)成等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)求解；（2）求出即得解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成，公比的等比數(shù)列，則米.即飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是米.【小問(wèn)2詳解】解：不能超過(guò)米.依題意可得，所以這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度不能超過(guò)米.21、（1）當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，，令，求出的最大值，從而求出的范圍即得解【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，，，在定義域上單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，，不等式在，上恒