山西省運城市景勝中學2023-2024學年高二上學期10月月考數(shù)學試題（A卷）

景勝中學2023-2024學年度第一學期高二月考（10月）數(shù)學試題（A卷）一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.如圖在四面體中，分別在棱上且滿足，點是線段的中點，用向量表示向量應為（）A.B.C.D.3.已知平行四邊形中，，則頂點的坐標為（）A.B.C.D.4.在棱長為1的正方體中，為的中點，為的三等分點（靠近點），則點到平面的距離為（）A.B.C.D.5.若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.6.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.7.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（）A.B.直線與所成角的正弦值為C.向量與的夾角是D.平面8.已知，且與互相垂直，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），那么下列說法中，正確的有（）A.B.C.D.10.若是平面的一個法向量，則下列向量中能作為平面的法向量的是（）A.B.C.D.11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.的圖象關(guān)于點對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增12.如圖，在直三棱柱中，，點分別是線段上的動點（不含端點），且.則下列說法正確的是（）A.平面B.該三棱柱的外接球的表面積為C.異面直線與所成角的正切值為D.二面角的余弦值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線的方向向量是，平面的法向量，若直線，則__________.14.已知，若，則的值為__________.15.唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為__________.16.設動點在棱長為1的正方體的對角線上，記.當為鈍角時，則的取值范圍是__________.四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知直線.（1）若直線的傾斜角是傾斜角的兩倍，且與的交點在直線上，求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且與的距離為3，求直線的方程.18.在正四棱柱中，是棱上的中點.（1）求證：；（2）異面直線與所成角的余弦值.19.如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.（1）證明：；（2）若，設為中點，求直線與平面所成角的余弦值.20.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點.（1）求直線到平面的距離；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.如圖，在三棱錐中，為的中點.（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值.22.為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺的北偏西方向處設立觀測點，在平臺的正東方向處設立觀測點，規(guī)定經(jīng)過三點的圓以及其內(nèi)部區(qū)域為安全預警區(qū).如圖所示：以為坐標原點，的正東方向為軸正方向，建立平面直角坐標系.（1）試寫出的坐標，并求兩個觀測點之間的距離；（2）某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺正南處，有一艘輪船正以每小時的速度沿北偏東方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進入安全預警區(qū)？如果不進入，請說明理由；如果進入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會行駛多長時間？景勝中學2023-2024學年度第一學期高二月考（10月）數(shù)學參考答案（A卷）單選題1.B2.A3.D4.A5.C6.A7.D8.D多選題9.AB10.ABC11.BD12.AD填空題13.114.15.16.解答題17.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直線的斜率是，所以的傾斜角是，所以直線的傾斜角就是，再根據(jù)交點，利用點斜式方程求直線；（2）設直線的方程為，再根據(jù)平行線的距離求.【詳解】解：（1）因為直線的斜率為，所以傾斜角為.又因為直線的傾斜角是傾斜角的兩倍，故的傾斜角是.因為直線與直線的交點為，所以直線的方程是，即.（2）因為直線與直線平行，故可設直線的方程為.因為與的距離為3，則有，解得或，所以直線的方程或.本題考查直線方程的求法，意在考查直線方程的每種形式需要的條件，但比較重要的還是已知兩點求直線，或者已知直線過一個定點和直線的斜率.18.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量證明線線垂直；（2）在第一問的基礎上，利用空間向量求解異面直角的夾角余弦值.【小問1詳解】證明：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，，，所以；【小問2詳解】，設異面直線與所成角的大小為，則，故異面直線與所成角的余弦值為.19.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面平面可得面，從而可得；（2）建立空間直角坐標系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）依題意，面面，面，面面，面.又面，.（2）解法一：向量法在中，取中點，面，以為坐標原點，分別以為軸，過點且平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，設，，.設面法向量為，則，解得.設直線與平面所成角為，則，因為.所以直線與平面所成角的余弦值為.（2）解法二：幾何法過作交于點，則為中點，過作的平行線，過作的平行線，交點為，連結(jié)，過A作交于點，連結(jié)，連結(jié)，取中點，連結(jié)，四邊形為矩形，所以面，所以，又，所以面，所以為線與面所成的角.令，則，由同一個三角形面積相等可得，為直角三角形，由勾股定理可得，所以，又因為為銳角，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.20.【答案】（1）（2）【解析】【分析】以為原點，所在的直線分別為x軸?y軸?z軸，建立如圖所示的空間坐標系，求出，即可證明，得到平面，點到平面的距離即為直線到平面的距離，求出平面的法向量，然后利用空間向量法求解點到平面的距離，即可得到結(jié)果.（2）求出平面的法向量，利用空間向量法求解平面與平面所成銳二面角的余弦值即可.【小問1詳解】解：以為原點，所在的直線分別為x軸?y軸?z軸，建立如圖所示的"空間坐標系，則...平面點到平面的距離即為直線到平面的距離，設平面的法向量為，則，，取，則，又，點到平面的距離為【小問2詳解】解：設平面的法向量為，則，取，則，平面與平面所成銳二面角的余弦值21.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得垂直，再通過計算，根據(jù)勾股定理得垂直，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設各點坐標，根據(jù)方程組解出平面PAM一個法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關(guān)系列方程，解得坐標，再利用向量數(shù)量積求得向量與平面法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.【詳解】（1）因為為的中點，所以，且.連結(jié).因為，所以為等腰直角三角形，且，由知.由知，平面.（2）[方法一]：【通性通法】向量法如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.由已知得取平面的法向量.設，則.設平面的法向量為.由得，可取所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以與平面所成角的正弦值為.[方法二]：三垂線十等積法由（1）知平面，可得平面平面.如圖5，在平面內(nèi)作，垂足為，則平面.在平面內(nèi)作，垂足為，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即.設，則，在Rt中，.在Rt中，由，得，則.設點到平面的距離為，由，得，解得，則與平面所成角的正弦值為.[方法三]：三垂線十線面角定義法由（1）知平面，可得平面平面.如圖6，在平面內(nèi)作，垂足為，則平面.在平面內(nèi)作，垂足為，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即.同解法1可得.在中，過作，在中，過作，垂足為，聯(lián)結(jié).在Rt中，.因為，所以.由平面，可得平面平面，交線為.在平面內(nèi)，由，可得平面，則為直線與平面所成的角.設，則，又，所以直線與平面所成角的正弦值為.[方法四]：【最優(yōu)解】定義法如圖7，取的中點，聯(lián)結(jié)，則.過作平面的垂線，垂足記為（垂足在平面內(nèi)）.聯(lián)結(jié)，則即為二面角的平面角，即，得.聯(lián)結(jié)，則為直線與平面所成的角.在Rt中，，所以.【整體點評】（2）方法一：根據(jù)題目條件建系，由二面角的向量公式以及線面角的向量公式硬算即可求出，是該類型題的通性通法；方法二：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再根據(jù)等積法求出點到面的距離，由定義求出線面角，是幾何法解決空間角的基本手段；方法三：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再利用線面角的等價轉(zhuǎn)化，然后利用定義法找到線面角解出，是幾何法解決線面角的基本思想，對于該題，略顯麻煩；方法四：直接根據(jù)二面角的定義和線面角的定義解決，原理簡單，計算簡單，是該題的最優(yōu)解.22.【答案】（1）（2）會駛?cè)氚踩A警區(qū)，行駛時長為半小時【解析】【分析】（1）先求出的坐標，再由距離公式得出之