大學(xué)課件-結(jié)晶學(xué)(完整)

結(jié)晶學(xué)Crystallography課程簡介：結(jié)晶學(xué)：以晶體為研究對象，主要研究晶體的對稱規(guī)律。研究的是晶體的共同規(guī)律，不涉及到具體的晶體種類。特點(diǎn)：空間性、抽象性、邏輯性、理性、共性與后續(xù)礦物學(xué)形成明顯的對比：礦物學(xué)：以礦物晶體為研究對象，主要研究各具體礦物晶體的成分、物理性質(zhì)、成因特點(diǎn)等。特點(diǎn)：經(jīng)驗(yàn)性、具體性、歸納分類性、感性、個性結(jié)晶學(xué)（晶體學(xué)）發(fā)展歷史及分支學(xué)科簡介：

結(jié)晶學(xué)始于17世紀(jì)中葉人類的礦業(yè)活動，與天文學(xué)一起成為人類認(rèn)識物質(zhì)世界發(fā)展最早的兩門自然科學(xué)。17～18世紀(jì)：以研究晶體形態(tài)為主，也初步推測研究晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的幾何規(guī)律；19世紀(jì)末～20世紀(jì)初：X－射線的發(fā)現(xiàn)及其對晶體結(jié)構(gòu)的測量，進(jìn)入晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)研究階段；20世紀(jì)70年代以來：透射電鏡研究晶體內(nèi)部超微結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)；20世紀(jì)80年代，發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體，開辟了晶體對稱理論新領(lǐng)域。分支學(xué)科：幾何結(jié)晶學(xué)－研究晶體宏觀形態(tài)幾何規(guī)律，主要是對稱規(guī)律。晶體結(jié)構(gòu)學(xué)－研究晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)幾何規(guī)律及缺陷。晶體化學(xué)－研究晶體成分與結(jié)構(gòu)的關(guān)系。晶體生長學(xué)－研究晶體生長機(jī)理及其影響因素。晶體物理學(xué)－研究晶體物理性質(zhì)及其產(chǎn)生機(jī)理。本課程以晶體形態(tài)對稱規(guī)律及晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)對稱規(guī)律為主，簡介晶體化學(xué)與晶體生長。第一章晶體

本章涉及一些重要的基本概念，這些概念在整個結(jié)晶學(xué)中都經(jīng)常出現(xiàn),一定要牢固掌握。晶體（遠(yuǎn)古年代的定義：自發(fā)形成規(guī)則形態(tài)的物體；(圖片)

現(xiàn)代的定義：內(nèi)部結(jié)構(gòu)具有周期重復(fù)性，即具有

格子構(gòu)造的物體。）

格子構(gòu)造（晶體結(jié)構(gòu)的周期重復(fù)規(guī)律，這種規(guī)律是可以用格子狀的圖形－空間格子表示的。）

空間格子

（表示晶體結(jié)構(gòu)周期重復(fù)規(guī)律的簡單幾何圖形。要畫出空間格子，就一定要找出相當(dāng)點(diǎn)。）

相當(dāng)點(diǎn)（兩個條件：1、性質(zhì)相同，2、周圍環(huán)境相同。）導(dǎo)出空間格子的方法：

首先在晶體結(jié)構(gòu)中找出相當(dāng)點(diǎn)，再將相當(dāng)點(diǎn)按照一定的規(guī)律連接起來就形成了空間格子。相當(dāng)點(diǎn)（兩個條件：1、性質(zhì)相同，2、周圍環(huán)境相同。）空間格子與具體的晶體結(jié)構(gòu)是什么關(guān)系？可以認(rèn)為具體的晶體結(jié)構(gòu)是多套空間格子組成的，見圖。具體的晶體結(jié)構(gòu)是多種原子、離子組成的，使得其重復(fù)規(guī)律不容易看出來，而空間格子就是使其重復(fù)規(guī)律突出表現(xiàn)出來?？臻g格子僅僅是一個體現(xiàn)晶體結(jié)構(gòu)中的周期重復(fù)規(guī)律的幾何圖形，比具體晶體結(jié)構(gòu)要簡單的多。空間格子的要素：

★結(jié)點(diǎn):空間格子中的點(diǎn),代表具體晶體結(jié)構(gòu)中的相當(dāng)點(diǎn).

★行列:結(jié)點(diǎn)在直線上的排列.（引出:結(jié)點(diǎn)間距）

同一行列上的結(jié)點(diǎn)間距怎樣?

★面網(wǎng):結(jié)點(diǎn)在平面上的分布.

（引出:面網(wǎng)間距、面網(wǎng)密度）

面網(wǎng)的形狀一定是平行四邊形！面網(wǎng)AA’間距d1面網(wǎng)BB’間距d2面網(wǎng)CC’間距d3面網(wǎng)DD’間距d4面網(wǎng)間距依次減小,面網(wǎng)密度也是依次減小的.所以:面網(wǎng)密度與面網(wǎng)間距成正比.面網(wǎng)間距與面網(wǎng)密度的關(guān)系：

★平行六面體:

結(jié)點(diǎn)在三維空間形成的最小重復(fù)單位(引出:a,b,c;α,β,γ,稱為軸長與軸角,也稱晶胞參數(shù)

）

abc平行六面體對應(yīng)的實(shí)際晶體中相應(yīng)的范圍叫晶胞。NaCl晶胞金紅石晶胞平行六面體可具有各種不同的形狀，各種形狀的平行六面體的軸長與軸角（晶胞參數(shù)）怎么樣？我們以后將會看到，平行六面體的形狀一共有7種，對應(yīng)有7套晶胞參數(shù)的形式，也對應(yīng)7個晶系。

由晶體的格子構(gòu)造會導(dǎo)致晶體的基本性質(zhì)。晶體的基本性質(zhì)：

★自限性:晶體能夠自發(fā)地生長成規(guī)則的幾何多面體形態(tài)。

★均一性:同一晶體的不同部分物理化學(xué)性質(zhì)完全相同。晶體是絕對均一性，非晶體是統(tǒng)計(jì)的、平均近似均一性。

★異向性：同一晶體不同方向具有不同的物理性質(zhì)。例如：

藍(lán)晶石的不同方向上硬度不同。思考：均一性與異向性有矛盾嗎？異向性與自限性有什么聯(lián)系?★對稱性：同一晶體中，晶體形態(tài)相同的幾個部分（或物理性質(zhì)相同的幾個部分）有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)。例如下面的晶體形態(tài)是對稱的：思考：對稱性與異向性有什么聯(lián)系？★最小內(nèi)能性：晶體與同種物質(zhì)的非晶體相比，內(nèi)能最小。晶體具有固定的熔點(diǎn)。★穩(wěn)定性：晶體比非晶體穩(wěn)定。

﹡要學(xué)會用格子構(gòu)造規(guī)律解釋這些基本性質(zhì)！請同學(xué)們自己解釋。（重點(diǎn)解釋：異向性、最小內(nèi)能性、穩(wěn)定性。）（課堂討論）下面的問題請同學(xué)們思考并討論：1)非晶體（玻璃）的定義及特點(diǎn)？

（引出遠(yuǎn)程規(guī)律與近程規(guī)律）2)液體、氣體的結(jié)構(gòu)具有什么規(guī)律？3)晶體與非晶體的轉(zhuǎn)化？4)準(zhǔn)晶體的發(fā)現(xiàn)及定義：1984年發(fā)現(xiàn)的新現(xiàn)象，具有遠(yuǎn)程規(guī)律但沒有重復(fù)周期。這是什么意思呢？5)準(zhǔn)晶體與晶體、非晶體的關(guān)系？請大家將教材上圖1－2（a）的平面晶體結(jié)構(gòu)的空間格子畫出來。

(答案)本章重點(diǎn)總結(jié)：本章包括3組重要的基本概念:1)晶體、格子構(gòu)造、空間格子、相當(dāng)點(diǎn)；它們之間的關(guān)系。

2)結(jié)點(diǎn)、行列、面網(wǎng)、平行六面體;結(jié)點(diǎn)間距、面網(wǎng)間距與面網(wǎng)密度的關(guān)系.3)晶體的基本性質(zhì)：自限性、均一性、異向性、對稱性、最小內(nèi)能、穩(wěn)定性，并解釋為什么。返回返回黃銅礦NaCl(石鹽)石墨返回第二章晶體的測量與投影一、面角守恒定律：

實(shí)際晶體形態(tài)（歪晶）：偏離理想晶體形態(tài)。

盡管形態(tài)各不相同,看似無規(guī),但對應(yīng)的晶面面角相等,即發(fā)現(xiàn)“面角守恒定律”：

同種礦物的晶體，其對應(yīng)晶面間角度守恒。面角守恒定律的意義：結(jié)晶學(xué)發(fā)展的奠基石?！巴峋А睂?dǎo)致同種礦物晶體形態(tài)變化無常，給形態(tài)研究帶來困難。二、晶體測量：

就是測量晶面之間的夾角。

注意：晶面夾角與面角（晶面法線的夾角）的區(qū)別！

它們之間的關(guān)系為互補(bǔ)的關(guān)系。

通常都用面角（晶面法線的夾角）接觸測角反射測角：單圈反射測角儀

雙圈反射測角儀三、晶體的投影：

將晶面的空間分布轉(zhuǎn)化為平面圖.（一）極射赤平投影：投影的原理及過程：投影球、投影面（赤平面）、投影軸,北極點(diǎn)與南極點(diǎn)（目測點(diǎn)）。

具體投影過程為：球面上任一點(diǎn)A與南極點(diǎn)S連線，此連線與投影面（赤道平面）的交點(diǎn)A’即為投影點(diǎn)。這樣就將球面上三維空間的東西投影到二維平面上。如果A點(diǎn)在下半球，就與北極點(diǎn)N連線。下面進(jìn)行晶體的投影。1、晶面的球面投影：

將晶面轉(zhuǎn)化為球面上的點(diǎn)：晶面的方位就可用點(diǎn)的球面坐標(biāo)方位角與極距角來表征。（相當(dāng)于緯度與經(jīng)度）

重點(diǎn)要掌握方位角與極距角的含義!

2、極射赤平投影：

將晶面的球面投影點(diǎn)再轉(zhuǎn)化為赤平面上的點(diǎn)：

即：將球面上的點(diǎn)與南極點(diǎn)（或北極點(diǎn)）連線，該連線與赤平面的交點(diǎn)就是極射赤平投影點(diǎn)。這樣，晶體上所有晶面的分布規(guī)律就反映在赤平面上的對應(yīng)點(diǎn)的分布規(guī)律。

下圖的4個點(diǎn)代表4個怎么樣的晶面？

（對于晶體上的對稱面我們通常不將之轉(zhuǎn)化為點(diǎn)，而是直接投影成一條直線或弧線。實(shí)習(xí)課時再講。）在赤平投影圖上,方位角與極距角怎么體現(xiàn)?

即：方位角在基圓上度量，極距角則體現(xiàn)為投影點(diǎn)距圓心的距離（h=rtan

/2）

。=0

3、吳氏網(wǎng)：用來進(jìn)行極射赤平投影的工具。

吳氏網(wǎng)的組成：基圓、直徑、大圓弧、小圓弧它們各是什么投影而成？

水平大圓的投影形成基圓，直立大圓的投影形成直徑傾斜大圓的投影形成大圓弧直立小圓的投影形成小圓弧吳氏網(wǎng)是一個平面網(wǎng)，但要把它看成是一個空間的球體，網(wǎng)格能夠測量球面上任一點(diǎn)的方位角與極距角，所以，只要知道方位角與極距角，就可以用吳氏網(wǎng)進(jìn)行投影。晶體的上述投影過程可借用吳氏網(wǎng)很方便地進(jìn)行，下面舉例說明。1、已知晶面的球面坐標(biāo)（方位角與極距角），作晶面的投影。2、已知兩晶面的球面坐標(biāo)，求這兩個晶面的面角。（二）心射極平投影:與極射赤平投影相反,是將目測點(diǎn)置于投影球中心,在過北極點(diǎn)的切面上投影.本章總結(jié)：

1.面角守恒定律及其意義;2.晶面的投影過程，

3.吳氏網(wǎng)的構(gòu)成與應(yīng)用，

4.方位角與極距角的概念，

5.投影圖的解讀，即從投影圖上點(diǎn)的分布規(guī)律能看出晶體上晶面的空間分布規(guī)律，例如：（給出模型）請課后思考：吳氏網(wǎng)所在的平面與一般地圖所在的平面是什么關(guān)系？第三章

晶體的宏觀對稱一、對稱的概念

對稱就是物體相同部分有規(guī)律的重復(fù)。對稱性在日常生活中很常見，但對稱的概念還有更深邃和更廣泛的含義：變換中的不變性；建造大自然的密碼；審美要素。對稱的概念還在不斷被科學(xué)賦予新意。二、晶體對稱的特點(diǎn)

1）由于晶體內(nèi)部都具有格子構(gòu)造，通過平移，可使相同質(zhì)點(diǎn)重復(fù)，因此，所有的晶體結(jié)構(gòu)都是對稱的（這種對稱叫平移對稱）。2）晶體的對稱受格子構(gòu)造規(guī)律的限制，因此，晶體的對稱是有限的，它遵循“晶體對稱定律”。3）晶體的對稱不僅體現(xiàn)在外形上，同時也體現(xiàn)在物理性質(zhì)上。由以上可見:格子構(gòu)造使得所有晶體都是對稱的，格子構(gòu)造也使得并不是所有對稱都能在晶體中出現(xiàn)的。三、晶體的宏觀對稱要素和對稱操作

使對稱圖形中相同部分重復(fù)的操作，叫對稱操作。在進(jìn)行對稱操作時所應(yīng)用的輔助幾何要素（點(diǎn)、線、面），稱為對稱要素。

晶體外形可能存在的對稱要素和相應(yīng)的對稱操作如下：

☆對稱面—P

操作為反映?？梢杂卸鄠€對稱面存在，如3P、6P等.

(請同學(xué)們在晶體模型上找對稱面:示范模型)該切面不是矩形體的對稱面該切面是對稱面☆對稱軸—Ln

操作為旋轉(zhuǎn)。其中n代表軸次，意指旋轉(zhuǎn)360度相同部分重復(fù)的次數(shù)。旋轉(zhuǎn)一次的角度為基轉(zhuǎn)角

，關(guān)系為：n=360/

。

(請同學(xué)們在晶體模型上找對稱軸)晶體的對稱定律：

由于晶體是具有格子構(gòu)造的固體物質(zhì)，這種質(zhì)點(diǎn)格子狀的分布特點(diǎn)決定了晶體的對稱軸只有n=1，2，3，4，6這五種，不可能出現(xiàn)n=5，n>6的情況。為什么呢？1、直觀形象的理解：垂直五次及高于六次的對稱軸的平面結(jié)構(gòu)不能構(gòu)成面網(wǎng)，且不能毫無間隙地鋪滿整個空間,即不能成為晶體結(jié)構(gòu)。2、數(shù)學(xué)的證明方法為：t’=mtt’=2tsin(-90)+t=-2tcos+t所以，mt=-2tcos+t2cos=1-m

cos=(1-m)/2-21-m2m=-1,0,1,2,3相應(yīng)的＝0或2，/3,/2，2/3,（但是，在準(zhǔn)晶體中可以有5、8、10、12次軸）tt’tt

☆對稱中心—C操作為反伸。只可能在晶體中心，只可能一個。

但這種反伸操作不容易在晶體模型上體現(xiàn)。

凡是有對稱中心的晶體，晶面總是成對出現(xiàn)且兩兩反向平行、同形等大。

（請同學(xué)們在晶體模型上找對稱中心）

反伸操作演示：☆旋轉(zhuǎn)反伸軸

–Lin

操作為旋轉(zhuǎn)+反伸的復(fù)合操作。具體的操作過程：

Li

1=C

Li

2=P

Li

3=L3C

Li

4

Li

6=L3P值得指出的是，除Li4外，其余各種旋轉(zhuǎn)反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，其間關(guān)系如下：

Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，

Li6=L3+P但一般我們在寫晶體的對稱要素時，保留Li4

和Li6，而其他旋轉(zhuǎn)反伸軸就用簡單對稱要素代替。這是因?yàn)長i4

不能被代替，Li6在晶體對稱分類中有特殊意義。

（請同學(xué)們在模型上找Li4

和Li6）但是，在晶體模型上找Li4往往是比較困難的，因?yàn)槿菀渍`認(rèn)為L2。我們不能用L2代替Li4

，就像我們不能用L2代替L4一樣。因?yàn)長4高于L2

，Li4也高于L2

。在晶體模型上找對稱要素，一定要找出最高的。**********

最后，請同學(xué)們找出幾個模型上所有對稱要素。

(模型示范)

第三章第一次課結(jié)束四、對稱要素的組合我們首先回憶一下上次實(shí)習(xí)課的結(jié)果：例如：1810號：L44L25PC2508號：L66L27PC1308號：L33L23PC從上面的結(jié)果可以看出什么規(guī)律？◆對稱要素組合是有規(guī)律的，其規(guī)律就是：必須遵循對稱要素的組合定律；◆當(dāng)對稱要素共存時，也可導(dǎo)出新的對稱要素。第三章第二次課開始對稱要素組合定理：定理1：Ln

L2

LnnL2

(L2與L2的夾角是Ln基轉(zhuǎn)角的一半)逆定理：

L2與L2相交，在其交點(diǎn)且垂直兩L2會產(chǎn)生Ln，其基轉(zhuǎn)角是兩L2夾角的兩倍。并導(dǎo)出n個在垂直Ln平面內(nèi)的L2。例如:L4

L2

L44L2,L3

L2

L33L2思考:兩個L2相交30°,交點(diǎn)處并垂直L2所在平面會產(chǎn)生什么對稱軸?定理2：Ln

P

LnP

C(n為偶數(shù))逆定理：

Ln

C

LnP

C(n為偶數(shù))PCL2P

C這一定理說明了L2、P、C三者中任兩個可以產(chǎn)生第三者。因?yàn)榕即屋S包含L2。定理3：Ln

P//LnnP//（P與P夾角為Ln基轉(zhuǎn)角的一半）；逆定理：兩個P相交，其交線必為一Ln，其基轉(zhuǎn)角為P夾角的兩倍，并導(dǎo)出n個包含Ln的P。（定理3與定理2對應(yīng)）思考:兩個對稱面相交60°,交線處會產(chǎn)生什么對稱軸?定理4：LinP//=LinL2

Linn/2L2

n/2P//

（n為偶數(shù)）

LinnL2

nP//（n為奇數(shù)）五、32個對稱型（點(diǎn)群）及其推導(dǎo)

晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態(tài)的對稱型或點(diǎn)群。一般來說，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對稱要素時稱對稱型，強(qiáng)調(diào)對稱操作時稱點(diǎn)群。為什么叫點(diǎn)群？因?yàn)閷ΨQ型中所有對稱操作可構(gòu)成一個群，符合數(shù)學(xué)中群的概念，并且在操作時有一點(diǎn)不動，所以稱為點(diǎn)群。根據(jù)晶體中可能存在的對稱要素及其組合規(guī)律，推導(dǎo)出晶體中可能出現(xiàn)的對稱型（點(diǎn)群）是非常有限的，僅有32個。那么，這32個對稱型怎么推導(dǎo)出來？

A類對稱型（高次軸不多于一個）的推導(dǎo)：1）對稱軸Ln單獨(dú)存在，可能的對稱型為L1；L2；L3；L4；L6

。2）對稱軸與對稱軸的組合。在這里我們只考慮Ln與垂直它的L2的組合。根據(jù)上節(jié)所述對稱要素組合規(guī)律Ln

L2→LnnL2，可能的對稱型為：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2

如果L2與Ln斜交有可能出現(xiàn)多于一個的高次軸，這時就不屬于A類對稱型了。3）對稱軸Ln與垂直它的對稱面P的組合。根據(jù)組合規(guī)律Ln(偶次)

P⊥→Ln(偶次)PC，則可能的對稱型為：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。4）對稱軸Ln與包含它的對稱面的組合。根據(jù)組合規(guī)律Ln

P∥→LnnP，可能的對稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。

5）對稱軸Ln與垂直它的對稱面以及包含它的對稱面的組合。垂直Ln的P與包含Ln的P的交線必為垂直Ln的L2，即Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥=LnnL2(n+1)P（C）（C只在有偶次軸垂直P的情況下產(chǎn)生），可能的對稱型為：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。

6）旋轉(zhuǎn)反伸軸單獨(dú)存在。可能的對稱型為：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。7）旋轉(zhuǎn)反伸軸Lin與垂直它的L2（或包含它的P）的組合。根據(jù)組合規(guī)律，當(dāng)n為奇數(shù)時LinnL2nP，可能的對稱型為：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；當(dāng)n為偶數(shù)時Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的對稱型為：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。這樣推導(dǎo)出來的對稱型共有27個，見表3－2。還有5個是B類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導(dǎo)。請同學(xué)們將表3－2中空格的內(nèi)容填上，空格中的內(nèi)容與表中其他內(nèi)容是重復(fù)的。LnLnnL2Ln

P(C)LnnPLnnL2(n+1)P(C)LinLinnL2nPLinn/2L2n/2PL1Lin=

CL23L2L2

PCL22P3L23PCLi2=

PL3L33L2L33PLin=L3

CL33L23PCL4L44L2L4

PCL44PL44L25PCLi4Li42L22PL6L66L2L6

PCL66PL66L27PCLi6=L3PLi63L23P=L33L24P六、晶體的對稱分類1、晶族、晶系、晶類的劃分，見表3-4。

這個表非常重要，一定要熟記。

從這個表可知有7個晶系，在第一章我們已經(jīng)知道有7種空間格子形式，對應(yīng)7個晶系。請同學(xué)們思考：由對稱形式可以劃出7個晶系，由空間格子形式也可以劃出7個晶系，兩種方法怎么統(tǒng)一？（實(shí)際上，一個是從宏觀的，另一個是從微觀的。）32個對稱型見表3-4。

2、功能晶體材料的劃分，見表3-5。3、在自然界出現(xiàn)概率的劃分，見表3-6。

通過對比表3－5與表3－6，可知，自然界出現(xiàn)概率高的是一些對稱程度高的晶體，而功能晶體材料要求是一些對稱程度低的。所以需要人工晶體。七、五次對稱軸、二十面體與準(zhǔn)晶這部分內(nèi)容只要求大概了解。當(dāng)球體（原子、離子）堆積時，形成二十面體最穩(wěn)定，但二十面體上有五次軸，不能在晶體結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)，所以當(dāng)晶體進(jìn)一步長大后，晶體結(jié)構(gòu)就不得不放棄二十面體結(jié)構(gòu)。但在準(zhǔn)晶體中有二十面體結(jié)構(gòu)，在生物界也有二十面體結(jié)構(gòu)，所以，準(zhǔn)晶為生物界與非生物界架起一座橋梁。原子緊密堆積形成的各種配位多面體本章重點(diǎn)總結(jié)：

1)對稱要素：P,Ln,C,Lin；

2)對稱要素組合：4個定理；

3)對稱型：要學(xué)會用組合定理判斷正確與否；

4)晶體的對稱分類：3個晶族，7個晶系，32個晶類。第四章

晶體的定向與結(jié)晶符號一、晶體定向的方法

以晶體中心為原點(diǎn)建立一個坐標(biāo)系,由X,Y,Z三軸組成,也可由X,Y,U,Z四軸組成(對三方晶系與六方晶系).

那么,怎么選出這些晶軸?ZYX三個晶軸不一定垂直YZXU120o選晶軸的原則:1）與晶體的對稱特點(diǎn)相符合(既一般都以對稱要素作晶軸，要么對稱軸，要么對稱面法線);2）在遵循上述原則的基礎(chǔ)上盡量使晶軸夾角為90度.每個晶系的對稱特點(diǎn)不同,因此每個晶系的選擇晶軸的具體方法也不同,見表4-1(此表非常重要，要熟記).表4-1定向舉例:(示范模型:等軸、四方、六方、斜方)

請注意:在晶體的宏觀形態(tài)上根據(jù)對稱特點(diǎn)選出的三根晶軸,與晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的空間格子的三個不共面的行列方向是一致的.

為什么?因?yàn)榭臻g格子中三個不共面的行列也是根據(jù)晶體的對稱性,人為地畫出來的.而晶軸也是根據(jù)晶體的對稱性,人為地選出來的.晶體的內(nèi)部對稱與晶體的宏觀對稱是一致的,所以晶軸與三個行列就是一致的.

在三個行列上有晶胞參數(shù)(a,b,c;α,β,γ),這些參數(shù)就構(gòu)成了三個晶軸上的軸單位和晶軸之間的夾角.xyz宏觀形態(tài)微觀結(jié)構(gòu)

晶體外形不可能知道軸單位,但根據(jù)對稱性可以知道軸單位之間的比值關(guān)系,即：a:b:c

例如,等軸晶系的a:b:c=?

四方晶系的a:b:c=?

我們將a:b:c

稱為軸率,α,β,γ稱軸角,軸率與軸角統(tǒng)稱晶體常數(shù).見表4－1.表中列出的是晶體常數(shù)特點(diǎn).因?yàn)楦鶕?jù)晶體的宏觀形態(tài)只能定出晶體常數(shù)特點(diǎn),不能定出晶體常數(shù).

舉例：在模型上定出晶體常數(shù)特點(diǎn)：等軸、四方、斜方二、對稱型的國際符號

對稱型的國際符號很簡明，1）它不將所有的對稱要素都寫出來,2）并且可以表示出對稱要素的方向性,3）但它不容易看懂.

特點(diǎn)是:凡是可以派生出來的對稱要素都省略了.對稱軸以1，2，3，4，6表示;對稱面以m表示,旋轉(zhuǎn)反伸軸以1、2、3、4、6表示,若對稱面與對稱軸垂直，則兩者之間以斜線或橫線隔開，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示(由此可以看出，對稱中心C就不必再表示出來了，因?yàn)榕即屋S垂直對稱面定會產(chǎn)生一個C)。

具體的寫法為:設(shè)置三個序號位(最多只有三個),每個序號位中規(guī)定了寫什么方向上的對稱要素(序號位與方向?qū)?yīng)，這是國際符號的最主要的特色),對稱意義完全相同的方向上的對稱要素,不管有多少,只寫一個就行了（簡化，這是國際符號的另一特色）.

不同晶系中,這三個序號位所代表的方向完全不同,所以,不同晶系的國際符號的寫法也就完全不同,一定不要弄混淆.

每個晶系的國際符號寫法見表4－2(此表很重要，要熟記！).

表4-2:國際符號舉例:(示范模型:等軸、四方、六方、斜方)三、晶面符號與晶棱符號1.晶面符號:

晶體定向后,晶面在空間的相對位置就可以根據(jù)它與晶軸的關(guān)系來確定,表示晶面空間方位的符號就叫晶面符號,常用的是米氏符號:晶面在三根晶軸上的截距系數(shù)的倒數(shù)比，用小括號括起來。舉例:

某晶面在X,Y,Z軸上的截距為2a,3b,6c,那么截距系數(shù)為2,3,6,倒數(shù)為1/2,1/3,1/6,化簡以后的倒數(shù)比為3:2:1,寫做(321),這就是該晶面的米氏符號.注意：三個晶軸上的軸單位不一定相等，所以，截距系數(shù)與截距不一定成正比。

例如：

通常用(hkl)表示.h,k,l叫晶面指數(shù).但對于三方,六方晶系來說,可以用四軸定向,要用四個晶面指數(shù)h,ki,l,晶面符號為(hkil),前面三個指數(shù)的代數(shù)和等于0.例如:（1120）（1011）等。u

在晶體模型上怎么寫晶面符號?因?yàn)槲覀儾⒉恢谰娼鼐лS的截距系數(shù),但我們可以知道截距大小相對關(guān)系.

例如:

(示范模型):

八面體（111）、四方雙錐（hhl）斜方雙錐（hkl）2.晶棱符號:

為直線符號,表示這一直線的方向即可.方法為:將晶棱(或其他直線)移至經(jīng)過晶體中心(即坐標(biāo)原點(diǎn)),然后在直線上任取一點(diǎn),該點(diǎn)在三根晶軸上的坐標(biāo)系數(shù)比值寫進(jìn)方括號即可:[rst]舉例:

立方體、八面體垂直晶面的直線符號分別:[100],[111]四、整數(shù)定律與晶帶定律1.整數(shù)定律

晶面指數(shù)為簡單整數(shù).為什么?因?yàn)橹笖?shù)越簡單的晶面對應(yīng)到內(nèi)部結(jié)構(gòu)是面網(wǎng)密度大的面網(wǎng),而面網(wǎng)密度大的面網(wǎng)容易形成晶面（因?yàn)槟芰康腿菀仔纬删妫?所實(shí)際晶體上的晶面就是晶面指數(shù)簡單的晶面.整數(shù)定律是繼面角守恒定律后的又一個在遠(yuǎn)古年代根據(jù)晶體形態(tài)特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.2.晶帶定律:晶帶:交棱相互平行的一組晶面.晶帶軸:移至過晶體中心的一條交棱。晶帶符號：交棱的晶棱符號.舉例:晶體上的晶面是以晶帶的形式發(fā)育的.晶帶定律:

任兩晶帶(晶棱)相交可決定一可能晶面,任兩晶面相交可決定一可能晶帶(晶棱).舉例:晶帶符號（晶棱符號）與晶面符號的關(guān)系：晶面（hkl）（mnp）所決定的晶帶：

hklhkl如:100100mnpmnp010010rst001晶帶[rst][uvw]所決定的晶面：

rstrst如:010010uvwuvw001001hkl100本章重點(diǎn)總結(jié)：1）晶體定向：晶軸的選擇，坐標(biāo)系的建立。2）在晶體定向的基礎(chǔ)上，寫出對稱型的國際符號。3）在晶體定向的基礎(chǔ)上，確定晶面符號，一定要學(xué)會在宏觀形態(tài)上確定各晶面的晶面符號。（并不知道軸長與截距系數(shù)）第五章單形和聚形

一、單形1.單形的概念:

是由對稱要素聯(lián)系起來的一組晶面的組合。也就是說，單形是一個晶體上能夠由該晶體的所有對稱要素操作而使它們相互重復(fù)的一組晶面。

在理想的情況下，同一單形內(nèi)的晶面應(yīng)該同形等大。例如：立方體、八面體、菱形十二面體和四角三八面體都是單形。(示范模型)

這四個單形形狀完全不同，但對稱型是一樣的。即對稱型一樣的晶體，形態(tài)可以完全不同。這是因?yàn)榫媾c對稱要素的關(guān)系不同。上述各單形的晶面與對稱要素是什么關(guān)系？ZYXYX2．單形的推導(dǎo)

可以在對稱型中假設(shè)一個原始晶面，通過對稱操作的作用而得到其它晶面，這些晶面共同組成一個單形，這就是單形的推導(dǎo)。現(xiàn)以斜方晶系中的對稱型mm2(L22P)為例說明單形的推導(dǎo)。

位置1：單面{001}位置2：平行雙面{100}位置3：平行雙面{010}位置4：雙面{h0l}

位置5：雙面{0kl}

位置6：斜方柱{hk0}

位置7：斜方單錐{hkl}

在上述7個單形中，第2、3號單形完全一樣，第4、5號單形也完全一樣（形狀一樣、對稱性也一樣），這樣就可將之視為一個單形。因此，mm2對稱型一共有5個單形。3．單形符號

首先復(fù)習(xí)晶面符號(請同學(xué)們回憶晶面符號的寫法).

如果是幾個晶面共同組成一個單形，則這幾個晶面的晶面符號具有某種相似性，這樣，我們可以選擇同一單形內(nèi)的某一個晶面作為代表，用其符號表示該單形的符號。例如：立方體，八面體。

代表晶面應(yīng)選擇單形中正指數(shù)為最多的晶面，也即選擇第一象限內(nèi)的晶面，在此前提下，要求盡可能使│h│≥│k│≥│l│，即盡可能靠近前面，其次靠近右邊，再次靠近上邊。例如:八面體{111}、立方體{100}、四方柱{110}、六八面體{321}(模型示范)

二、

結(jié)晶單形與幾何單形

一個對稱型最多能導(dǎo)出7種單形，因?yàn)槊總€對稱型都可以設(shè)置7個原始晶面位置。例如上述mm2的7個原始晶面推導(dǎo)出5個單形。

為什么只有5個？

對32種對稱型逐一進(jìn)行推導(dǎo)，最終將導(dǎo)出結(jié)晶學(xué)上146種不同的單形，稱為結(jié)晶單形。在這146種結(jié)晶單形中，凡是屬于同一對稱型且形態(tài)相同的單形已經(jīng)去掉了。

在這146種結(jié)晶單形中，還有許多幾何形狀相同的但屬于不同對稱型的，如下圖的5個立方體。如果不考慮單形所屬的對稱型，將形狀相同的歸為一個單形，則146種結(jié)晶單形可以歸納為47種幾何單形。47種幾何單形見圖4-7。一些重點(diǎn)單形要記?。∮涀∫恍﹩涡蚊Q的方法:

1、面類等軸晶系：2、柱類1、四面體組3、單錐類2、八面體組4、雙錐類3、立方體組

5、面體類6、偏方面體類三、單形的分類

對于單形還可根據(jù)形態(tài)特點(diǎn)進(jìn)行如下分類：特殊形和一般形：根據(jù)單形晶面與對稱型中對稱要素的相對位置可以將單形劃分成一般形和特殊形。一般形的形號都為{hkl}或{hkil}。每個對稱型只有一個一般形,屬于同一對稱型的晶體歸為一個晶類,晶類的名稱以一般形來命名(如表3-4).一般形的原始晶面位置都在最小重復(fù)單位的中央.開形和閉形：根據(jù)單形的晶面是否可以自相閉合來劃分。

左形和右形：形態(tài)完全類同，在空間的取向上正好彼此相反的兩個形體，可用對稱面使彼此重合。例如：三方偏方面體。(模型示范:怎么判斷左右形)

但請注意:

左形與右形不僅針對幾何單形而言，也針對結(jié)晶單形的，有的單形在幾何形態(tài)上看不出左右形，但內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對稱性可以有左右形之分。凡是屬于只有對稱軸，無對稱面和對稱中心的對稱型的晶體，不管幾何形態(tài)如何，其晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)都有左右形之分。例如：石英(對稱型為32)是有左右形之分的，石英發(fā)育六方柱，這個六方柱的外形是看不出左右形的，但這個六方柱也是有左右形之分的。石英晶體六方柱的左、右形（用蝕像表示出其左右形正形和負(fù)形：取向不同的兩個相同單形，相互之間能夠借助于旋轉(zhuǎn)操作彼此重合。例如：五角十二面體、四面體。定形和變形：一種單形其晶面間的角度為恒定者，稱定形；反之，稱變形。凡單形符號為數(shù)字的，一定是定形，凡單形符號是字母的，一定是變形。

四、聚形

兩個以上的單形聚合在一起，這些單形共同圈閉的空間外形形成聚形。單形的相聚不是任意的，必須是具有相同對稱性的單形才能相聚在一起；換句話說，聚形的必要條件是組成聚形的各個單形都必須屬于同一對稱型(這里的對稱型是指結(jié)晶單形的對稱型)。因此，在表5－1至表5－7列出的146種結(jié)晶單形中，一個對稱型下列的那些單形可以相聚。聚形分析：應(yīng)該首先確定晶體所屬的對稱型；然后確定晶體上晶面種類個數(shù)，在理想情況下，屬于同一單形的各晶面一定同形等大，不同單形的晶面，則形態(tài)、大小、性質(zhì)等也不完全相同；再逐一考察每一組同形等大的晶面的幾何關(guān)系特征，確定各單形名稱及形號。舉例:(模型示范聚形分析)注意：單形的晶面在聚形里可以變得面目全非，例如：立方體晶面不一定是正方形，八面體的晶面不一定是三角形，等等。本章重點(diǎn)總結(jié)：1.理解單形的概念：對稱要素聯(lián)系的一組晶面的組合；2.了解單形的推導(dǎo)：3.理解結(jié)晶單形與幾何單形的區(qū)別；4.確定單形形號：關(guān)鍵是找代表晶面；5.理解單形相聚的條件：屬于同一對稱型的單形才能相聚；6.學(xué)會聚形分析：即找出聚形上各單形及其名稱（實(shí)習(xí)課具體做）。結(jié)晶學(xué)階段總結(jié)

在前面第1—5章中,我們系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了有關(guān)晶體宏觀形態(tài)對稱的理論知識,這幾章的內(nèi)容是一個有機(jī)整體,現(xiàn)在將這幾章的內(nèi)容融會貫通一下,進(jìn)行一個總結(jié),并容納一些第6章的內(nèi)容.

(第6章的內(nèi)容我們只要求初步了解)1.為什么對稱型也稱點(diǎn)群?晶體形態(tài)中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體的對稱型或點(diǎn)群。一般來說，當(dāng)強(qiáng)調(diào)對稱要素時稱對稱型，強(qiáng)調(diào)對稱操作時稱點(diǎn)群。為什么叫點(diǎn)群？因?yàn)閷ΨQ型中所有對稱操作可構(gòu)成一個群，符合數(shù)學(xué)中群的概念，并且在操作時有一點(diǎn)不動，所以稱為點(diǎn)群(與空間群對應(yīng))。（在點(diǎn)群中，每一個操作可作為一個群元素，操作的復(fù)合就相當(dāng)于群元素與群元素的乘積，這樣就可以對點(diǎn)群中的操作進(jìn)行運(yùn)算。）

群的數(shù)學(xué)定義:群是一組元素的集合,這些元素滿足4個條件:(1)封閉性:a,b,c,d…..ab=c,ac=b,bd=a….

(2)結(jié)合律:(ab)c=a(bc)

(3)單位元:ea=ae=a

(4)逆元素:a的逆元素a-1,aa-1=e

例如：所有的整數(shù)構(gòu)成一個群{…-3,-2,-1,0,1,2,3…}。所對應(yīng)的乘法為加和.

對應(yīng)到點(diǎn)群中，一個群元素就是一個對稱操作。所對應(yīng)的乘法是操作的復(fù)合.

舉例:點(diǎn)群2/m(L2PC),里面有4個群元素:2/m{2,m,1,1},

驗(yàn)證封閉性:2m=1,21=m,m1=2,2m1=1

母群-子群關(guān)系:

點(diǎn)群4{41,42,43,44=1},其中42=21,44=22=1,所以點(diǎn)群4里面包含點(diǎn)群2{21,22=1}

點(diǎn)群4{(4)1,(4)2,(4)3,(4)4=1},其中(4)2=21,(4)4=22=1,所以點(diǎn)群4里面包含點(diǎn)群2{21,22=1}

所以我們在晶體模型上,在有4的地方往往看成是2。

2.判斷一個對稱型是否正確.

L42L25PL33L23PL