左手材料的折射率與折射率正負號的取法

左手材料的折射率與折射率正負號的取法

左材料是近年來科學研究的熱點之一。在經典的電動力學理論中，介電材料的電磁作用由介電常數(shù)和磁導率兩個宏觀參數(shù)描述。自然界中的物質和是正數(shù)。場變量、矩陣向量和波向量構成右手關系。1968年，veselago假設它是一個帶負介電常數(shù)和負磁導率的介質。由于波速的相位速度方向與能流方向相反，聲波傳播的相速度方向和速度方向形成了左撇子的螺旋關系。這種材料被稱為左撇子材料。同時，請注意，左撇子材料的折射不同于右手材料，如負折射、負切科夫效應和反相互作用。由于韋伯斯特等人在2000年成功制作了左撇子材料，近年來，左撇子材料在固體、原材料、光學和應用磁學領域越來越受歡迎。近年來，這項研究呈現(xiàn)出快速發(fā)展的趨勢。折射率是描寫介質光學性質的一個重要參量.在光的電磁理論中,無源介質內頻率為ω的電磁波滿足的方程為Δ2E+ω2c2n2E=0(1)Δ2E+ω2c2n2E=0(1)其中折射率n定義為n=√εμ(2)n=εμ??√(2)這里ε和μ分別是介質的介電常量和磁導率.對于一般的光學材料,如玻璃,在光學頻段,介電常量是一個大于1的實數(shù),而磁導率基本上就是1.所以,折射率是一個大于1的實數(shù).由于方程(1)對于n?-n不變,所以在式(2)中的根號前面似乎也可以取負號.如果單從電磁波的方程來看,取正號和取負號都是容許的,但實際上,折射率的符號并不任意,而是要受到物理要求的限制.對于左手材料,電磁波滿足的方程仍然是方程(1),但折射率必須取為負的.在一些介紹性的文獻特別是會議報告中,我們經?？吹竭@樣的“論證”:折射率可以寫成n=√ε√μn=ε√μ√,如果ε<0,μ<0,則n<0.我們不知道這個論證最早出現(xiàn)在何處,但也許Smith和Kroll是較早地給出了這個解釋方式的.在Smith和Kroll的文章中,他們首先嚴格討論了折射率的解析性質,論證了折射率正負號的取法,然后給出了這個簡單的規(guī)則.因此,這是規(guī)則或結論,而不是論證.從數(shù)學上來講,如果僅僅從n2=εμ出發(fā),是無法確定n的符號的.本文將利用初等的方法論證折射率的符號的取法.1不考慮空間非局域性的能量耗散的原因對于一個理想的、無耗散、無色散的線性介質,電位移矢量與電場強度,磁感應強度與磁場強度之間具有簡單的線性正比關系D=εε0E和B=μμ0H,其中ε和μ是與頻率無關的實數(shù).在朗道和栗弗席茲的《連續(xù)介質電動力學》中,證明了介質的介電常量和磁導率必須滿足如下關系:d(ωε)dω＞0?d(ωμ)dω＞0(3)這意味著如果ε和μ與頻率無關,則它們必須是正的.實際的材料總是具有色散和耗散的,盡管在有些情況下色散和耗散可能很小.為此,物理的論證不應該完全忽略色散和耗散,而是需要考慮色散和耗散很小的極限.對于線性介質,D和E之間的關系可以一般地寫為D(r,t)=ε0E(r,t)+∫dr′∫∞0f′(r′,τ)·E(r-r′,t-τ)dτ(4)這表明某時刻t空間一點的電位移矢量和其他點在其他時刻的電場強度有關.下面我們將不考慮空間非局域性,即D(r,t)=ε0[E(r,t)+∫∞0f(τ)E(r,t-τ)dτ](5)上式已經明顯地表示了因果關系,也就是說,t時刻的電位移矢量只與t時刻之前的電場強度有關.物理上的場必須是實的,所以,在下面的討論中我們都理解為取場的實部.對于線性計算,如積分、求導、相加等,運算不會導致實部和虛部的混合,但如果計算場的乘積時,則要注意用實部計算.對于單色電磁波,設頻率為ω,則所有場量的時間依賴性由指數(shù)因子e-iωt表示,電場強度為E(r,t)=E(r,ω)e-iωt(6)一般來說,電場強度E(r,ω)是復的.對于頻率為ω的電磁波,方程(5)成為D(r,ω)=ε(ω)ε0E(r,ω)(7)其中ε(ω)=1+∫∞0f(τ)eiωτdτ(8)對于B和H,也可以做類似的分析.與方程(7)對應,可以得到B(r,ω)=μ(ω)μ0H(r,ω)(9)ε(ω)和μ(ω)一般是復數(shù).現(xiàn)在考慮能量的耗散.電磁場的能流密度由坡印亭矢量S=E×H表示,對于一個小的體積元ΔV,單位時間流入的能量為-∮S·dA=-∫ΔVΔ·SdV=-∫ΔVΔ·(E×H)dV=-∫ΔV[H·(Δ×E)+E·(Δ×H)]dV=∫ΔVΗ??B?t+E??D?tdV(10)由方程(8)及磁場的類似關系,可以推導出:?D?t=-iωD=-iωεε0E,?B?t=-iωB=-iωμμ0Η(11)方程(10)的實數(shù)形式為把方程(11)代入式(12),并在一個周期內取平均,得-Δ?S=14iω(μ*-μ)μ0Η?Η*+14iω(ε*-ε)ε0E?E*(13)把介電常量和磁導率用實部和虛部表示為ε=ε′+iε″和μ=μ′+iμ″,則上式成為-Δ?S=12ωμ″μ0|Η|2+12ωε″ε0|E|2(14)流入任何一個體積元的能量必須為正,這些能量轉化為熱量,耗散在介質中間.如果流入到體積元內的能量為負,表示有能量流出,也就是說體積元內產生能量,這在物理上是不可能的.于是,物理上的要求導致μ″>0,ε″>0(15)2負:民性學中d現(xiàn)在回到波動方程(1),以平面波E∝exp(ik·r-iωt)代入,可以得到-k2+ω2c2εμ=0(16)即k=ωc√εμ(17)采用光學中的習慣記法k=ωc(n+iκ)(18)其中n為折射率,κ為吸收系數(shù).由此可得n+iκ=√εμ(19)兩邊平方,得到n2+2inκ-κ2=ε′μ′+i(ε′μ″+ε″μ′)-ε″μ″(20)由于實際體系中總是存在耗散,所以ε″和μ″不可能為0.在耗散很小時,ε″<<ε′,μ″<<μ′,得出n2-κ2=ε′μ′2nκ=ε′μ″+ε″μ′(21)κ必須是正的,這代表電磁波在介質中的衰減.如果κ<0,則表示介質可以放大電磁波,這在物理上是不容許的.這樣,在ε″→0和μ″→0的極限下,方程(21)的解可以分為4類:1)如果ε′>0,μ′>0,則n>0,κ→0,于是n=√ε′μ′.2)如果ε′>0,μ′<0,則n→0,κ=√-ε′μ′.3)如果ε′<0,μ′>0,則n→0,κ=√-ε′μ′.4)如果ε′<0,μ′<0,則n<0,κ→0,于是n=-√ε′μ′.如果定義復的折射率為?n=n+iκ(22)則取?n=√ε√μ,就可以自動得到上面討論的4種情況.作為本節(jié)的結束,我們對于負折射率材料的存在性做一個簡單討論.由式(3)可知,如果介質完全沒有色散,ε和μ與頻率無關,則必有ε>0,μ>0.因此,左手材料一定是色散材料!由ε+ωdεdω＞0和μ+ωdμdω＞0可得,左手材料存在的條件是dεdω＞-1ωε,dμdω＞-1ωμ.在高頻情形下,只要