《小結》教學設計(河南省縣級優(yōu)課)x-數(shù)學教案

高考一輪總復習·數(shù)學（理）大題沖關2《三角函數(shù)的綜合問題(兩個課時）》教學設計衛(wèi)輝一中張青風一．知識背景：本節(jié)課是在結束新課，開始一輪復習時進行，學生對基礎知識有了一定的掌握，需要強化知識點的同時，進一步熟悉高考的背景下設計的本節(jié)課。二．命題動向：三角函數(shù)不僅是數(shù)學的重要基礎知識，同時也是解決其他問題的一種數(shù)學工具。高考命題者常在三角函數(shù)、解三角形和平面向量、數(shù)列等知識的交匯處命題。對三角函數(shù)與平面向量的考查，多以解答題形式出現(xiàn)，難度中等．備考中注意與平面向量的加法、減法的幾何意義，平行、垂直的條件以及數(shù)量積的定義相結合來尋找解題突破口；三角函數(shù)與數(shù)列相交匯時，常用數(shù)列的基本性質(zhì)脫去數(shù)列外衣，化為三角函數(shù)問題去求解。三．題型設計根據(jù)高考?？碱}型，設計五個大題，分別從三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合問題、解三角形與數(shù)列的綜合問題、三角變換與解三角形的綜合、平面幾何中的三角函數(shù)求值、三角函數(shù)與平面向量相結合等5個題型。這節(jié)課共分兩個課時，第一個課時學習3個題型，第二個課時學習兩個課時，并同時設計了對應的課堂練習卷，和單元練習測試以鞏固所學知識，強化知識的應用。思考和錯解的設計題型一后設計了2個思考題目的是讓學生發(fā)散思維，歸納題型和知識點；題型二第二問設計了一個錯解，目的是提醒學生關注三角形內(nèi)角范圍對題目的限制，這也是學生常錯的地方。解題思路的設計解題思路幫助學生整理思路，分析條件，找到解題途徑?jīng)_關策略的設計每個題目之后都有沖關策略，目標是幫助學生總結思路，形成思維。七．題型展示題型1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合問題例1[2016·天津]函數(shù)f(x)＝4tanxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3).(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的單調(diào)性．[解](1)f(x)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))f(x)＝4tanxcosxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3)＝4sinxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3)＝4sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx＋\f(\r(3),2)sinx))－eq\r(3)＝2sinxcosx＋2eq\r(3)sin2x－eq\r(3)＝sin2x＋eq\r(3)(1－cos2x)－eq\r(3)＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.（2)由（1）f(x)=2sin(2x-eq\f(π,3))令z＝2x－eq\f(π,3)，函數(shù)y＝2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z.設A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ≤x≤\f(5π,12)＋kπ，k∈Z))))，∴A∩B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4))).∴當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上單調(diào)遞減.思考11．已知y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))你能求出它的對稱軸和對稱中心嗎？2．由y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到y(tǒng)＝sinx的圖像？3．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值是多少？沖關策略：解決三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合問題，一般先由圖象或三角公式確定三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b等)的解析式，然后把ωx＋φ看成一個整體研究函數(shù)的性質(zhì).總結求三角函數(shù)的最值也是高考常考的內(nèi)容，本題針對的是y＝asinx+bcosx+c型的三角函數(shù)。其解法是用誘導公式、兩角和差的正余弦公式、輔助角公式等將函數(shù)化為y=Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再結合定義域求出t=ωx＋φ范圍由整體法確定其最值即可注意：1.正弦函數(shù)y＝sinx的單調(diào)性和周期性的應用2.勿忘函數(shù)的定義域。思考1、y＝asinx+bsinx+c型的三角函數(shù)如何求最值呢？2、是y＝asinxcosx+b(sinx+cosx)+c型的三角函數(shù)呢？題型2解三角形與數(shù)列的綜合問題例2[2017·衡中模擬]在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊分別a、b、c，且cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若b＝2，求△ABC的面積的最大值(1)證明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．由已知(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，化簡得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，∴a、b、c成等比數(shù)列．(2)由(1)及題設條件，得ac＝4.錯解：∵0<B<π，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×4sinB≤2.∴△ABC的面積的最大值為2.思考：最大值為2時，角B是多少度？結合已知條件，角A是多少度？正解：(2)由(1)及題設條件，得ac＝4.則cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，當且僅當a＝c時，等號成立．∵0<B<π，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)≤eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴△ABC的面積的最大值為eq\r(3).沖關策略：縱觀近年的高考題，許多新穎別致的三角函數(shù)解答題就是以數(shù)列為出發(fā)點設計的．在這類試題中數(shù)列往往只是起到包裝的作用，其實質(zhì)是考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與正、余弦定理來解決問題的能力．解決這類問題的基本思路是脫掉數(shù)列的外衣，抓住問題的實質(zhì)，選擇合理的解決方法，靈活地實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.另外還有特別注意三角形內(nèi)角和定理和三邊關系這些隱含條件對解題的限制。題型3三角變換與解三角形的綜合例3[2016·北京]在△ABC中，a2＋c2＝b2＋eq\r(2)ac.(1)求∠B的大??；(2)求eq\r(2)cosA＋cosC的最大值．[解](1)由余弦定理及題設，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(2)ac,2ac)＝eq\f(\r(2),2).又因為0<∠B<π，所以∠B＝eq\f(π,4).(2)由(1)知∠A＋∠C＝eq\f(3π,4).（0<∠A<eq\f(3π,4)）eq\r(2)cosA＋cosC＝eq\r(2)cosA＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－A))＝eq\f(\r(2),2)cosA＋eq\f(\r(2),2)sinA＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,4))).∵0<∠A<eq\f(3π,4)，∴∠A＝eq\f(π,4)時，eq\r(2)cosA＋cosC取最大值1.沖關策略：三角函數(shù)和三角形的結合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先確定三角形的邊角，再代入到三角函數(shù)中，三角函數(shù)和差公式的靈活運用是解決此類問題的關鍵.但要注意的是：三角變換也要在三角形中進行，因此此時的三角變換是在對角有限制的情況下進行。小結一：1、學習了哪些內(nèi)容的知識點？2、解決了高考中的哪類題型？3、解決這些問題的方法策略？預習提示：1、預習題型4和題型5.2、三角函數(shù)還會與哪些知識點綜合？3、以小組為單位搜集并總結三角函數(shù)綜合問題中不同類型的題目。作業(yè)1：P87變式訓練3已知在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(c,2)))sinB＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(b,2)))sinC－asinA＝0.(1)求角A的大?。?2)若a＝eq\r(3)，求b＋c的取值范圍．提示（1）可考慮用正弦定理把角化邊（2）已知角A和邊a,可考慮用正弦定理把邊的和轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解題型4平面幾何中的三角函數(shù)求值例4[2014·北京]如圖，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，點D在BC邊上，且CD＝2，cos∠AD＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的長．[解](1)在△ADC中，因為cos∠ADC＝eq\f(1,7)，所以sin∠ADC＝eq\f(4\r(3),7).所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)－eq\f(1,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),14).沖關策略：平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數(shù)思想.題型5三角函數(shù)與平面向量相結合例5[2015·廣東高考]在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m與n的夾角為eq\f(π,3)，求x．[解題視點](1)先由m⊥n建立恒等關系，進而得到tanx的值；(2)由m與n的夾角為eq\f(π,3)，建立關系式得到sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，再根據(jù)角的范圍，求出符合條件的角．[解](1)∵m⊥n，∴m·n＝0.故eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，∴tanx＝1.(2)∵m與n的夾角為eq\f(π,3)，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m|·|n|)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)cosx,1×1)＝eq\f(1,2)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2).又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，x－eq\f(π