有限維循環(huán)群代數(shù)中的逆元表示式

有限維循環(huán)群代數(shù)中的逆元表示式

循環(huán)矩陣廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、工程和技術(shù)領(lǐng)域。我們也非常重視循環(huán)矩陣及其逆算法的應(yīng)用。在這項(xiàng)工作中，我們討論了有限維環(huán)社區(qū)迭代中的逆元，并對(duì)有限維環(huán)社區(qū)迭代中的逆元進(jìn)行了介紹。將結(jié)果應(yīng)用于循環(huán)矩陣和比循環(huán)矩陣更廣泛的矩陣中。設(shè)F為一個(gè)域,G=<g>為1個(gè)由g生成的n階循環(huán)群,那么群代數(shù)F(G)中的元可表示為:其中,e為G中的單位元,ai∈Fi,=0,1,???n,-1.為方便,e也可不寫或記為1.記稱為a的表示多項(xiàng)式.對(duì)于a=G(a0,a1,???,an-1),如果a0,a1,???,an-1中有k個(gè)元素非零而其余元素為0,稱a為k位元.1可逆a逆元tt型首先,分析連續(xù)二個(gè)元素非零的二位元的逆元表示式.在以下分析中,假定n≥3.定理1設(shè)st,∈F,且st≠0,a=G(s,t,0,???,0),那么a可逆的充要條件是sn+(-1)n-1tn≠0.當(dāng)a可逆時(shí),其中,p=-s-1t.證明:設(shè)(s+tg)G(b0,b1,???,bn-1)=1,可得的關(guān)系式為:考慮遞推關(guān)系式:它的特征根為p=-s-1t.因此其通解為:把b0,bn-1代入(5)式的第一個(gè)方程后,可得:如果sn+(-1)n-1tn≠0,那么tpn-1+s=s1-n(sn+(-1)n-1tn)≠0.可得x=(tpn-1+s)-1.因此,a可逆,并且可得(4)式.反之,若a可逆,則存在b0,b1,???,bn-1使得a1-=G(b0,b1,???,bn-1).則b0,b1,???,bn-1滿足(5)式,且bj=xpjx,∈Fj,=0,1,???n,-1及(s+tpn-1)x=1,所以s+tpn-1≠0.從而,sn+(-1)n-1tn≠0.推論1設(shè)rq,∈F,且r≠0q,n≠1,對(duì)于等比序列r,rq,???,rqn-1,則根據(jù)定理1和引理1可得下面的結(jié)果.推論2設(shè)st,∈F,且st≠0,a=G(0,???,0,s,t0,,???0,),1≤k≤n-2,那么a可逆的充要條件為sn+(-1)n-1tn≠0.當(dāng)a可逆時(shí),其中,p=-s-1t.推論3設(shè)st,∈F,且st≠0a,=G(t0,,???,0,s),那么a可逆的充要條件為sn+(-1)n-1tn≠0.當(dāng)a可逆時(shí),下面,討論二個(gè)非零元素之間有1個(gè)零的二位元的逆元表示式.定理2設(shè)n=2mm,≥2a,=G(s,0,t,0,???,0),其中st,∈F,且st≠0,那么a可逆的充要條件為sm+(-1)m-1tm≠0.當(dāng)a可逆時(shí),其中,p=-s-1t.證明:設(shè)那么可得的關(guān)系式為:考慮遞推關(guān)系式:得其中,p=-s-1t.把b0,1b分別代入(12)式的第一個(gè)方程和第二個(gè)方程后可得:如果sm+(-1)m-1tm≠0,由(14)式可得:因此,a可逆,并且可得(11)式.反之,若a可逆,則有(sm+(-1)m-1tm)b2m-2=(-1)m-1tm-1≠0,所以,sm+(-1)m-1tm≠0.用類似于定理2的證明方法可得n=2m+1時(shí)的結(jié)果.定理3設(shè)n=2m+1m,≥1a,=G(s,0t,,0,???,0),其中st,∈F,且st≠0,那么a可逆的充要條件是sn+tn≠0.當(dāng)a可逆時(shí),其中,p=-s-1t.對(duì)于一般的二個(gè)非零元素之間有1個(gè)零的二位元的逆元表示式可根據(jù)定理2、定理3和引理1得到.對(duì)于一般的二位元的逆元表示式均可按上述方法得到,此處從略.2逆元表示式首先,討論的是連續(xù)3個(gè)元素非零的三位元的逆元表示式.為不失一般性,只要討論下面的三位元因?yàn)橐话愕倪B續(xù)3個(gè)元素非零的三位元可分解為有(15)式形式的三位元與g的方冪的乘積.在本節(jié)中,假定F的特征≠2,并且F上的二次方程在它的一個(gè)擴(kuò)域中均有解.(1)如果s2-4tu≠0,那么(2)如果s2-4tu=0,那么其中,q=(-s)/2u.證明:因?yàn)榭傻玫年P(guān)系式為:考慮遞推關(guān)系式:它的特征根為:當(dāng)s2-4tu≠0時(shí),它的通解為:把它代入(19)式的第一個(gè)和最后一個(gè)方程得:因?yàn)閝1q,2為方程ux2+sx+t=0的根,所以(21)式的線性方程組可化為:由此可得:(1)當(dāng)s2-4tu≠0時(shí),由此可得(17)式.(2)當(dāng)s2-4tu=0時(shí),把(17)式化為:令q=q1=q2=(-s)/2u.則化簡(jiǎn)可得:對(duì)于一般的三位元的逆元表示式均可按上述方法得到,此處從略.3可逆矩陣與ax循環(huán)矩陣?yán)枚辉腿辉懻揊(G)中的一般元的逆元表示式,并把結(jié)果應(yīng)用到矩陣論.設(shè)a∈F(G),且a的表示多項(xiàng)式為其中如果F是代數(shù)閉域,如復(fù)數(shù)域C,那么有如下的分解式:其中,為非負(fù)整數(shù),如果F上的多項(xiàng)式都能分解成一次或二次多項(xiàng)式的乘積,如實(shí)數(shù)域R,那么fa(x)有如下的分解式:其中,k,α,ujv,j∈F,sm,為非負(fù)整數(shù),t=0或1,vj≠0j,=1,2,???,m.因此,在這些情況下,F(G)中的元可表示為一位元、二位元或三位元的乘積.對(duì)于a∈F(G),如果a可逆,根據(jù)上面的敘述,可得到a-1的表達(dá)式.設(shè)nF為F上的n階方陣的集合,P∈Fn,如果P的最小多項(xiàng)式為那么G=<P>是一個(gè)m階循環(huán)群.特別,如果P為n階基本循環(huán)矩陣,那么F(G)就是n階循環(huán)矩陣的全體.因此,上面的結(jié)果可應(yīng)用到循環(huán)矩陣中,也可應(yīng)用到比循環(huán)矩陣更廣的幾類矩陣中.例如,對(duì)角