關(guān)于一種具有群的代數(shù)系

關(guān)于一種具有群的代數(shù)系

0關(guān)于公司的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)在文獻(xiàn)中，描述了接近該組的代際體系。本文給出了它的許多性質(zhì)，并對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，使用群和右半群（l，r）給出系的代際結(jié)構(gòu)，并指出了該譜系形成群的完全必要條件。1使ea=a,as整篇文章中使用到的術(shù)語(yǔ)和概念來(lái)自,先引入主要概念.定義1設(shè)S是一非空集合,若滿足下列條件:Ⅰ、對(duì)S中的每一對(duì)元a,b,存在唯一確定的積ab∈S;Ⅱ、(ab)c=a(bc),?a,b,c∈S;Ⅲ、S中存在一個(gè)元e,使ea=a,?a∈S;Ⅳ、?a∈S,存在一個(gè)a′∈S,使aa′=e(a′稱為a的右逆元).則稱S為一個(gè)左右系,簡(jiǎn)記為(l,r)系.滿足條件Ⅲ、Ⅳ中的元e,稱為S的左單位元.這個(gè)系與群不同僅在于它包含一個(gè)左單位元和右逆元而不是右單位元和右逆元.定義2一個(gè)元f∈S稱做冪等元,如果f2=f.定義3一個(gè)集合S滿足Ⅰ、Ⅱ稱為一個(gè)半群.定義4若一個(gè)半群S的一個(gè)元s滿足sz=z,?s∈S,則稱z是S的右零元,若S的所有元都是右零元,則稱S是一個(gè)右零半群.定義5兩個(gè)半群S1,S2的直積是卡氏積S1S2={(a,b)|a∈S1,b∈S2}帶分量的乘法運(yùn)算:(a,b)(c,d)=(ac,bd)文中出現(xiàn)未加說(shuō)明的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)請(qǐng)參見(jiàn).2fs到s1es設(shè)S是一個(gè)(l,r)系,e是S的左單位元.命題1若f∈S,且是冪等元,則fe=e.證明:從ff=f,用f的右逆f′右乘得fff′=ff′,因此,fe=e.命題2若fe=e,則f是冪等元.證明:ff=fef=ef=f.命題3S的冪等元集E(S)構(gòu)成一個(gè)(l,r)系.證明:設(shè)f,f′∈E(S),據(jù)命題1ff′e=fe=e,據(jù)命題2ff″是冪等元,條件Ⅰ被滿足,條件Ⅱ顯然被滿足,左單位元e在E(S)中,據(jù)命題2,e是每一個(gè)冪等元的右逆,故E(S)是一個(gè)(l,r)系.命題4(l,r)系S中冪等元f具有性質(zhì):fa=a,?a∈S(此即S中的每一個(gè)冪等元f都是S的一個(gè)左單位元).證明:fa=fea=ea=a.命題5(l,r)系的冪等元集E(S)是一個(gè)右零半群.證明:由命題4即得.命題6取定(l,r)系S中一個(gè)冪等元f,則S的子集S1={af|a∈S}構(gòu)成一個(gè)群.證明:?af,bf∈S1,(af)(bf)=a(fb)f=abf,S1對(duì)乘法封閉.?a∈S存在a′使aa′=e,則(af)(a′f)=a(fa′)(a′f)=a(fa′)f=(aa′)f=ef=f.這表明a′f是af的在S1中的一個(gè)右逆元,?af∈S1,af·f=af,即f是S1的一個(gè)右單位元,S1中結(jié)合律顯然成立,綜上證明了S1對(duì)S的乘法構(gòu)成一個(gè)群.3es到s的同構(gòu)映射定理1群G與一個(gè)右零半群R的直積是一個(gè)(l,r)系.證明:G×R滿足條件Ⅰ、Ⅱ是顯然的,G中單位元設(shè)為e,則(e,f)∈G×R是一個(gè)左單位元,因(e,f)(g,r)=(eg,fr)=(g,r),條件Ⅲ被滿足?(g,r)∈G×R,(g-1,f)就是(g,r)的一個(gè)右逆,(g,r)(g-1,f)=(gg-1,rf)=(l,f),條件Ⅳ被滿足,故G×R構(gòu)成一個(gè)(l,r)系.下面的定理揭示了(l,r)的代數(shù)結(jié)構(gòu)以及它與群的聯(lián)系.定理2每一個(gè)(l,r)系都同構(gòu)于一個(gè)群與一個(gè)右零半群的直積.證明:設(shè)(l,r)系為S,令G=Se={se|s∈S},e為S中一個(gè)固定的冪等元,則由命題6知G是一個(gè)群,令R=E(S)={f|f2=f,f∈S}.由命題5知R是一個(gè)右零半群,下證S?G×R.令φ:G×R→S,(ae,f)→aef=af,這顯然是G×R到S的一個(gè)映射.第一步證φ是G×R到S的滿射.?a∈S,則存在a的右逆a′,使a=aa′a=ae(a′a)而a′a∈R.故有(ae,a′a)∈G×R,且使(ae,a′a)φ=aea′a=a,這證明了φ是滿射.第二步證φ是單射.設(shè)(ae,f),(be,g)∈G×R,且(ae,f)φ=(be,g)φ則aef=beg…①,用e右乘此式,得aefe=bege,而f,g都是S中的冪等元,由命題4知e是S中的左單位元,再據(jù)命題1,得aee=bee即ae=be,ae為群G中元,e為G中單位元故用(ae)-1去乘①式,得ef=eg,e是S中冪等元.據(jù)命題4,f=g,因而(ae,f)=(be,g),這證明了φ是一個(gè)單射.第三步,證φ是G×R到S的同態(tài).設(shè)(ae,f),(be,g)∈G×R,則據(jù)命題4及條件Ⅲ有[(ae,f)(be,g)]φ=(aebe,fg)φ=aebefg=abg(ae,f)φ·(be,g)φ=aef·beg=afbg=abg所以,[(ae,f)(be,g)]φ=(ae,f)φ·(be,g)φ綜上證明了φ是G×R到S上的一個(gè)同構(gòu)映射,從而G×R?S.推論(l,r)系S是一個(gè)群的充分必要條件是S的冪等元集E(S)只含一個(gè)元素,G={se|s∈S}.證明:(充分性)令R=E(S)={e},則由定理2的證明知S?G×R,而R={e}.G×R={(g,e)|g∈G}作映射φ,G×R→G,(g,e)→g,易證這是一個(gè)同構(gòu)映射,即G×R?G,從而S?G,S是一個(gè)群.(必要性)設(shè)S是一個(gè)群,a∈S,a2=a,用a的逆去左乘得ea=e,即a=e,故E(S)只含一個(gè)元素.4x-l,r值的計(jì)算取X={1,2,3},S3是X上的置換群,σ1=(112131)?σ2=(122232)?σ3=(132333)σ1=(123111)?σ2=(123222)?σ3=(123333)是X的三個(gè)全變換,易驗(yàn)證R={σ1,σ2,σ3}是一個(gè)右零半群,由定理1知,集合S3×R={(si,σj)|si∈S3,σj∈R}對(duì)分量的乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)(l,r)系.5e,a,b,a對(duì)偶地,我們可以定義一個(gè)右、左代數(shù)系.定義6設(shè)A是一個(gè)非空集合,若滿足下列條件:Ⅰ、對(duì)A中的每一對(duì)元a,b,存在唯一確定的積ab∈A;Ⅱ、(ab)c=a(bc),?a,b,c∈A;Ⅲ、A中存在一個(gè)元e,使ae=a,?a∈A;Ⅳ、?a∈A,存在一個(gè)A,使a′a=e(a′稱為a的左逆元).則稱A為一個(gè)右左系,記為(r,l)系.滿足條件Ⅲ、Ⅳ中的元e,稱為A的右單位