關(guān)于映射均為左逆的討論

關(guān)于映射均為左逆的討論

0f有右逆雙射且左、右逆共犯,且討論的映射是左的。在集合理論中指定了理由。f:A→B.f:A→B.(1)f是單的,當(dāng)且僅當(dāng)f有左逆;(2)f是滿的,當(dāng)且僅當(dāng)f有右逆;(3)f是雙射,當(dāng)且僅當(dāng)f既有左逆又有右逆且左、右逆相等(參見文).任意一個映射或變換τ,它的左、右逆究竟有多少個?由此定理知:當(dāng)τ為雙射時,τ有且僅有一個左、右逆;當(dāng)τ不單不滿時,它沒有左、右逆;但當(dāng)τ單而不滿或滿而不單時,情況如何?以下我們將從非空集A上的變換幺半群T(A)著手,給出變換和映射的這種情形下的左、右逆的個數(shù)的完滿結(jié)論.1滿而旋,a型為引進(jìn)結(jié)論,引入兩個記號:(1)A的勢(或計(jì)數(shù))為|A|;(2)τ:A→A,A={[a]|[a]=A→A,A={[a]|[a]={x∈A|τ(x)=a},a∈A}.定理1A為無限集,τ∈T(A),則下列結(jié)論成立:(1)τ單而不滿時,τ無右逆,τ有無限個左逆;(2)τ滿而不單時,τ無左逆,τ有右逆,個數(shù)如下確定:若?c∈A有|c|<+∞且滿足1<|c|<+∞的c只有有限個,記為c1,c2,…,cn,則τ有有限個右逆元,右逆?zhèn)€數(shù)為|c1||c2|…|cn|;否則τ有無限個右逆元.證明(1)τ單而不滿時,τ(A)?A,A\τ(A)≠《.τ:A→A,a|→a′=τ(a)?τ:A→A,a|→a′=τ(a)?規(guī)定τl:A→A,a′|→a,當(dāng)且僅當(dāng)a′=τ(a)時,x|→a0,當(dāng)x∈A\τ(A)時,(1)其中,a0是A中固定元.則有?a∈A,τlτ(a)=τl(τ(a))=τl(a′)=a=1A(a),從而τlτ=1A,即τl為τ的左逆.注意到(1)式中a0是臨時固定的,它可以跑遍A,從而x的象可為任意元,從而τl有無限多個.τ無右逆是顯然的.(2)τ滿而不單時,?a∈A,[a]≠《,由選擇公理,取一個a0∈[a]?則τ(a0)=a.(2)a0∈[a]?則τ(a0)=a.(2)規(guī)定τr:A→A,a|→a0=τr(a),τr:A→A,a|→a0=τr(a),其中a0取法由(2)決定.則?a∈A,ττr(a)=τ[τ(a)]=τ(a0)=a=1A(a),從而ττr=1A,即τr為τ的右逆.在(2)式中,a0的取法有|[a]|種,每一取法對應(yīng)一個τr,所以當(dāng)?a∈A,|[a]|<+∞且滿足1<|[a]|<+∞的A中的元只有c1,c2,…,cn時,由乘法原理知共有|c1||c2|…|cn|種不同的右逆;不滿足上述條件,即要么至少有一個|[a]|=+∞或1<|[a]|<+∞的有無限個,則右逆有無限個.例A={1,2,3,…},τ∈T(A)且τ滿而不單:τ:A→A,1?2?3|→1?i|→i?2(i＞3)?τ:A→A,1?2?3|→1?i|→i-2(i＞3)?規(guī)定τr如下:τr1:A→A,i|→i+2(i＞1)?1|→1；τr2:A→A,i|→i+2(i＞1)?1|→2；τr3:A→A,i|→i+2(i＞1)?1|→3τr1:A→A,i|→i+2(i＞1)?1|→1；τr2:A→A,i|→i+2(i＞1)?1|→2；τr3:A→A,i|→i+2(i＞1)?1|→3均有ττrj(i)=τ(i+2)=2(i＞1),ττrj(1)=1,ττrj(i)=τ(i+2)=2(i＞1),ττrj(1)=1,其中,j=1,2,3.即τ有3個右逆元τr1,τr2,τr3.注由此斷言,無限集上的變換幺半群不能嵌入環(huán)中,因?yàn)樵诃h(huán)中若一個元的右逆不唯一,則右逆必?zé)o限,而此處τ的右逆有可能有限,參見文.為討論有限集,先引入一個引理:引理1A為有限集,τ∈T(A)則τ單?τ滿.τ單?τ滿.證明由τ(A)?A且|A|<+∞,知τ單?|τ(A)|=|A|?τ(A)=A?τ滿.τ單?|τ(A)|=|A|?τ(A)=A?τ滿.定理2A為有限集,τ∈T(A),則τ單(或滿)時,τ有唯一的左、右逆且左、右逆相等.證明由引理1及引言定理知其成立.在集范疇中,映射的左、右逆也有類似結(jié)論:定理3A,B為非空集,τ∈Mor(A,B)(符號意義參見文)有下列結(jié)論:(1)τ單而不滿時,τ無右逆,其左逆?zhèn)€數(shù)為|A||B\τ(A)|;(2)τ滿而不單時,τ無左逆,其右