人教版八年級數(shù)學下冊 （正方形的判定）平行四邊形新課件

正方形的判定

1．理解并掌握正方形的判定和推導過程．2．能熟練運用正方形的判定進行計算和證明．如圖，將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開．怎樣剪才能剪出一個正方形？？思考：滿足什么條件的矩形是正方形？有一組鄰邊相等的矩形是正方形；矩形正方形對角線互相垂直的矩形是正方形．思考：滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流．有一個角是直角的菱形是正方形；菱形正方形對角線相等的菱形是正方形．如圖，在矩形ABCD中，AB＝AD．求證：矩形ABCD是正方形．ADCB證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．AB＝CD，AD＝BC，又AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴矩形ABCD是正方形．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD互相垂直．求證：矩形ABCD是正方形．ADCBO證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，又AC⊥BD．∴∠AOD＝∠AOB＝90°，在△AOB和△AOD中，OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD．∴矩形ABCD是正方形．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求證：菱形ABCD是正方形．ADCB證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D．又∠A＝90°，∴∠C＝90°．∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．∴菱形ABCD是正方形．如圖，在菱形ABCD中，AC＝BD．求證：菱形ABCD是正方形．ADCB證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，在△ABD和△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．∵∠DAB＋∠CBA＝180°，∴∠DAB＝∠CBA＝90°．∴菱形ABCD是正方形．定理對角線相等的菱形是正方形．定理對角線互相垂直的矩形是正方形．定理有一組鄰邊相等的矩形是正方形．定理有一個角是直角的菱形是正方形．例1直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC．求證：四邊形CEDF是正方形．ABCDEF∴DF＝DE，∵CD平分∠ACB，∴四邊形CEDF為矩形．又∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°．證明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴四邊形CEDF是正方形．例2如圖，已知在□

ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是BD的延長線上的點，且EA＝EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求證：四邊形ABCD是正方形．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形．證明：（2）∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是正方形．例2如圖，已知在□

ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是BD的延長線上的點，且EA＝EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求證：四邊形ABCD是正方形．1．如圖，在直角三角形中，∠C＝90?，∠CAB，∠ABC的平分線交于點D，DE⊥AC，DF⊥CB．

求證：四邊形CEDF為正方形．ABCEFDG證明：過點D作DG⊥AB，垂足為G．∴∠DEC＝∠DFC＝90?．∵∠C＝90?，∴四邊形CEDF為矩形．∵DE⊥AC，DF⊥CB，∵AD是∠CAB的平分線，DE⊥AC，DG⊥AB,∴DE＝DG．∴四邊形CEDF為正方形．同理可得：DG＝DF，∴ED＝DF，ABCEFDG2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．（1）求證：∠ADB＝∠CDB．（2）若∠ADC＝90?，求證：四邊形PMDN是正方形．CABDMNP證明：（1）∵AB＝BC，對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB＝∠CDB．∵在△ABD和△CBD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD,（2）∵∠ADC＝90?，PM⊥AD，PN⊥CD,∴∠ADC＝∠PMD＝∠PND＝90?．∴四邊形PMDN是矩形．

∴四邊形PMDN是正方形．∴∠