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正方形的判定

1.理解并掌握正方形的判定和推導(dǎo)過(guò)程.2.能熟練運(yùn)用正方形的判定進(jìn)行計(jì)算和證明.如圖,將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次,然后剪下一個(gè)角,打開(kāi).怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形??思考:滿(mǎn)足什么條件的矩形是正方形?有一組鄰邊相等的矩形是正方形;矩形正方形對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形.思考:滿(mǎn)足什么條件的菱形是正方形?請(qǐng)證明你的結(jié)論,并與同伴交流.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形;菱形正方形對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形.如圖,在矩形ABCD中,AB=AD.求證:矩形ABCD是正方形.ADCB證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.AB=CD,AD=BC,又AB=AD,∴AB=BC=CD=AD,∴矩形ABCD是正方形.如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD互相垂直.求證:矩形ABCD是正方形.ADCBO證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴OB=OD,OA=OC,又AC⊥BD.∴∠AOD=∠AOB=90°,在△AOB和△AOD中,OB=OD,∠AOB=∠AOD,OA=OA,∴△AOB≌△AOD,∴AB=AD.∴矩形ABCD是正方形.如圖,在菱形ABCD中,∠A=90°.求證:菱形ABCD是正方形.ADCB證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠C,∠B=∠D.又∠A=90°,∴∠C=90°.∵∠A+∠B=180°,∴∠B=90°.∴菱形ABCD是正方形.如圖,在菱形ABCD中,AC=BD.求證:菱形ABCD是正方形.ADCB證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,在△ABD和△BAC中,AB=BA,AD=BC,BD=AC,∴△ABD≌△BAC,∴∠DAB=∠CBA.∵∠DAB+∠CBA=180°,∴∠DAB=∠CBA=90°.∴菱形ABCD是正方形.定理對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是正方形.定理對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形.定理有一組鄰邊相等的矩形是正方形.定理有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.例1直角三角形ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,DE⊥AC,DF⊥BC.求證:四邊形CEDF是正方形.ABCDEF∴DF=DE,∵CD平分∠ACB,∴四邊形CEDF為矩形.又∠ACB=90°,∴∠DEC=90°,∠DFC=90°.證明:∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴四邊形CEDF是正方形.例2如圖,已知在□

ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,E是BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn),且EA=EC.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED,求證:四邊形ABCD是正方形.

證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO,∵EA=EC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC,∴四邊形ABCD是菱形.證明:(2)∵∠ADO=∠EAD+∠AED,∠DAC=∠EAD+∠AED,∴∠ADO=∠DAC,∴AO=DO.∵四邊形ABCD是菱形,∴AC=2AO,BD=2DO,∴AC=BD,∴四邊形ABCD是正方形.例2如圖,已知在□

ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,E是BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn),且EA=EC.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED,求證:四邊形ABCD是正方形.1.如圖,在直角三角形中,∠C=90?,∠CAB,∠ABC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D,DE⊥AC,DF⊥CB.

求證:四邊形CEDF為正方形.ABCEFDG證明:過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB,垂足為G.∴∠DEC=∠DFC=90?.∵∠C=90?,∴四邊形CEDF為矩形.∵DE⊥AC,DF⊥CB,∵AD是∠CAB的平分線(xiàn),DE⊥AC,DG⊥AB,∴DE=DG.∴四邊形CEDF為正方形.同理可得:DG=DF,∴ED=DF,ABCEFDG2.如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,對(duì)角線(xiàn)BD平分∠ABC,P是BD上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別為M,N.(1)求證:∠ADB=∠CDB.(2)若∠ADC=90?,求證:四邊形PMDN是正方形.CABDMNP證明:(1)∵AB=BC,對(duì)角線(xiàn)BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∴△ABD≌△CBD(SAS),∴∠ADB=∠CDB.∵在△ABD和△CBD中,AB=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD,(2)∵∠ADC=90?,PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90?.∴四邊形PMDN是矩形.

∴四邊形PMDN是正方形.∴∠

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