《平方差公式》教學(xué)設(shè)計(jì)(部級優(yōu)課)-七年級數(shù)學(xué)教案

教學(xué)基本信息課題6.4.2平方差公式學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：第三學(xué)段年級七年級相關(guān)領(lǐng)域數(shù)與代數(shù)教材書名：《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（七年級下冊）出版社：北京出版社出版日期：2013年12月是否已實(shí)施2017年4月11日已實(shí)施教學(xué)設(shè)計(jì)參與人員姓名單位聯(lián)系方式設(shè)計(jì)者李娜北京市第一六一中學(xué)實(shí)施者李娜北京市第一六一中學(xué)指導(dǎo)者數(shù)學(xué)組北京市第一六一中學(xué)課件制作者李娜北京市第一六一中學(xué)指導(dǎo)思想與理論依據(jù)（1）布魯納動機(jī)教學(xué)原則：學(xué)習(xí)取決于學(xué)生對學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備狀態(tài)和心理傾向。兒童對學(xué)習(xí)都具有天然的好奇心和學(xué)習(xí)的愿望，問題在于教師如何利用兒童的這種自然傾向，激發(fā)學(xué)生參與探究活動，從而促進(jìn)兒童智慧的發(fā)展。復(fù)習(xí)引入提出問題：今天我們研究的平方差公式究竟是怎樣簡潔特征的特殊的多乘多呢？激發(fā)學(xué)生好奇心和學(xué)習(xí)的愿望。（2）程序教學(xué)法：斯金納認(rèn)為，對有機(jī)體與其環(huán)境相互作用的一種適當(dāng)?shù)年愂?，必須始終具體說明三件事：反應(yīng)發(fā)生的場合；反應(yīng)本身；強(qiáng)化結(jié)果。這三者之間的相互關(guān)系便是“強(qiáng)化相倚關(guān)系（ContigenciesofReinforcement）”。根據(jù)強(qiáng)化相倚關(guān)系，斯金納設(shè)計(jì)了兩種促使有機(jī)體行為變化所采用的技術(shù)：塑造和漸退。塑造是指通過安排特定的強(qiáng)化相倚關(guān)系使有機(jī)體做出他（它）們行為庫中原先不曾有過的復(fù)雜動作。漸退是指通過有差別的強(qiáng)化，緩慢地減少兩種（或兩種以上）刺激的特征，從而使有機(jī)體最終能對兩種只有很小差異的刺激做出有辨別的反應(yīng)。本設(shè)計(jì)中練習(xí)和例題的設(shè)置就是按照這樣的方式設(shè)計(jì)的，先認(rèn)識a，b；再判斷是否符合平方差公式特征，進(jìn)而套用公式計(jì)算，再識別是否符合公式連續(xù)使用公式，到最后構(gòu)造公式。教學(xué)背景分析教學(xué)內(nèi)容：本章內(nèi)容屬于數(shù)與代數(shù)部分，研究的主要內(nèi)容是整式的加減乘除運(yùn)算，這些知識是以后學(xué)習(xí)分式和根式的運(yùn)算、函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，同時也是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科及其他科學(xué)技術(shù)不可或缺的數(shù)學(xué)工具。本課在本章中屬于《整式的乘除》的內(nèi)容，在學(xué)習(xí)本課之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，以及兩種特殊的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)影響著學(xué)生對兩種公式的識別是否到位，是否會對已學(xué)知識產(chǎn)生負(fù)遷移，直接關(guān)系著后續(xù)利用公式法進(jìn)行因式分解的學(xué)習(xí)。學(xué)生情況：授課班級學(xué)生基礎(chǔ)較好，層次差異較大，已經(jīng)有一定的觀察、分析能力，但思維嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性仍相對薄弱，喜歡稍有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教學(xué)方法：教師采用發(fā)現(xiàn)、探究、講授、練習(xí)、提問等教法組織教學(xué)。教學(xué)手段：PPT課件，學(xué)案，紙板模型，結(jié)合板書。技術(shù)準(zhǔn)備：PPT課件；教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)：能用自己的語言敘述公式，能理解公式中字母的廣泛含義，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算。過程與方法目標(biāo)：在本課的學(xué)習(xí)過程中，體會從“一般-特殊-一般”的認(rèn)識事物的規(guī)律。情感態(tài)度價值觀目標(biāo)：在用文字、符號、圖形三種語言表述平方差公式的過程中，認(rèn)識數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶卣?，體會數(shù)學(xué)的價值。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式教學(xué)難點(diǎn)：幾何語言驗(yàn)證公式和識別是否符合平方差公式。

教學(xué)過程示意過程流程作用一．復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)舊知將新知納入知識體系二．學(xué)習(xí)新知平方差公式的學(xué)習(xí)三．鞏固新知對平方差公式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行學(xué)習(xí)四.例題講解利用公式簡算五.

小結(jié)作業(yè)梳理知識布置作業(yè)教學(xué)過程問題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖一.復(fù)習(xí)引入(1)(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(3)(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2那么我們今天要學(xué)習(xí)的平方差公式又是怎樣的特殊的多乘多呢？教師板演，學(xué)生復(fù)習(xí)口答。通過復(fù)習(xí)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法法則，到有一個字母相同的特殊的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，兩個多項(xiàng)式完全相同的多項(xiàng)式相乘，讓學(xué)生體會到“一般-特殊”的學(xué)習(xí)順序,學(xué)生會對今天要學(xué)習(xí)的乘法公式充滿期待和猜想。二.學(xué)習(xí)新知1、計(jì)算：①(y+1)(y-2)②(m+1)(m-1)③（3+a）（3-a）④(x+2y)(x-2y)觀察結(jié)果與各因式關(guān)系，猜想(a+b)(a-b)的結(jié)果。實(shí)際上結(jié)果只有兩項(xiàng)，非常簡潔，為了方便計(jì)算，將其作為公式。2.平方差公式即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差。3.用幾何圖形驗(yàn)證平方差公式學(xué)生計(jì)算結(jié)果①(y+1)(y-2)=y2-y-2②(m+1)(m-1)=m2-1③（3+a）（3-a）=9-a2④(x+2y)(x-2y)=x2-4y2教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，關(guān)注學(xué)生是否能關(guān)注到后三個等式就有共同特征，關(guān)注進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生先觀察等式左邊，再觀察等式右邊，關(guān)注學(xué)生能否主動將不是平方項(xiàng)的化為平方項(xiàng)。要求學(xué)生用自己的語言將觀察到的規(guī)律敘述出來，進(jìn)而用符號語言表示出來。要求學(xué)生證明公式。讓學(xué)生用幾何語言解釋平方差公式，這是一個難點(diǎn)，但不是本節(jié)課研究的重點(diǎn)。由于需要由一個長方形經(jīng)過剪裁之后再拼接，對于學(xué)生的要求還是相當(dāng)高的。為了突破這個難點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了三個有梯度的問題進(jìn)行引導(dǎo)：1、用幾何語言解釋平方差公式，實(shí)質(zhì)是利用圖形的什么進(jìn)行驗(yàn)證的？2、（a+b）（a-b）你能想到的是什么樣圖形的面積呢？a2-b2又是什么樣的一個圖形呢？3、如何將兩個圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化呢？同時，我還準(zhǔn)備了紙板模型貼在黑板上，讓學(xué)生先分析出該如何剪裁，再讓學(xué)生動手演示如何拼接。讓學(xué)生通過探究活動經(jīng)歷一個由具體到抽象，由特殊到一般的認(rèn)識過程。讓學(xué)生用文字語言敘述公式，是在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表述能力，用符號語言表示公式，是在培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。讓學(xué)生證明公式，是讓學(xué)生完整的經(jīng)歷觀察、猜想、證明這一認(rèn)識事物的方法，正如恩格斯所說：“單憑觀察所得的經(jīng)驗(yàn)，是決不能充分證明必然性的?！逼椒讲罟降膸缀我饬x加深了學(xué)生對公式的理解．由于不是本課研究的重點(diǎn)，所以我沒有安排大面積的學(xué)生動手操作，而是采用引導(dǎo)加學(xué)生示范的形式進(jìn)行的，既鍛煉了學(xué)生的思維，又節(jié)省了時間不至于影響本課重點(diǎn)內(nèi)容的講授。三.鞏固新知3、指出下列各式是哪兩個數(shù)的和乘以哪兩個數(shù)的差。（a+b）(a-b)ab（）2-（）2(x-y)(x+y)（）2-（）2(-x+y)(-x-y)（）2-（）2(-x+y)(x+y)（）2-（）2(-y-x)(x-y)（）2-（）2（a+b+c）(a+b-c)（）2-（）2（a+b-c）(a-b-c)（）2-（）2思考：字母a,b可以表示什么?可以表示一個數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等，所以平方差公式可抽象為以下形式：﹙□+△﹚﹙□–△﹚=□2–△24、判斷下列計(jì)算是否正確,正確畫”√”,否則畫”╳”.（1）（2a－3b）（2a－3b）=4a2－9b2()（2）（x＋2）（x－2）=x2－2()（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4()（4）（m＋2）（m－3）=m2－6()(5)（7+a）(-7-a)=(-7)2-a2()教師提問，學(xué)生經(jīng)過思考獨(dú)立回答，在學(xué)生回答的過程中，教師關(guān)注學(xué)生能否回答準(zhǔn)確，稍有困難時，教師提醒學(xué)生：a是兩項(xiàng)中相同的項(xiàng)，b是互為相反的項(xiàng)去掉符號。（1）題符合差的完全平方公式，（2）（3）符合平方差公式，考察套用公式計(jì)算結(jié)果是否正確，（4）符合（x+a）（x+b）（5）最難判斷，兩項(xiàng)互為相反數(shù)，需要變形之后，符合完全平方公式。學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件．加深對平方差公式的理解，進(jìn)一步體會字母a、b既可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解．另強(qiáng)調(diào)使用公式時寫成（）2-（）2的形式，避免計(jì)算積的乘方時漏乘方的現(xiàn)象。在上一題的基礎(chǔ)上，考察學(xué)生能否判斷出等式左邊是否符合平方差公式的特征，再套用平方差公式計(jì)算，與前面學(xué)習(xí)的幾種乘法公式互相區(qū)分，減少負(fù)遷移。通過這兩個題目的設(shè)置，突破難點(diǎn)，加深學(xué)生對于公式的理解和識別。四.例題講解：例1利用平方差公式計(jì)算：（1）（2）5、練習(xí)：（1）（-0.25x－y）（-0.25x＋y）（2）（3y－2x）（－2x－3y）例2、計(jì)算：（1）（2）教師板演，學(xué)生學(xué)習(xí)。師生共同分析解題步驟：(1)分析，判斷是否符合公式找a，b(2)用公式：（）２－（）２(3)算：乘積的乘方學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，安排兩名同學(xué)板演。同學(xué)糾錯，教師小結(jié)統(tǒng)計(jì)同學(xué)正確率。（1）題學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)表見解。（1）題需要學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)第1項(xiàng)和第3項(xiàng)結(jié)合使用符合公式，經(jīng)過計(jì)算之后發(fā)現(xiàn)結(jié)果和第二項(xiàng)結(jié)合又符合平方差公式，連續(xù)使用兩次公式進(jìn)行計(jì)算。（2）題學(xué)生先回答思路，再師生共同研究，教師引導(dǎo)。（2）題難度特別大，需要學(xué)生構(gòu)造平方差公式來進(jìn)行簡算。通過找、用、算三步，使公式的運(yùn)用更加條理化，規(guī)范化，易于學(xué)生掌握。強(qiáng)調(diào)了先判斷是否符合公式特征，再使用公式的最重要的一步，也是學(xué)生最容易忽略的一步，而到了下節(jié)課和完全平方公式同時出現(xiàn)的時候就會出現(xiàn)大面積的公式混用的現(xiàn)象。規(guī)范了學(xué)生在用公式的時候必須寫成（）2-（）2的形式，與上面練習(xí)遙想呼應(yīng)，減少學(xué)生積的乘方出現(xiàn)系數(shù)忘記乘方的情況。展示學(xué)生學(xué)習(xí)成果，對于學(xué)生運(yùn)算中存在的問題進(jìn)一步糾錯。全班只有兩名同學(xué)算錯，都是（1）題，其中一名同學(xué)就是板演的同學(xué)，問題出在（-0.25）2沒有算對，還有一名同學(xué)漏掉了x成了.（1）題考查學(xué)生對于平方差公式的掌握程度，能否主動發(fā)現(xiàn)并兩次使用公式，（2）題有一定的難度，由于我班學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，我特地安排了這道題，從發(fā)現(xiàn)符合公式特征使用公式到主動構(gòu)造公式，是一個質(zhì)的飛躍，為了幫助學(xué)生理解，我采用將2看作a，1看作b的形式，將整個式子轉(zhuǎn)化成：(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)的形式，是平方差公式中和的那一部分，缺少的是差的那一部分，如果添上差的那一部分，（a-b）(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8)就變成（1）同樣類型的題目。五.小結(jié)作業(yè)：1.課堂小結(jié)教師提問：（1）你學(xué)到了那些知識？（2）你認(rèn)為平方差公式的作用是什么？2.布置作業(yè)：必做題：書89頁第2題92頁第4，5題選做題：書93頁拓展學(xué)生回答問題，教師總結(jié)認(rèn)識事物的規(guī)律“一般-特殊-一般”。學(xué)生完成作業(yè)。引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)知識的脈絡(luò)，整理本節(jié)課收獲的研究問題的方法。作業(yè)層次分明。必做作業(yè)，落實(shí)本節(jié)課所學(xué)知識，加深平方差公式的理解。選做作業(yè)，適合程度較好的學(xué)生，引發(fā)學(xué)生深層思考，獲得成功的體驗(yàn)。學(xué)習(xí)效果評價設(shè)計(jì)評價方式：1、提問關(guān)注不同層次的學(xué)生：本課課堂提問人數(shù)超過80%，為不同層次的學(xué)生安排了適合的問題，比如識別a，b中較簡單的題目適合程度較差的學(xué)生，而幾何圖形驗(yàn)證公式就適合程度較好的學(xué)生，不僅安排了提問的形式檢測學(xué)生學(xué)習(xí)情況，而且安排了板演練習(xí)的方式檢測學(xué)生。2、練習(xí)統(tǒng)計(jì)當(dāng)堂學(xué)習(xí)情況：通過當(dāng)堂統(tǒng)計(jì)，第（1）題全班有兩人出錯，一人也就是板演那位同學(xué)，錯誤原因在于系數(shù)（-0.25）2計(jì)算錯誤，還有一人把x丟掉了。（2）題全對，發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果還是相當(dāng)不錯的。3、作業(yè)拓展提升在上述兩個環(huán)節(jié)中體現(xiàn)的是學(xué)生基本計(jì)算能力的反饋，大多數(shù)學(xué)生在本課中都有很好的收獲，而對于程度較好的學(xué)生而言是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，所以我通過選作作業(yè)，考察學(xué)生能否主動構(gòu)造公式進(jìn)行簡算，從學(xué)生的作業(yè)反饋來看，效果是不錯的。本教學(xué)設(shè)計(jì)與以往或其他教學(xué)設(shè)計(jì)相比的特點(diǎn)1、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程,而不僅僅關(guān)注得出的結(jié)論從特殊實(shí)例探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律時，關(guān)注學(xué)生能否找到三個式子中具有的共同特征，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生先觀察等式左邊，再觀察等式右邊，關(guān)注學(xué)生能否主動將不是平方項(xiàng)的化為平方項(xiàng)。2、自制教具，形象解決難點(diǎn)問題本課中平方差公式的幾何意義是學(xué)生理解起來較難的部分，所以我采取了自制教具的辦法，采用兩層長方形紙片粘在一起，并不直接給出學(xué)生我想要的具體信息，而是等學(xué)生思路發(fā)展到了具體的一步之后，才呈現(xiàn)長為a+b，寬為a-b的矩形，到轉(zhuǎn)化為一個正方形剪去一個小正方形時，也是學(xué)生思路發(fā)展到切割長方形的一部分拼成正方形的，而采用紙板拼接的辦法，操作性強(qiáng)，學(xué)生能夠看到整個拼接的過程。3、注重思維訓(xùn)練的層次性（1）練習(xí)和例題的選擇充分考慮到了學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律，首先安排了識別a，b這組練習(xí)，接著安排了判斷題，最后才安排例1，體現(xiàn)“識別-判斷-計(jì)