九年級下冊《相似三角形》全章復(fù)習(xí)測試卷(教師版)知識點+測試題詳細(xì)答案

《相似》全章復(fù)習(xí)鞏固【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】一、相似圖形及比例線段1．相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.注：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等；2.相似多邊形如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．3.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（2）若a:b=b:c，則=ac（b稱為a、c的比例中項）．二、相似三角形相似三角形的判定:判定方法：（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.（二）：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.（三）：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.(3)相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）相似多邊形的周長比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．三、位似1.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上；

（2)位似圖形的對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.【典型例題】類型一、相似圖形及比例線段1.已知:a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28,求3a-2b+c的值.

【答案】

∵a:b:c=3:5:7

設(shè)a=3k,b=5k,c=7k

∵2a+3b-c=28

∴6k+15k-7k=28，∴k=2

∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12舉一反三如圖，已知直線a∥b∥c，直線m、n與a、b、c分別交于點A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，則BF＝（）

A．7B．7.5C．8D．8.5【答案】B.類型二、相似三角形2.如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．

(1)∠ABC=________，BC=________；

(2)判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由.【答案】(1)135°，

(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).

因為，，所以.

又因為∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.3.在正方形ABCD中，P是BC上的點，BP=3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP．【答案】∵BP=3PC，Q是CD的中點，∴，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，

∴△ADQ∽△QCP.4.如圖所示，在△ABC和△DBE中，若.

(1)△ABC與△DBE的周長差為10cm，求△ABC的周長；

(2)△ABC與△DBE的面積之和為170cm2，求△DBE的面積．【答案】∵，

∴△ABC∽△DBE.

∴，設(shè)△ABC的周長為5kcm，△DBE的周長為3kcm，

∴，，，

∴△ABC的周長為.

(2)∵△ABC∽△DBE，∴.

設(shè)，.

∴，解得k=5，

∴.

【總結(jié)升華】相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方．5.如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點E，F(xiàn)分別在線段AD，DC上(點E與點A，D不重合)，且∠BEF=120°，設(shè)，.

(1)求y與x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【答案】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，

所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.

因為∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，

所以∠ABE=∠DEF.

所以△ABE∽△DEF，所以.

因為，，所以，

所以y與x的函數(shù)解析式是.

(2)，

所以當(dāng)時，y有最大值，最大值為.舉一反三：1、下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）.A．B．C．D．【答案】B.2、如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一點，DE：EC=2：3，連接AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：25【答案】D.3、如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O.（1）求證：△COM∽△CBA；（2）求線段OM的長度.【答案】（1）證明：A與C關(guān)于直線MN對稱，∴ACMN，∴∠COM=90°，在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B，又∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA，（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴OC=5，△COM∽△CBA，∴，∴OM=.4、如圖，在△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿直線MN翻折后，頂點C恰好落在AB邊上的點D處，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，則四邊形MABN的面積是（）A． B．C． D．【答案】C；【解析】由MC＝6，NC＝，∠C＝90°得S△CMN=，再由翻折前后△CMN≌△DMN得對應(yīng)高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比為1:2，故兩者的面積比為1:4，從而得S△CMN：S四邊形MABN=1:3，故選C.5、如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動點D從點B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度．過點D作DE∥BC交AC于點E，設(shè)動點D運動的時間為x秒，AE的長為y．

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少?

【答案】(1)因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，

所以.

又因為AB=8，AC=6，，，

所以，即，

自變量x的取值范圍為.

(2)

.

所以當(dāng)時，S有最大值，且最大值為6.鞏固練習(xí)（一）一、選擇題1．如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是()

A．B．C．D．2.在和中，，如果的周長是16，面積是12，那么的周長、面積依次為()

A．8，3B．8，6C．4，3D．4，63．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與相似的是()

4.如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，P是BC邊上的點，下列條件中不能推出△ABP與以點E、C、P為頂點的三角形相似的是()A．∠APB=∠EPCB．∠APE=90°C．P是BC的中點D．BP：BC=2：3

4題圖5題圖5.如圖，在△ABC中，EF∥BC，,，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=（）A．9B．10C．12D．136.如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長D．S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL二、填空題7.在□ABCD中，在上，若，則___________.

8.如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，DF平分CE于點G，CF=1，則BC=_______，△ADE與△ABC的面積之比為_______，△CFG與△BFD的面積之比為________.

9.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O點，S△AOD:S△COB=1:9，則S△DOC:S△BOC=_______.

10.在相同時刻的物高與影長成比例.小明的身高為1.5米，在地面上的影長為2米，同時一古塔在面上的影長為40米，則古塔高為________.11.若,則的值為.12．如圖，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，則∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.13.如圖，點D,E分別在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，則AB的長為_________.第14題第15題14.－油桶高0.8m，桶內(nèi)有油，一根木棒長1m，從桶蓋小口斜插入桶內(nèi)，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分長0.8m，則桶內(nèi)油面的高度為.三、解答題15.如圖，等腰直角△ABC的斜邊AB所在的直線上有點E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3，設(shè)AB=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

16.一塊直角三角形木板，一直角邊是1.5米，另一直角邊長是2米，要把它加工成面積最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分別如圖1、圖2所示，請運用所學(xué)知識說明誰的加工方法符合要求.

圖1圖217.如圖，圓中兩弦AB、CD相交于M，且AC=CM=MD，MB=AM=1，求此圓的直徑的長.

18.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間(0≤t≤6)那么:

(1)當(dāng)t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？

(2)對四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；

(3)當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？

【答案】一．選擇題1．【答案】A.

【解析】考點：平行線分線段成比例.2．【答案】A.【解析】考點：相似三角形的性質(zhì).3．【答案】A【解析】考點：相似三角形的判定.4．【答案】C.5.【答案】A.【解析】求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出，把S四邊形BCFE=8代入求出即可．6.【答案】B.【解析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)對各選項進行逐一分析即可．二．填空題7．【答案】3:5.8．【答案】2，1:4，1:6.9．【答案】1:3.【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9，，∵△AOD與△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3，

∴S△DOC:S△BOC=1:3.10．【答案】30m.11.【答案】.【解析】設(shè)，則x=3k,y=4k,z=5k

∴.12．【答案】68°，1:2.【解析】首先，想到定理的含義，再結(jié)合圖形分析（或進行比例變形）就可直接求出結(jié)果.13.【答案】10.【解析】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴，DE=10.14.【答案】0.64m.【解析】將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題是解題的關(guān)鍵，即由題意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，將問題轉(zhuǎn)化為求CE的長，由平行線分線段成比例定理計算即得.三.解答題15．【解析】解：△ABC為等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°，

∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°，

所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF，

所以△ECA∽△CFB，，3y=CA2=x2，即y=x2.16．【解析】乙加工的方法符合要求.

解：設(shè)甲加工桌面長xm，

過點C作CM⊥AB，垂足是M，與GF相交于點N，

由GF∥DE，可得三角形相似，

而后由相似三角形性質(zhì)可以得到CN：CM=GF：AB，即(CM-x)：CM=x：AB.

由勾股定理可得AB=2.5m，由，可求得CM=1.2m，

故此可求得x=m；

設(shè)乙加工桌面長ym，

由FD∥BC，得到Rt△AFD∽Rt△ACB，

所以AF：AC=FD：BC，即(2-y)：2=y：1.5，解得y=，

很明顯x＜y，故x2＜y2，所以乙加工的方法符合要求.17．【解析】連結(jié)BD，由∠CAM=∠BDM，∠AMC=∠DMB，△ACM∽△DBM，，

又DM=CM，CM2=AM·BM=2，CM=DM=，AC=.

又AC2+CM2=AM2，所以∠ACD=90°，

所以圓的直徑為AD==.

18.【解析】(1)對于任何時刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，

當(dāng)QA=AP時，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.

(2)四邊形QAPC的面積=S△QAC+S△APC=(36-6t)+6t=36cm2，

在P、Q兩點移動的過程中，

四邊形QAPC的面積始終保持不變(或P、Q兩點到對角線AC的距離之和保持不變)

(3)分兩種情況:

①當(dāng)時△QAP∽△ABC，則，從而t=1.2，

②當(dāng)時△PAQ∽△ABC，則，從而t=3.

鞏固練習(xí)（二）一、填空題：1.已知，則__________2.若三角形三邊之比為3：5：7，與它相似的三角形的最長邊是21cm，則其余兩邊之和是__________cm3.如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BC=6，則DE=__________；△ADE與△ABC的面積之比為：__________。4.已知線段a=4cm，b=9cm，則線段a、b的比例中項c為__________cm。5.在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________6.在比例尺是1：8000000的《中國行政區(qū)》地圖上，量得A、B兩城市的距離是7.5厘米，那么A、B兩城市的實際距離是__________千米。7.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，則EF=__________8.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，則梯形的面積為：__________9.小芳的身高是1.6m，在某一時刻，她的影子長2m，此刻測得某建筑物的影長是18米，則此建筑物的高是_________米。10.如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，則AD=_________.

11.如圖，M是ABCD的邊AB的中點，CM交BD于E，則圖中陰影部分的面積與ABCD的面積之比為_____.

12.如圖，O為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點，N為DC邊上一點，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，設(shè)OM=x，ON=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為__________________．13.如圖，ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，CD=2DE.若△DEF的面積為a，則ABCD中的面積為.(用a的代數(shù)式表示)14.如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點，且AD=AB，DF∥BC，E為BD的中點．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為_______________.二、選擇題：1.如果兩個相似三角形對應(yīng)邊的比是3：4，那么它們的對應(yīng)高的比是__________A.9：16 B.：2C.3：4 D.3：72.在比例尺為1：m的某市地圖上，規(guī)劃出長a厘米，寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)的實際面積是__________米2A. B. C. D.3.如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式錯誤的是：____________4.如圖，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點，AD=12，在AB上取一點E，使A、D、E三點為頂點組成的三角形與△ABC相似，則AE的長是__________A.16 B.14 C.16或14 D.16或95.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，AE⊥AD，交CB的延長線于點E，則下列結(jié)論正確的是__________A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC6.如圖，路燈距地面8米，身高1.6米的小明從距離燈的底部(點O)20米的點A處，沿OA所在的直線行走14米到點B時，人影的長度()

A.增大1.5米B.減小1.5米C.增大3.5米D.減小3.5米7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）A.B.C.D.2三、解答題1.如圖，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的長。2.如圖，△ABC中，D是AB上一點，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求證：△ABC∽△CBD3.如圖，BE為△ABC的外接圓O的直徑，CD為△ABC的高，求證：AC·BC=BE·CD4、如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD=60°，5、如圖，D為△ABC中BC邊上的一點，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的長。6、已知：如圖，在中，是角平分線，試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說明．7、如圖，一人拿著一支刻有厘米分畫的小尺，站在距電線桿約30米的地方，把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個分畫恰好遮住電線桿，已知手臂長約60厘米，求電線桿的高．8、如圖，小明為了測量一高樓MN的高，在離N點20m的A處放了一個平面鏡，小明沿NA后退到C點，正好從鏡中看到樓頂M點，若m，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請你幫助小明計算一下樓房的高度（精確到0.1m）．9、如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使，然后再選點E，使，確定BC與AE的交點為D，測得米，米，米，你能求出兩岸之間AB的大致距離嗎？

10.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分別是AB、BC的中點，EF與BD相交于點M.(1)求證：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.

[答案]一、填空題：1、19：13 2、24 3、3；1：44、6 5、126、6007、14.4 8、9、14.410．【答案】6.4.【解析】提示：在Rt△ABC中，，

由.11．【答案】.【解析】，，

(三角形等高，面積比等于底邊比)

，

陰影部分的面積與ABCD的面積之比為1：3.12．【答案】.【解析】求兩條線段的關(guān)系，把兩條線段放到兩個三角形中，利用兩個三角形的關(guān)系求解．13.【答案】12a.【解析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，進而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出△CEB、△ABF的面積為4a、9a，然后推出四邊形BCDF的面積為8a即可.14.【答案】15.二、選擇題：1.C 2.D 3.C 4.D 5.C6.【答案】D；【解析】由題意，，由相似，，同理，.7.【答案】B.【解析】∵AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x-1，F(xiàn)E=1，

∵四邊形EFDC與矩形AB