廣西桂梧高中2023年高三下學(xué)期半期測(cè)試數(shù)學(xué)試題試卷

廣西桂梧高中2023年高三下學(xué)期半期測(cè)試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．2．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng)C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個(gè)D．去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元3．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點(diǎn)，異面直線與所成角的余弦值為，則()A．直線與直線異面，且 B．直線與直線共面，且C．直線與直線異面，且 D．直線與直線共面，且4．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙7．已知集合則（）A． B． C． D．8．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．89．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．10．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．11．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．12．已知非零向量滿足，若夾角的余弦值為，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C．或 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍有___________.14．已知點(diǎn)是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為______________．15．已知，則________.(填“>”或“=”或“<”).16．在中，角的對(duì)邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．18．（12分）自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來，武漢醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重缺乏，全國(guó)各地紛紛馳援.截至1月30日12時(shí)，湖北省累計(jì)接收捐贈(zèng)物資615.43萬件，包括醫(yī)用防護(hù)服2.6萬套N95口軍47.9萬個(gè)，醫(yī)用一次性口罩172.87萬個(gè)，護(hù)目鏡3.93萬個(gè)等.中某運(yùn)輸隊(duì)接到給武漢運(yùn)送物資的任務(wù)，該運(yùn)輸隊(duì)有8輛載重為6t的A型卡車，6輛載重為10t的B型卡車，10名駕駛員，要求此運(yùn)輸隊(duì)每天至少運(yùn)送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù)：A型卡車16次，B型卡車12次；每輛卡車每天往返的成本：A型卡車240元，B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛，運(yùn)輸隊(duì)所花的成本最低？19．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的滿足關(guān)系式.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是，前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)于任意的正數(shù)n，總有.21．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．22．（10分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先由是偶函數(shù)，得到關(guān)于直線對(duì)稱；進(jìn)而得出單調(diào)性，再分別討論和，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以關(guān)于直線對(duì)稱；因此，由得；又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；所以，當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；當(dāng)即時(shí)，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)應(yīng)不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.2、D【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項(xiàng)均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個(gè).故C項(xiàng)正確；.故D項(xiàng)不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖、柱形圖的識(shí)別，考查學(xué)生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.3、B【解析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線與直線共面.，同理易得，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線與所成角為.設(shè)，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.4、D【解析】

先計(jì)算，然后將進(jìn)行平方，，可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題。5、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.【詳解】根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6、A【解析】

利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績(jī)高，丙比乙成績(jī)低，故3人成績(jī)由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙的成績(jī)高，乙比甲成績(jī)高，即丙比甲，乙成績(jī)都高，即乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理判斷能力．題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查．7、B【解析】

解對(duì)數(shù)不等式可得集合A，由交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運(yùn)算可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，對(duì)數(shù)不等式解法，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，，且，由于，所以..所以，即..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)由得，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即，，解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.9、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計(jì)算．【詳解】由可得，因?yàn)?，所以．故在方向上的投影為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．10、A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對(duì)于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.11、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式，通過變形求解出的周期，進(jìn)而算出.【詳解】為上的奇函數(shù)，，而函數(shù)是上的偶函數(shù)，，，故為周期函數(shù)，且周期為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合以及夾角的余弦值，即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意，得，即.將代入可得，，解得（舍去）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，涉及由向量垂直求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)方程的根，求出方程的兩根為，，從而可得或，即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)方程在區(qū)間的根，所以，解得：，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以或，即或.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，在求含絕對(duì)值方程時(shí)，要注意對(duì)絕對(duì)值內(nèi)數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論.14、【解析】

過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)和拋物線相切時(shí)，的值最小.再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當(dāng)最小時(shí)，的值最小.設(shè)切點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.15、【解析】

注意到，故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知，，故有.又由，故有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式比較大小，涉及到換底公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.16、【解析】

轉(zhuǎn)化為，利用二倍角公式可求解得，結(jié)合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋覟殇J角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）在已知極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y(tǒng)，ρ2＝x2+y2可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y由韋達(dá)定理以及參數(shù)的幾何意義和弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)與已知弦長(zhǎng)相等可解得．【詳解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中兩邊同時(shí)乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2＝4y．（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬中檔題．18、每天派出A型卡車輛，派出B型卡車輛，運(yùn)輸隊(duì)所花成本最低【解析】

設(shè)每天派出A型卡車輛，則派出B型卡車輛，由題意列出約束條件，作出可行域，求出使目標(biāo)函數(shù)取最小值的整數(shù)解，即可得解.【詳解】設(shè)每天派出A型卡車輛，則派出B型卡車輛，運(yùn)輸隊(duì)所花成本為元，由題意可知，，整理得，目標(biāo)函數(shù)，如圖所示，為不等式組表示的可行域，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最小，解方程組，解得，，然而，故點(diǎn)不是最優(yōu)解.因此在可行域的整點(diǎn)中，點(diǎn)使得取最小值，即，故每天派出A型卡車輛，派出B型卡車輛，運(yùn)輸隊(duì)所花成本最低.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)整數(shù)解問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解題關(guān)鍵在于列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)注意整點(diǎn)的選取，屬于中檔題.19、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），則，.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由，得，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；由，得，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).則，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.不妨設(shè)，其中，令，則或.（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).此時(shí)，而，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，所以，.，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，，符合題意；③當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)和分類討論是關(guān)鍵，屬于難題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)公式得到，計(jì)算得到答案.（2），根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到，得到證明.【詳解】（1）由已知得時(shí)，，故