《工程數(shù)學(xué)》課程十二-復(fù)變函數(shù)五

主講教師:冉揚(yáng)強(qiáng)工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)輔導(dǎo)課程十二整理課件第三章復(fù)變函數(shù)的積分§5柯西積分公式第二篇復(fù)變函數(shù)整理課件§5柯西積分公式定理(柯西積分公式)：設(shè)c為區(qū)域D的邊界，在上解析，那么對(duì)于區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)，有討論：1)柯西公式說(shuō)明，對(duì)于某有界閉區(qū)域上解析的函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示出來(lái).或者說(shuō)解析函數(shù)在邊界上的值完全決定了它在區(qū)域內(nèi)部各點(diǎn)的值.整理課件2)對(duì)于復(fù)連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，只要將積分路徑c理解為該區(qū)域的全部邊界(都取正方向)，那么柯西積分公式仍然成立，例如：由組成的復(fù)連通區(qū)域D，(的正方向如圖3.9所示)，那么：有3)利用柯西積分公式可以計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉曲線的積分.例7：設(shè)c為圓周，求整理課件解：由于函數(shù)

在內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)在內(nèi)解析，由柯西公式可

得整理課件§6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理：設(shè)區(qū)域D的邊界為圍線c，在上解析，那么函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)存在，且討論：1)該定理說(shuō)明，解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，換句話說(shuō)，在某個(gè)區(qū)域上，復(fù)變函數(shù)只要處處都有一階導(dǎo)數(shù)，也就有任意階的導(dǎo)數(shù).整理課件2)可以將n階導(dǎo)數(shù)公式與柯西積分公式通稱(chēng)為柯西公式，其主要應(yīng)用是通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.例8計(jì)算，其中c是由確定的區(qū)域.解：

所以在內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)，分別以i,-i為心作兩個(gè)互整理課件不相交的圓，使它們含于c內(nèi)，那么由柯西定理得對(duì)于第一個(gè)積分，由于在內(nèi)解析，由柯西公式得整理課件同理

整理課件§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1、調(diào)和函數(shù)的定義定義：如果實(shí)變函數(shù)在某區(qū)域D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程

那么稱(chēng)為區(qū)域D上的調(diào)和函數(shù)，方程稱(chēng)為拉普拉斯方程.整理課件2、解析函數(shù)的實(shí)部和虛部是調(diào)和函數(shù)設(shè)在區(qū)域D上解析，那么C--R條件成立

，.

我們知道，某個(gè)區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對(duì)上式求偏導(dǎo)數(shù)

,整理課件兩式相加可得同理可得

即,都滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。注意：反過(guò)來(lái)定理不一定成立，如果是調(diào)和函數(shù)，不一定解析，因?yàn)榻馕龊瘮?shù)必須滿足C--R條件.

由C--R條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù)u與v稱(chēng)為整理課件共軛調(diào)和函數(shù)，這樣上述定理可表述為：定理：任何一個(gè)在區(qū)域D上的解析函數(shù)，其實(shí)部與虛部在該區(qū)域上互為共軛調(diào)和函數(shù)。由上面的討論可得，解析函數(shù)的實(shí)部與虛部互為共軛調(diào)和函數(shù)。如果一個(gè)調(diào)和函數(shù)，可以把它作為某解析函數(shù)的實(shí)部〔或虛部〕，然后利用柯西—黎曼條件求出它的共軛調(diào)和函數(shù)，該調(diào)和函數(shù)為解析函數(shù)的虛部(或?qū)嵅?，由此得到一個(gè)解析函數(shù)。

整理課件第四章級(jí)數(shù)整理課件主要內(nèi)容(1)、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的根本概念和性質(zhì)(2)、冪級(jí)數(shù)的收斂性，冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)(3)、解析函數(shù)的泰勒展式(4)、雙邊冪級(jí)數(shù)，解析函數(shù)的羅朗展式整理課件重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的收斂性，收斂半徑；解析函數(shù)的泰勒展式和羅朗展式難點(diǎn)：解析函數(shù)的泰勒展開(kāi)和羅朗展開(kāi)整理課件第四章級(jí)數(shù)§1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義：考慮各項(xiàng)均為復(fù)數(shù)的級(jí)數(shù)

它的每一項(xiàng)都可分為實(shí)部和虛部，設(shè)為，那么級(jí)數(shù)的局部和為：

整理課件2、級(jí)數(shù)的收斂性如果為有限數(shù)s，那么稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，并稱(chēng)s為它的和，記為不收斂的級(jí)數(shù)稱(chēng)為發(fā)散級(jí)數(shù)，顯然這樣復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題就歸結(jié)于兩個(gè)實(shí)數(shù)整理課件項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，即級(jí)數(shù)收斂于的充要條件是兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù)及分別收斂于及。

3、絕對(duì)收斂和條件收斂如果由級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù)收斂，那么稱(chēng)絕對(duì)收斂。收斂而非絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，稱(chēng)為條件收斂，顯然，絕對(duì)收斂必收斂。整理課件二、一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

討論各項(xiàng)均在區(qū)域D有定義的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、定義：如果對(duì)于D上每一點(diǎn)Z，上述級(jí)數(shù)均收斂，就稱(chēng)級(jí)數(shù)在D上收斂，其和在D上構(gòu)成一函數(shù)，稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和函數(shù)，記為2、性質(zhì)：如果級(jí)數(shù)在D上一致收斂于整理課件(1)假設(shè)在D上連續(xù)，那么也在D上連續(xù)，即由連續(xù)函數(shù)組成的一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和也連續(xù)。(2)如果在C上連續(xù)，那么沿C可逐項(xiàng)積分，且(3)如果在D上解析，那么在D上解析，并且整理課件即一致收斂于3、一致且絕對(duì)收斂判別法如果對(duì)于某區(qū)域D上所有各點(diǎn)z，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模，而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，那么復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上絕對(duì)

且一致收斂。級(jí)數(shù)稱(chēng)為的強(qiáng)級(jí)數(shù)，即其強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致且絕對(duì)收斂。整理課件§2冪級(jí)數(shù)

一、冪級(jí)數(shù)的收斂性

1、冪級(jí)數(shù)

各項(xiàng)均為冪函數(shù)的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)其中，都是復(fù)常數(shù)，這樣的級(jí)數(shù)叫做以z0為中心的冪級(jí)數(shù)。2、冪級(jí)數(shù)的收斂性，收斂半徑

先看由上級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模所組成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)整理課件應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法可知，如果

那么級(jí)數(shù)收斂，即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，可引入記號(hào)即，如果那么原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，整理課件如果，那么

即級(jí)數(shù)后面的項(xiàng)的模越來(lái)越大，不滿足級(jí)數(shù)收斂的心要條件，因而級(jí)數(shù)發(fā)散，即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)(1)發(fā)散。以為圓心作一半徑為R的圓周，原冪級(jí)數(shù)在圓的內(nèi)部〔即〕絕對(duì)收斂，在圓外發(fā)散，這個(gè)圓叫冪級(jí)數(shù)的收斂圓，它的半徑R叫做收斂半徑，在收斂圓周上各點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，應(yīng)具體分析。整理課件

用根值判別法可得到收斂半徑的另一公式例1.求級(jí)數(shù)的收斂半徑。解：故級(jí)數(shù)在任何z點(diǎn)收斂。整理課件例2.求級(jí)數(shù)的收斂半徑。解：故它們的收斂半徑都為1。在收斂圓周上，即整理課件，由于通項(xiàng)不趨于零，故處處發(fā)散。當(dāng)時(shí)，收