2024屆上海實驗學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆上海實驗學(xué)校高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)決定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中，用表示解開n（，）個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，若數(shù)列滿足，且當時，則解開5個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）A.10 B.16C.21 D.222．饕餮（tāotiè）紋，青銅器上常見的花紋之一，盛行于商代至西周早期，最早出現(xiàn)在距今五千年前長江下游地區(qū)的良渚文化玉器上．有人將饕餮紋的一部分畫到了方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為，有一點從點出發(fā)每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它經(jīng)過次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為（）A. B.C. D.3．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關(guān)于下列命題：①鉛垂的側(cè)面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發(fā)沿鉛垂側(cè)面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確4．（）A.-2 B.0C.2 D.35．若等比數(shù)列中，，，那么（）A.20 B.18C.16 D.146．函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或7．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A.24 B.18C.12 D.68．已知點是拋物線的焦點，點為拋物線上的任意一點，為平面上點，則的最小值為A.3 B.2C.4 D.9．過坐標原點作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若拋物線x2=8y上一點P到焦點的距離為9，則點P的縱坐標為（）A. B.C.6 D.711．如圖①所示，將一邊長為1的正方形沿對角線折起，形成三棱錐，其主視圖與俯視圖如圖②所示，則左視圖的面積為（）A. B.C. D.12．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_________.14．雙曲線的焦點在圓上，圓O與雙曲線C的漸近線在第一、四象限分別交于P，Q兩點滿足（其中O是坐標原點），則的面積是_________15．已知，且，則的最小值為____________16．已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解某城中村居民收入情況，小明利用周末時間對該地在崗居民月收入進行了抽樣調(diào)查，并將調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)直方圖估算：（1）在該地隨機調(diào)查一位在崗居民，該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率；（2）該地區(qū)在崗居民月收入的平均數(shù)和中位數(shù)；18．（12分）（1）已知等軸雙曲線的上頂點到一條漸近線的距離為，求此雙曲線的方程；（2）已知拋物線的焦點為，設(shè)過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，求線段的長19．（12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，的面積為1.（1）求拋物線的標準方程；（2）設(shè)點是拋物線上異于點的一點，直線與直線交于點，過作軸的垂線交拋物線于點，求證：直線過定點.20．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.21．（12分）如圖，在長方體中，，．點E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值22．（10分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別是上的點，滿足.（1）求證：四點共面；（2）設(shè)與交于點，求證：三點共線.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列遞推公式，代入計算即可.【詳解】根據(jù)題意，由，得.故選：D.2、B【解析】本題首先可根據(jù)題意列出次跳動的所有基本事件，然后找出沿著饕餮紋的路線到達點的事件，最后根據(jù)古典概型的概率計算公式即可得出結(jié)果.【詳解】點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，次跳動的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿著饕餮紋的路線到達點的事件有：（下，下，右），故到達點的概率，故選：B.3、C【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側(cè)面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側(cè)面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數(shù)為,作，，又,,cm,②正確.故選：C4、C【解析】根據(jù)定積分公式直接計算即可求得結(jié)果【詳解】由故選：C5、B【解析】利用等比數(shù)列的基本量進行計算即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以故選：B6、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數(shù)，再由，從而將不等式轉(zhuǎn)換為，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以為上的增函數(shù)又因為，所以原不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.7、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合計數(shù)原理中的分步計算，以及排列組合公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為.故選：C.8、A【解析】作垂直準線于點，根據(jù)拋物線的定義，得到，當三點共線時，的值最小，進而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準線于點，由題意可得，顯然，當三點共線時，的值最??；因為，，準線，所以當三點共線時，，所以.故選A【點睛】本題主要考查拋物線上任一點到兩定點距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.9、D【解析】求出直線直線過的定點A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點,由過坐標原點作直線的垂線，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點到原點距離的平方，而圓過原點，圓上點到原點的最遠距離為，但將原點坐標代入直線中，不成立，即直線l不過原點，所以不可能和原點重合，故，故選：D10、D【解析】設(shè)出P的縱坐標，利用拋物線的定義列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：拋物線準線方程為，P點到拋物線的焦點的距離等于到準線的距離，設(shè)點縱坐標為，則，解得：.故選：D11、A【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.【詳解】由主視圖可以看出，A點在面上的投影為的中點，由俯視圖可以看出C點在面上的投影為的中點，所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長為，于是左視圖的面積為故選：A.12、B【解析】取AD中點為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，據(jù)此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補角，當∠EGF＝60°時，∠FEG＝60°，當∠EGF＝120°時，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法進行求解即可.【詳解】，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，當時，的最小值為，所以，故答案為：14、【解析】根據(jù)雙曲線的焦點在圓上可求出的值，設(shè)線段與軸的交點坐標為，進而根據(jù)求出的坐標，代入圓中，求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的焦點在圓上，所以，設(shè)線段與軸的交點坐標為，結(jié)合雙曲線與圓的對稱性可知為線段的中點，又因為，即，且，則，又因為直線的方程為，所以，又因為在圓上，所以，又因為，則，所以，從而，故,故答案為：.15、16【解析】根據(jù)，且，利用“1”的代換將，轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求解.【詳解】因為，且，所以，當且僅當，，即時，取等號.所以的最小值為16.故答案為：16【點睛】本題主要考查基本不等式求最值，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線：的垂線，此時取得最小值，利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線：的垂線，此時取得最小值，由點到直線的距離公式可得，即的最小值為3.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及拋物線的最值問題，其中解答中根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，利用點到直線的距離公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運算與求解能力，屬于中檔試題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）平均數(shù)為；中位數(shù)為.【解析】（1）直接根據(jù)概率和為1計算得到答案.（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義直接計算得到答案.【小問1詳解】該居民收入在區(qū)間內(nèi)的概率為：【小問2詳解】居民月收入的平均數(shù)為：.第一組概率為，第二組概率為，第三組概率為，設(shè)居民月收入的中位數(shù)為，則，解得.18、（1）；（2）8.【解析】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，再由點到直線距離公式求解即可；（2）求得直線方程代入拋物線，結(jié)合焦點弦長求解即可.【詳解】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，且頂點到漸近線的距離為，可得，解得，故雙曲線方程（2）拋物線的焦點為直線的方程為，即與拋物線方程聯(lián)立，得，消，整理得，設(shè)其兩根為，，且由拋物線的定義可知，所以，線段的長是【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式19、（1）（2）證明見解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線方程；(2)方法一：聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合條件三點共線，可證明直線過定點，方法二：聯(lián)立直線與拋物線方程，聯(lián)立直線與直線求，由垂直與軸列方程化簡，可證明直線過定點.【小問1詳解】因為點在拋物線上，所以，即，，因為，故解得，拋物線的標準方程為【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，由，得，所以，由（1）可知當時，，此時直線的方程為，若時，因為三點共線，所以，即，又因為，，化簡可得，又，進而可得，整理得，因為所以，此時直線的方程為，直線恒過定點又直線也過點，綜上：直線過定點解法二：設(shè)方程，得若直線斜率存在時斜率方程為即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直線方程為直線過定點.若直線斜率不存在時，直線方程為所以P點坐標為，M點坐標為此時直線方程為過點綜上：直線過定點.【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；(2)強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標系，先求出面與面的法向量，再計算夾角余弦值即可.小問1詳解】取中點，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問2詳解】，為等邊三角形，取中點，連接，則，以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，如圖令，則，設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐