安徽省安徽師大附中2024屆高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

安徽省安徽師大附中2024屆高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球2．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則下列判斷正確的是（）A.甲與丙是互斥事件 B.乙與丙是對立事件C.甲與丁是對立事件 D.丙與丁是互斥事件3．下列關于斜二測畫法所得直觀圖的說法中正確的有（）①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③菱形的直觀圖是菱形；④正方形的直觀圖是正方形.A.① B.①②C.③④ D.①②③④4．數(shù)列，，，，…，的通項公式可能是（）A. B.C. D.5．已知直線l，m，平面α，β，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．傾斜角為45°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝07．函數(shù)在單調遞增的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.8．如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，則（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.10．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，設D在直線AB上，且，設C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，則λ的值為()A. B.－C. D.11．設為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點，它們在第一象限內交于點是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.12．一動圓與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，則動圓圓心軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若過點和的直線與直線平行，則_______14．無窮數(shù)列滿足：只要必有，則稱為“和諧遞進數(shù)列”，已知為“和諧遞進數(shù)列”，且前四項成等比數(shù)列，，，則__________，若數(shù)列前項和為，則__________.15．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導數(shù)在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.16．作邊長為6的正三角形的內切圓，半徑記為，在這個圓內作內接正三角形，然后再作新三角形的內切圓．如此下去，第n個正三角形的內切圓半徑記為，則______，現(xiàn)有1個半徑為的圓，2個半徑為的圓，……，個半徑為的圓，n個半徑為的圓，則所有這些圓的面積之和為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求適合條件的橢圓的標準方程.（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點；（2）在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且焦距為6.18．（12分）如圖，四棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值等于？19．（12分）已知橢圓的左，右焦點分別為，三個頂點（左、右頂點和上頂點）構成的三角形的面積為，離心率為方程的根.（1）求橢圓方程；（2）橢圓的一個內接平行四邊形的一組對邊分別過點和，如圖，若這個平行四邊形面積為，求平行四邊形的四個頂點的縱坐標的乘積.20．（12分）同時擲兩顆質地均勻的骰子（六個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體）（1）求兩顆骰子向上的點數(shù)相等的概率；（2）求兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的整數(shù)倍的概率21．（12分）已知直線l過點，與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值22．（10分）如圖，四邊形為矩形，，，為的中點，與交于點，平面.（1）若，求與所成角的余弦值；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】方程表示空間中的點到坐標原點的距離為2，從而可知圖形的形狀【詳解】由，得，表示空間中的點到坐標原點的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點為球心，2為半徑的球，故選：D2、D【解析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷【詳解】當?shù)谝淮稳〕?，第二次取出4時，甲丙同時發(fā)生，不互斥不對立；第二次取出的球的數(shù)字是6與兩次取出的球的數(shù)字之和是5不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，不對立，當?shù)谝淮稳〕?，第二次取出3時，甲與丁同時發(fā)生，不互斥不對立，兩次取出的球的數(shù)字之和是5與兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)不可以同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，因此是互斥不對立故選：D3、B【解析】根據(jù)斜二側直觀圖的畫法法則，直接判斷①②③④的正確性，即可推出結論【詳解】由斜二測畫法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據(jù)兩軸的夾角為45°或135°知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯誤；根據(jù)平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯誤.故選：B.4、D【解析】利用數(shù)列前幾項排除A、B、C，即可得解；【詳解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母為奇數(shù)列，分子為，故數(shù)列的通項公式可以為，故選：D5、A【解析】由題意可知，已知，，則可以推出，反之不成立.【詳解】已知，，則可以推出，已知，，則不可以推出.故是的充分不必要條件.故選：A.6、B【解析】由題意，，所以，即，故選B7、D【解析】求出導函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調遞減，選項中只有是的必要不充分條件.選項AC是的充分不必要條件，選項B是充要條件.故選：D8、D【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】解：∵N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，且，，，故選：D.9、B【解析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導函數(shù)得到函數(shù)單調性，即可求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因為，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域為，且，令，解得或，令解得，即在和上單調遞增，在上單調遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B10、B【解析】設D(x，y，z)，根據(jù)求出D(，，0)，再根據(jù)CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【詳解】設D(x，y，z)，則＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故選：B【點睛】(1)本題主要考查向量的線性運算和空間向量垂直的坐標表示，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2).11、A【解析】設橢圓的標準方程為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得到兩圖形離心率之間的關系，再根據(jù)橢圓的離心率范圍可得雙曲線的離心率取值范圍.【詳解】設橢圓的標準方程為，，則有已知，兩式相減得，即，，因為，解得故選：A.12、C【解析】設動圓圓心，與兩圓x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出幾何關系式，化簡，再根據(jù)圓錐曲線的定義，可得到動圓圓心軌跡.【詳解】設動圓圓心，半徑為，圓x2+y2＝1的圓心為，半徑為，圓x2+y2﹣8x+12＝0，得，則圓心，半徑為，根據(jù)圓與圓相切，則，，兩式相減得，根據(jù)定義可得動圓圓心軌跡為雙曲線的一支.故選：C【點睛】本題考查了兩圓的位置關系，圓錐曲線的定義，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)兩直線的位置關系求解.【詳解】因為過點和的直線與直線平行，所以，解得，故答案為：314、①.2②.7578【解析】根據(jù)前四項成等比數(shù)列及定義可求得，根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，，又，為“和諧遞進數(shù)列”，，，，，…，數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，故答案為：2，757815、【解析】構造函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－1，則原不等式可化為.利用導數(shù)判斷出g(x)在R上為減函數(shù)，直接利用單調性解不等式即可【詳解】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因為，所以g(x)在R上為減函數(shù).由解得：x>1.故答案為：.16、①；②..【解析】設第n個三角形的邊長為，進而根據(jù)題意求出，然后根據(jù)等面積法求出，再求出；設n個半徑為的圓的面積為并求出，進而運用錯位相減法求得答案.【詳解】如示意圖1，設第n個三角形的邊長為，易得，則是以6為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.如示意圖2，易得：，，所以，所以.設n個半徑為的圓的面積為，則，記所有圓的面積之和為，則，所以，兩式相減得：，即.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解析】（1）待定系數(shù)法去求橢圓的標準方程即可；（2）待定系數(shù)法去求橢圓的標準方程即可.【小問1詳解】當橢圓焦點在x軸上時，方程可設為，將點代入得，解之得，則所求橢圓方程為當橢圓焦點在y軸上時，方程可設為，將點代入得，解之得，則所求橢圓方程為【小問2詳解】橢圓方程可設為，則，解之得，則橢圓方程為18、（1）詳解解析；（2）存在.【解析】（1）利用勾股定理證得，結合線面垂直的判定定理即可證得結論；（2）以A為原點建立空間直角坐標系，設點，，求得平面的法向量，利用已知條件建立關于的方程，進而得解.【小問1詳解】取中點為，連接，在中，，，，又，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面.【小問2詳解】以A為坐標原點，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設點，因為點F在線段上，設，，，設平面的法向量為，，，則，令，則，設直線CF與平面所成角為，，解得或（舍去），，此時點F是的三等分點，所以在線段上是存在一點，使直線與平面所成角的正弦值等于.19、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓離心率的性質及一元二次方程的根可得，再由橢圓參數(shù)關系、已知三角形面積求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）設直線，聯(lián)立橢圓方程并結合韋達定理求，進而可得，再根據(jù)求參數(shù)t，可得，結合橢圓的對稱性求，即可求結果.【小問1詳解】由的根為，所以橢圓的離心率，依題意，，解得，即橢圓的方程為；【小問2詳解】設直線，聯(lián)立，消去得，由韋達定理得：，所以，所以，所以橢圓的內接平行四邊形面積.所以，解得或（舍去），所以，根據(jù)橢圓的對稱性知：，故平行四邊形的四個頂點的縱坐標的乘積為.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出同時擲兩顆骰子的基本事件數(shù)、及骰子向上的點數(shù)相等的基本事件數(shù)，應用古典概型的概率求法，求概率即可.（2）列舉出兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)的基本事件，應用古典概型的概率求法，求概率即可.【小問1詳解】同時擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子向上的點數(shù)相等包括的基本事件為6種，故所求的概率為；【小問2詳解】兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)時，用坐標記為，，，，，，，，，，，，，，，，共包括16個基本事件，故兩顆骰子向上的點數(shù)不相等，且一個點數(shù)是另一個點數(shù)的倍數(shù)有的概率為.21、（1）或（2）4【解析】（1）設直線方程為，根據(jù)所過的點及面積可得關于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問1詳解】法一：（1）設直線，則解得或，所以直線或法二：設直線，，則，則，∴或﹣8所以直線或【小問2詳解】法一：∵，∴，∴，此時，∴面積的最小值為4，此時直線法二：∵，∴，此