2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第九章平面解析幾何指點(diǎn)迷津九 課件（35張）

指點(diǎn)迷津(九)第九章求曲線軌跡方程的方法曲線C與方程F(x,y)=0滿足兩個(gè)條件:(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.求曲線方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接將幾何條件或等量關(guān)系表示為代數(shù)方程;(2)定義法:利用曲線的定義,判斷曲線類型,再由曲線的定義直接寫出曲線方程;(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法):題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),一個(gè)為所求,設(shè)為(x,y),另一個(gè)在已知曲線上運(yùn)動(dòng),設(shè)為(x0,y0),利用已知條件找出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,用所求表示已知,即(5)交軌法:引入?yún)?shù)表示兩動(dòng)曲線的方程,將參數(shù)消去,得到兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.一、直接法求軌跡方程例1.已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在圓C外,過點(diǎn)P作圓C的切線,切點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)P(1,3),求此時(shí)的切線l的方程;(2)當(dāng)|PM|=|PO|時(shí),求點(diǎn)P的軌跡方程.解

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=4.當(dāng)切線斜率不存在時(shí),直線為x=1,滿足條件;當(dāng)切線斜率存在時(shí),切線方程可以設(shè)為l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0.切線方程為3x+4y-15=0或x=1.(2)設(shè)P(x,y).∵|PM|=|PO|,且2|PO|2=2x2+2y2,∴|PM|2=|PC|2-|CM|2=(x+1)2+(y-2)2-4=2x2+2y2,∴x2+y2-2x+4y-1=0,∴點(diǎn)P的軌跡方程為(x-1)2+(y+2)2=6.名師點(diǎn)析直接法求軌跡方程的兩種策略

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足直線AM,BM的斜率之積為-,求點(diǎn)M的軌跡方程.二、定義法求軌跡方程

例2.在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)圓M與圓x2+y2-2x+=0外切,同時(shí)與圓x2+y2+2x-=0內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.方法總結(jié)利用定義法求軌跡方程時(shí),還要看軌跡是否是完整的圓(或橢圓、雙曲線、拋物線),如果不是完整的曲線,則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2如圖所示,已知圓A:(x+2)2+y2=1與點(diǎn)B(2,0),分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.(1)圓P與圓A外切,且過點(diǎn)B(P為動(dòng)圓圓心);(2)圓P與圓A外切,且與直線x=1相切(P為動(dòng)圓圓心).解

(1)設(shè)圓P的半徑為r,則|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由雙曲線的定義知,點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支,且2a=1,2c=4,即(2)由題可知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離等于到定直線x=2的距離,故所求軌跡為拋物線,且開口向左,p=4.因此所求軌跡方程為y2=-8x.三、代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程例3.(2022四川內(nèi)江高二期末)在△ABC中,A(-2,0),B(2,0),AC與BC斜率的積(1)求點(diǎn)C的軌跡方程;(2)若P(4,0),求PC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)锳C,BC存在斜率,所以x≠±2,且y≠0.方法總結(jié)利用代入法求軌跡方程的一般步驟

(1)求點(diǎn)N的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)N的軌跡為圓時(shí),求λ的值.四、參數(shù)法求軌跡方程

例4.如圖,橢圓C:

=1的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,動(dòng)直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),且滿足∠MON=90°,過原點(diǎn)O作OH⊥MN,垂足為H.求點(diǎn)H的軌跡方程.解

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).當(dāng)直線MN斜率不為零時(shí),設(shè)直線MN的方程為x=my+t.因?yàn)椤螹ON=90°,所以MO⊥ON,所以x1x2+y1y2=(my1+t)(my2+t)+y1y2=(m2+1)y1y2+mt(y2+y1)+t2=0,方法總結(jié)應(yīng)用消參法求軌跡方程的流程選參→求參→消參→注意消參后曲線的范圍是否發(fā)生變化對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2022江西上饒高二期末)已知拋物線x2=2py(p>0)上的任意一點(diǎn)到P(0,1)的距離比到x軸的距離大1.(1)求拋物線的方程;(2)若過點(diǎn)(0,2)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,兩條切線交于點(diǎn)Q,求△QAB重心G的軌跡方程.解

(1)由拋物線的定義可得p=2,所以拋物線的方程為x2=4y.(2)由題意可得直線AB的斜率存在,設(shè)斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AB的方程為y=kx+2.代入拋物線方程,得x2-4kx-8=0,Δ=(-4k)2-4×(-8)>0,x1+x2=4k,x1x2=-8.五、交軌法求軌跡方程例5.如圖,已知橢圓C:

=1的短軸端點(diǎn)分別為B1,B2,點(diǎn)M是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且不與點(diǎn)B1,點(diǎn)B2重合,點(diǎn)N滿足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2,求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程.解

(方法1)設(shè)N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由題意知B1(0,-3),B2(0,3),