福建省福州市三校聯(lián)盟2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

福建省福州市三校聯(lián)盟2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線(xiàn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，則等于（）A.1 B.C.1或 D.22．若橢圓的短軸為,一個(gè)焦點(diǎn)為,且為等邊三角形的橢圓的離心率是A. B.C. D.3．已知點(diǎn)，，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)且經(jīng)過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.4．已知一個(gè)圓錐體積為，任取該圓錐的兩條母線(xiàn)a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.5．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，若，則當(dāng)最大時(shí)，（）A. B.1C. D.26．已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)，使得，設(shè)的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.7．已知橢圓的離心率為，雙曲線(xiàn)的離心率為，則（）A. B.C. D.8．函數(shù)的極大值點(diǎn)為（）A. B.C. D.不存在9．正方體中，E、F分別是與的中點(diǎn)，則直線(xiàn)ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.611．黃金矩形是寬（）與長(zhǎng)（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是A. B.C. D.12．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，記甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________14．曲線(xiàn)在點(diǎn)M(π，0)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______15．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線(xiàn)的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年—325年），大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線(xiàn)，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，比如：從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)或聲波在經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸：反之，平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn)，經(jīng)拋物線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).已知拋物線(xiàn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn)，經(jīng)C上點(diǎn)P反射后交C于點(diǎn)Q，則PQ的長(zhǎng)度為_(kāi)_____.16．若點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，設(shè)前項(xiàng)和為，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）（1）已知：方程表示雙曲線(xiàn)；：關(guān)于的不等式有解.若為真，求的取值范圍；（2）已知，，.若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（12分）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，求的取值范圍20．（12分）設(shè)，為雙曲線(xiàn)：（，）的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線(xiàn)的離心率；（2）若雙曲線(xiàn)左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，①求雙曲線(xiàn)方程；②已知直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC.（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求的值.22．（10分）已知p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程形式確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)半焦距關(guān)系列式求參數(shù).【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓焦點(diǎn)在軸上，依題意得解得.故選：A2、B【解析】因?yàn)闉榈冗吶切?所以.考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì).點(diǎn)評(píng)：橢圓圖形當(dāng)中有一個(gè)特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據(jù)此求出離心率.3、C【解析】求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)所過(guò)的兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線(xiàn)方程即可.【詳解】由已知，AB中點(diǎn)為，又，∴所求直線(xiàn)斜率為，故直線(xiàn)方程為，即故選：C.4、B【解析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計(jì)算可得，利用扇形的面積公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為R，底面半徑長(zhǎng)為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B5、B【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，結(jié)合換元法、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為該拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，所以，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，因此，令，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，此時(shí).故選：B6、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結(jié)合，聯(lián)立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.7、D【解析】根據(jù)給定的方程求出離心率，的表達(dá)式，再計(jì)算判斷作答.【詳解】因橢圓的離心率為，則有，因雙曲線(xiàn)的離心率為，則有，所以.故選：D8、B【解析】求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，然后判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得，或者根據(jù)對(duì)勾函數(shù)圖象可解.【詳解】令，得，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極大值；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)有極小值.故選：B9、A【解析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出E,F,D,D1點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，,，,,直線(xiàn)與所成角的余弦值為：.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成角的求法，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3【詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時(shí)，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B11、C【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個(gè)正方形和一個(gè)黃金矩形,所以，設(shè)矩形的面積為,正方形的面積為,設(shè)在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運(yùn)算能力.12、A【解析】根據(jù)折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合均值、方差的實(shí)際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖知：甲總成績(jī)比乙總成績(jī)要高，則＞，又甲成績(jī)的分布比乙均勻，故＜.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.14、【解析】由題意可得，據(jù)此可得切線(xiàn)的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線(xiàn)方程.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，所求切線(xiàn)的斜率為：，由于切點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線(xiàn)方程為：.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線(xiàn)的理解應(yīng)注意的問(wèn)題一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆二是直線(xiàn)與曲線(xiàn)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線(xiàn)的本質(zhì)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)不一定是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，同樣，直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則直線(xiàn)與曲線(xiàn)可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式．由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.15、####【解析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)以及拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得所在直線(xiàn)方程，聯(lián)立其與拋物線(xiàn)方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得.【詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)一束平行于C對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，故對(duì)，令，則可得，也即的坐標(biāo)為，又拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故可得直線(xiàn)方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程可得：，，解得或，將代入，可得，即的坐標(biāo)為，則.故答案為：.16、7【解析】根據(jù)給定條件求出圓C的圓心C到直線(xiàn)l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線(xiàn)的距離，所以圓C上點(diǎn)P到直線(xiàn)l距離的最大值為.故答案為：7三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解公差，再計(jì)算通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，由已知得，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】所以.18、（1）1m2；（2）(0，1]【解析】（1）由pq為真，可得p真且q假，然后分別求出p真，q假時(shí)的的取值范圍，再求交集即可，（2）求得p：1x2，再由p是q的必要不充分條件，得，解不等式組可求得答案【詳解】（1）因?yàn)閜q為真，所以p真且q假，p真：m1m301m3，q假，則不等式無(wú)解，則402m2，所以1m2.（2）依題意，p：1x2，因p是q的必要不充分條件，于是得（不同時(shí)取等號(hào)），解得0m1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，1].19、（1）（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程即可得到答案；（2）先求出的通項(xiàng)，再利用的單調(diào)性即可得到的最小值，從而求得的取值范圍【小問(wèn)1詳解】依題意，，，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以【小問(wèn)2詳解】，則數(shù)列是遞增數(shù)列，，所以，若，則.20、（1）；（2）①；②定點(diǎn)有兩個(gè)，【解析】（1）由雙曲線(xiàn)方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設(shè)有，結(jié)合（1）求雙曲線(xiàn)參數(shù)，寫(xiě)出雙曲線(xiàn)方程即可；②由題設(shè)可設(shè)為，，，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程結(jié)合韋達(dá)定理求，，，，再由、的方程求，坐標(biāo)，若在為直徑的圓上點(diǎn)，由結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線(xiàn)方程為.②由①知：，且直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)為，，，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)得：，∴，，則，∴，∴直線(xiàn)為；直線(xiàn)為；∴，，若在為直徑的圓上點(diǎn)，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的②，設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，，，進(jìn)而根據(jù)、的方程求，坐標(biāo)，再由圓的性質(zhì)及向量垂直的坐標(biāo)表示求定點(diǎn)坐標(biāo).21、（1）（2）【解析】（1）利用正弦