重慶市榮昌區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

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數(shù)學(xué)試題答案版

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.

1．設(shè)則＝()

A.1B.3C.D.

答案C

2．已知空間向量，，且，則實(shí)數(shù)（）

A．B．-3C．D．6

【解析】因?yàn)?，所以，即：?/p>

所以，解得．故選A．

3.設(shè)是一條直線，，是兩個平面，下列結(jié)論正確的是（）

A．若，，則B．若，，則

C．若，，則D．若，，則

答案：C

4．已知M，N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上，且，設(shè)向量，，則（）

A．B．

C．D．

【解析】如圖所示，連接ON，∵，，

所以，，，

∴

．故選C．

5.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則的值為（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】由題意可得，再利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得結(jié)果．

【解析】

，故選C.

6.在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

【答案】B

以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

令，則，，，，

則，，

設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.

故選：B.

7.如圖，在直三棱柱中，已知，為側(cè)棱上任意一點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，與所成角為，與平面所成的角為，則與的大小關(guān)系為（）

A．B．

C．D．不能確定

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，利用空間向量法分別求得，然后根據(jù)，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求解．

【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)，則，

所以，

所以，

又，，

所以，所以，

因?yàn)樵谏线f減，所以，故選C

8．已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算律可將所求數(shù)量積化為，根據(jù)正方體的特點(diǎn)可確定的最大值和最小值，代入即可得到所求范圍．

【解析】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則，

，

為球的直徑，，，，

又在正方體表面上移動，當(dāng)為正方體頂點(diǎn)時，最大，最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點(diǎn)時，最小，最小值為，，即的取值范圍為．故選．

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.在空間直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的是（）

A．點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

B．到的距離小于1的點(diǎn)的集合是

C．點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)是

D．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

【答案】BCD

【解析】對于選項(xiàng)A：點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以A不正確；

對于選項(xiàng)B：點(diǎn)到的距離小于1為，所以B正確；

對于選項(xiàng)C：點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)是，所以C正確；對于選項(xiàng)D：由點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以D正確．

故選BCD．

10．下面四個結(jié)論正確的是（）

A．向量，若，則．

B．若空間四個點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線．

C．已知向量，，若，則為鈍角．

D．任意向量，，滿足．

11.已知正方體，則（）

A.直線與所成的角為B.直線與所成的角為

C.直線與平面所成的角為D.直線與平面ABCD所成的角為

【答案】ABD

【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，

因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；

連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，

因?yàn)?，，所以平面?/p>

又平面，所以，故B正確；

連接，設(shè)，連接，

因?yàn)槠矫妫矫?，則，

因?yàn)?，，所以平面?/p>

所以為直線與平面所成的角，

設(shè)正方體棱長為，則，，，

所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；

因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.

故選：ABD

12．若長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，是的中點(diǎn)，則（）

A．B．平面平面

C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為

【答案】CD

【分析】以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算值即可判斷A；分別求出平面，平面的法向量，判斷它們的法向量是否共線，即可判斷B；利用等體積法，求出三棱錐的體積即可判斷C；三棱錐的外接球即為長方體的外接球，故求出長方體的外接球的表面積即可判斷D．

【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，，，，

所以，，

因?yàn)?，所以與不垂直，故A錯誤；

，，設(shè)平面的一個法向量為，則

由，得，所以，

不妨取，則，，所以，

同理可得設(shè)平面的一個法向量為，

故不存在實(shí)數(shù)使得，故平面與平面不平行，故B錯誤；

在長方體中，平面，故是三棱錐的高，

所以，故C正確；

三棱錐的外接球即為長方體的外接球，

故外接球的半徑，

所以三棱錐的外接球的表面積，故D正確．故選CD．

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.第15題第一小問2分，第二小問3分.

13．已知直線與平面平行，直線的一個方向向量為，向量與平面垂直，則.

答案：

14.半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積.__________.

設(shè)所給半球的半徑為，則四棱錐的高，

則，由四棱錐的體積，

半球的體積為：

15.空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是________.

解析：過A作AO⊥BD于O點(diǎn)，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.

∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.

答案：45°

16．在正方體中，M是棱的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)包括邊界的一個動點(diǎn)，若平面，則異面直線MP與所成角的取值范圍是__________.

【答案】

【解析】

【分析】

本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題．

取AD中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，連接ME，MF，EF，取EF中點(diǎn)O，連接MO，推導(dǎo)出平面平面EFM，從而P的軌跡是線段EF，當(dāng)P與O重合時，異面直線MP與所成角取最大值，當(dāng)P與E或F重合時，異面直線MP與所成角取最小值

【解答】

解：取AD中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，連接ME，MF，EF，取EF中點(diǎn)O，連接MO，

在正方體中，M是棱的中點(diǎn)，

，，

平面，，平面，

平面，同理可得平面，

，ME，MF是平面EFM內(nèi)兩相交直線，

平面平面EFM，

是底面ABCD內(nèi)包括邊界的一個動點(diǎn)，平面，

的軌跡是線段EF，

，O是EF中點(diǎn)，，，，

當(dāng)P與O重合時，異面直線MP與所成角取最大值，

，P是EF上動點(diǎn)，，

當(dāng)P與E或F重合時，異面直線MP與所成角取最小值

異面直線MP與所成角的取值范圍是

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17已知復(fù)數(shù)，.

（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的虛部.

17.【答案】（1）（2）

【解析】（1），

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則

.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（2）.

為純虛數(shù)，則且，

所以，

此時，所以的虛部為.

18．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.

(1)求角B；

(2)若b=4，求周長的最大值.

【答案】(1)；

(2)12.

【解析】

【分析】

（1）利用差角的余弦公式，結(jié)合正弦定理，化簡計(jì)算作答.

（2）利用余弦定理，結(jié)合均值不等式求出a+c的最大值

(1)

因?yàn)?，則，

在中，由正弦定理得，，而，即，

整理得，即，又，解得，

所以.

(2)

在中，由余弦定理得：，即，

而，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時取“=”，

因此，當(dāng)a=c=4時，a+c取最大值8，從而a+b+c取最大值12，

所以周長的最大值為12.

19.如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，平面為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求四棱錐的體積．

（1）證明見解析；（2）.

【詳解】(1)∵，，

∴

，

∴，∴，

又∵平面，∴，

又∵，∴平面，

又平面，

∴平面平面；

(2)∵為的中點(diǎn)，，

∴，

又∵平面,

所以四棱錐的體積

.

20．已知四棱柱的底面為菱形，，，，平面，

證明：平面；

求鈍二面角的余弦值．

【答案】

證明：連接交于點(diǎn)Q，連接OQ，

四棱柱的側(cè)面為平行四邊形，

為中點(diǎn)，為AC中點(diǎn)，

在中，OQ為中位線，，

平面，平面，

平面；

平面，

，

且O為BD的中點(diǎn)，

，

、平面ABCD，且，

平面ABCD，

如圖，以O(shè)A，OB，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

易得：，，，，

，，

設(shè)平面的一個法向量為

則，

，

令，得，

同理可得平面的一個法向量為，

，

結(jié)合圖形知，二面角為鈍角，

鈍二面角的余弦值為

21.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，M為PB上靠近B的三等分點(diǎn).（1）求證：平面ACM；

（2）求直線PD與平面ACM的距離.

【答案】（1）證明見解析（2）

【分析】（1）以線面平行的判定定理去證明即可解決；

（1）證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)N，連接MN.

因?yàn)?，，所以?/p>

又M為PB靠近B的三等分點(diǎn)，所以，所以，

所以，又平面AMC，平面AMC，所以平面AMC.

（2）平面，直線與平面的距離為點(diǎn)到平面的距離，

如圖，取的中點(diǎn)為連接平面

為等邊三角形，

是的中點(diǎn)，兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

的靠近的三等分點(diǎn)，

設(shè)平面的法向量

取得

設(shè)直線與平面的距離為，則

22.如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角為？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

（1）證明：以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

設(shè)平面的法向量為，則分

令，則，

，

故平面．

（2）解：假設(shè)線段上存在一點(diǎn),設(shè)，，則，

,設(shè)平面的法向量為

由得到……………9分

與平面所成角為

，解得，故在線段上存在一點(diǎn)，使得與平面所成角為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為.．重慶市榮昌區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考

數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.

1．設(shè)則＝()

A.1B.3C.D.

2．已知空間向量，，且，則實(shí)數(shù)（）

A．B．-3C．D．6

3.設(shè)是一條直線，，是兩個平面，下列結(jié)論正確的是（）

A．若，，則B．若，，則

C．若，，則D．若，，則

4．已知M，N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上，且，設(shè)向量，，則（）

A．B．

C．D．

5.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則的值為（）

A．B．

C．D．

6.在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

7.如圖，在直三棱柱中，已知，為側(cè)棱上任意一點(diǎn)，為棱上任意一點(diǎn)，與所成角為，與平面所成的角為，則與的大小關(guān)系為（）

A．B．

C．D．不能確定

8．已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（）

A．B．

C．D．

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.在空間直角坐標(biāo)系中，下列結(jié)論正確的是（）

A．點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

B．到的距離小于1的點(diǎn)的集合是

C．點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)是

D．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

10．下面四個結(jié)論正確的是（）

A．向量，若，則．

B．若空間四個點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線．

C．已知向量，，若，則為鈍角．

D．任意向量，，滿足．

11.已知正方體，則（）

A.直線與所成的角為B.直線與所成的角為

C.直線與平面所成的角為D.直線與平面ABCD所成的角為

12．若長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，是的中點(diǎn)，則（）

A．B．平面平面

C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.第15題第一小問2分，第二小問3分.

13．已知直線與平面平行，直線的一個方