安徽省黃山市徽州區(qū)第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

安徽省黃山市徽州區(qū)第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.2．若直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，則直線與所成的角為（）A30° B.45°C.60° D.90°3．正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.4．已知：，直線l：，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作的切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B，則四邊形MACB面積的最小值為（）A.1 B.2C. D.45．一個(gè)公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，另兩名員工數(shù)據(jù)不清楚，那么8位員工月工資的中位數(shù)不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64006．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.8．已知向量，，且與互相垂直，則（）A. B.C. D.9．已知命題“若，則”，命題“若，則”，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.10．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A. B.C. D.11．已知命題“”為真命題，“”為真命題，則（）A.為假命題，為真命題 B.為真命題，為真命題C.為真命題，為假命題 D.為假命題，為假命題12．已知為偶函數(shù)，且，則___________.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是______①過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8②橢圓C上存在點(diǎn)P，使得③橢圓C的離心率為④P為橢圓上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則線段PQ的最大長(zhǎng)度為314．函數(shù)在處切線的斜率為_(kāi)____15．已知雙曲線，左右焦點(diǎn)分別為，若過(guò)右焦點(diǎn)的直線與以線段為直徑的圓相切，且與雙曲線在第二象限交于點(diǎn)，且軸，則雙曲線的離心率是_________.16．不透明袋中裝有完全相同，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，…，8的八張卡片．從中隨機(jī)取出3張．設(shè)X為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)（例如：若取出卡片的標(biāo)號(hào)為3，4，5，則有兩組相鄰的標(biāo)號(hào)3、4和4、5，此時(shí)X的值是2）．則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）有時(shí)候一些東西吃起來(lái)口味越好，對(duì)我們的身體越有害.下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：，（1）已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)具有相關(guān)關(guān)系.試求出回歸方程（最后結(jié)果精確到）；（2）某人只能接受食品所含熱量百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機(jī)選取兩種購(gòu)買(mǎi)，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上的概率.18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.19．（12分）已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值21．（12分）為了保證我國(guó)東海油氣田海域海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門(mén)在某平臺(tái)O的北偏西45°方向km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)A，在平臺(tái)O的正東方向12km處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)B，規(guī)定經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的圓以及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系（1）試寫(xiě)出A，B的坐標(biāo)，并求兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離；（2）某日經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，在該平臺(tái)O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時(shí)km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)？如果不進(jìn)入，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果進(jìn)入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會(huì)行駛多長(zhǎng)時(shí)間？22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若對(duì)，恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意和一元二次不等式能成立可得對(duì)于，成立，令，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求出.【詳解】存在，不等式成立，則，能成立，即對(duì)于，成立，令，，則，令，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，又，所以f(x)>-3，所以.故選：C2、C【解析】直接由公式，計(jì)算兩直線的方向向量的夾角，進(jìn)而得出直線與所成角的大小【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以直線與所成角的大小為故選：C3、C【解析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的絕對(duì)值，利用夾角公式求出即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.有圖知，由題得、、、.，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，令，得，，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查線面角的求解，利用向量法可簡(jiǎn)化分析過(guò)程，直接用計(jì)算的方式解決問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.4、B【解析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，根據(jù)與直線l：垂直求解.【詳解】：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：,由切線長(zhǎng)得：,四邊形MACB的面積為，若四邊形MACB的面積最小，則最小，此時(shí)與直線l：垂直，所以，所以四邊形MACB面積的最小值，故選：B5、D【解析】解：∵一個(gè)公司有8名員工，其中6名員工的月工資分別為5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴當(dāng)另外兩名員工的工資都小于5300時(shí),中位數(shù)為(5300+5500)÷2=5400，當(dāng)另外兩名員工的工資都大于5300時(shí),中位數(shù)為(6100+6500)÷2=6300，∴8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為[5400,6300]，∴8位員工月工資的中位數(shù)不可能是6400.本題選擇D選項(xiàng).6、C【解析】根據(jù)兩直線垂直可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由兩直線垂直得：，解得：.故選：C.7、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，因?yàn)椋?，解得：，故選：A.8、D【解析】根據(jù)垂直關(guān)系可得，由向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，又與互相垂直，，解得：.故選：D.9、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假，利用特殊值法可判斷命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題的真假可判斷出各選項(xiàng)中命題的真假.【詳解】對(duì)于命題，由于函數(shù)為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，命題為真命題；對(duì)于命題，若，取，，則，命題為假命題.所以，、、均為假命題，為真命題.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】首先由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程來(lái)確定點(diǎn)在圓上，然后求出過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程，最后由兩直線的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系求解.【詳解】由題知，圓的圓心，半徑.因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓上，所以過(guò)點(diǎn)的圓的切線與直線垂直，設(shè)切線的斜率，則有，即，解得.因?yàn)橹本€與切線垂直，所以，解得.故選：B.11、A【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真假表即可得出結(jié)果.【詳解】若“”為真命題，則為假命題，又“”為真命題，則至少有一個(gè)真命題，所以為真命題，即為假命題，為真命題.故選：A12、8【解析】由已知條件中的偶函數(shù)即可計(jì)算出結(jié)果，【詳解】為偶函數(shù)，且，.故答案為：8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②④【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合的周長(zhǎng)計(jì)算可判斷①；根據(jù)，可通過(guò)以為直徑作圓，是否與橢圓相交判斷②；求出橢圓的離心率可判斷③；計(jì)算橢圓上的點(diǎn)到圓心的距離的最大值，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由題意知：的周長(zhǎng)等于，故①正確；對(duì)于②，，故以為直徑作圓，與橢圓相交，交點(diǎn)即設(shè)為P，故橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，故②正確；對(duì)于③，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，坐標(biāo)為，則，故，因?yàn)?，所以的最大值?，故線段PQ的最大長(zhǎng)度為2+1=3，故④正確，故答案為：①②④.14、1【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算得，即可得到切線的斜率【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為1，故答案為：115、【解析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，可得再根據(jù)雙曲線的定義，即可得到，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】如圖所示：設(shè)切點(diǎn)為，所以，又軸所以，所以，由，，所以又，所以故答案為：.16、##【解析】設(shè)為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，利用列舉法分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【詳解】解：不透明袋中裝有完全相同，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，，8的八張卡片從中隨機(jī)取出3張，共有種，設(shè)為這3張卡片的標(biāo)號(hào)相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，的情況有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6個(gè)，，的情況有：取，另外一個(gè)數(shù)有5種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有4種取法；取，另外一個(gè)數(shù)有5種取法的情況一共有：，，，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，從而求出回歸直線方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有種，評(píng)價(jià)為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，，用列舉法列出所有的可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)所求的回歸方程為，由，，，，所求的回歸方程為：.【小問(wèn)2詳解】解：由表可知某人只能接受的食品共有種，其中美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，.任選兩種分別為：，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)基本事件.記“所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對(duì)此食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上”為事件，則事件包含，，，，，，，，共個(gè)基本事件，故事件發(fā)生的概率為.18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間（?∞，?1）和（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間（?1，4）（2）【解析】（1）求出，令，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）求出函數(shù)在區(qū)間中的單調(diào)性，求出極大值和極小值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小即可得到答案【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)得，令，解得x＜?1或x＞4，；令，解得?1＜x＜4，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（?∞，?1）和（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（?1，4）；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)x∈[?3，?1）時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（?1，4）時(shí)，，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（4，6]時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝?1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（?1）＝，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（4）＝，又，所以當(dāng)x∈[?3，6]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?9、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫(xiě)韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過(guò)定點(diǎn)，從而可得到過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，從而可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，即因?yàn)椋?，所以因?yàn)?，所以，所?同理可證.因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因?yàn)?，所以，因?yàn)椋獾没?當(dāng)時(shí)，直線的方程為過(guò)點(diǎn)A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)椋灾本€的方程為，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故直線過(guò)定點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以過(guò)定點(diǎn).因?yàn)榇怪逼椒止蚕遥渣c(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用空間向量求出空間直線的向量積，即可證明兩直線垂直.（2）利用空間向量求直線與平面所成空間角的正弦就是就出平面的法向量與直線的方向向量之間夾角的余弦即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)?，，所以，即；【小?wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為因?yàn)?，由，得，令，則所以平面的一個(gè)法向量為，又所以故直線與平面所成角的正弦