群的角度研究灰元與灰矩陣

群的角度研究灰元與灰矩陣

一、白化區(qū)間的劃分在文獻中，灰色參數(shù)（灰元）被用作一個整體和定量數(shù)學性質(zhì)的定量研究，這反映了灰色系統(tǒng)研究的完整性?？紤]到灰色系統(tǒng)理論在“預測”、“計劃”、“決策”等方面的應用，有必要研究系統(tǒng)的邊界，以及交易的發(fā)展，并獲得一些定制方案。因此，有必要根據(jù)灰源的白色區(qū)域研究灰色代數(shù)方程、灰色微分方程方程和灰色矩陣方程的所有白色響應。定義1稱灰元·的所有白化值所構(gòu)成的區(qū)間為灰元的白化區(qū)間.預測值亦稱灰元.定義2設(shè)A是灰元的白化區(qū)間,區(qū)間中各白化值滿足關(guān)系π,則記,(a)},簡記為A{π(a)},并且稱,為A對于的黑化區(qū)間.稱={a:a∈(c,d),(c,d)A}為白化開區(qū)間(c,d)的灰元,簡稱開區(qū)間灰元.稱={a:a∈[c,d),[c,d)A}為有白化下界c的灰元,簡稱有下界灰元.稱={a:a∈(c,d],(c,d]A}為有白化上界d的灰元,簡稱有上界灰元.稱={a:a∈[c,d],[c,d]A}為有白化上下界d,c的灰元,簡稱有上下界灰元.稱為白化值離散的灰元.定義3令灰元的白化區(qū)間為I,的白化區(qū)間為J,若存在白區(qū)間K,有運算“。”aob=c(),則稱與可“運算”.例1下述關(guān)系為灰元的運算(1),命題1若灰元與的白化值一一對應,則與等濃度.定義4若灰元與正整數(shù)集等濃度,則稱為可數(shù)灰元.定義5若灰元與它的一個白化值真子集等濃度,則稱為不可數(shù)或無窮灰元.定義6兩個灰元與等價是指下述關(guān)系～滿足1°自反律,～;2°對稱律,若～,則～;3°傳遞律,若～,～,則～.附注1兩白化值恒等的灰元,必為等價灰元.定義7由灰元及白化集為元素組成的集稱灰系.定義8灰系有序的定義.若,…為一串灰元,其白化區(qū)間分別為I,J,K,…記infI為I區(qū)間最小白化值,supI為I區(qū)間最大白化值,顯然有supI≥infI.將supI(1=1,2,3,…)進行排列,且1°supa若在supb的前面,稱supa小于supb,并記為supa<supb;若supc在supb的后面,稱supc大于supb,并記為supc>supb;2°任意兩元supa,supb在下述三種關(guān)系中必有一種,即supa=supb,supa>supb,supa<supb;3°若supa<supb,supb<supc,則supa<supc,便稱S={supI|I=1,2,3,…}為灰色有序上界集.相應地,可定義灰色有序下界集.定義9若灰系中無白集,且所有元等價,則稱為各元一致系,或單元系.命題2若n個灰元白化區(qū)間相同,滿足關(guān)系R,則當且僅當各灰元白化規(guī)律相同,白化值恒等時,才能稱n個灰元的全體為各元一致系.二、確定灰系的數(shù)量定理1灰色有窮系若G中含0元,且有,則該系對加法成群,且是Abe1群.若G中含白元1,且有(a=known),則該系對乘法成群,且為Abel群.證:按文獻中定義1～3可證.定義10稱灰系的群為灰群.推論1若灰元的白化區(qū)間為有理數(shù)集,則的白化值對于加法為Abe1群,對乘法為半群.推論2若灰元白化值為1,-1,則白化數(shù)對乘成群,對加不成群.推論3由一個元形成的群為單位元群,所有灰色數(shù)均為非單位元群.附注2-般說來,預測的糧食時間序列對加、乘均只為半群,因其倒數(shù)及負數(shù)均無定義.實際的糧食時間序列不成群.例2灰系若定義運算“?！睘榈诙€元代入第一個元,則G成群,單位元為,逆元分別為,,,,三、基于灰色東南角的同理定義11含n個灰元的集G,若其乘法表中,不可定義的運算有α個(1≤α≤n-1),則稱G為滿足灰色乘法表的集.命題3符合灰色乘表的集G,必不封閉.定義12除封閉性外,結(jié)合律、單位元和逆元均存在的灰色乘表,稱灰準群.定理2令A為n×n階非奇異白色矩陣,u和v為n維灰向量,則為灰準群,單位元為單位矩陣,逆元為逆矩陣,灰乘表為其中,,是n×n階方陣,且有證:單位矩陣I為單位元,逆元為逆矩陣都是顯見的;且G中任意兩元的積可交換,因此G為灰準群.又考慮到vTA-1u為標量,故同理可證.定義13對于灰向量X及n×n實對稱矩陣A(可以是灰的),稱為灰色Rayleigh商.定理3考慮灰系對于運算R(X)=R(X),有下述乘表且1°單位元即灰元;2°符合封閉性,但bob無定義;證:結(jié)論是顯見的.引理1有分塊灰陣式中,B為r×r分塊矩陣;C為s×s分塊矩陣;為r×s分塊灰陣.若B,C均為非奇白陣,則灰陣A1°必有逆陣;2°逆陣A-1對角線分塊陣為白陣B-1,C-1;3°當時,A-1為灰陣;當時,A-1為白陣.從上述各式得引理2對角線元素全白的上(下)三角灰陣,其逆陣亦為對角線全白的上(下)三角灰陣,即證:考慮n+1階的上三角灰陣.當n=1時有若a11,a22非零,則按引理1有顯然引理成立.若n=k-1時,引理成立,便有n=k如下引理成立.同理可證對下三角灰陣亦成立.引理3對角線全白的上(下)三角灰陣的積仍為對角線全白的上(下)三角灰陣.證:對于n+1階的兩個灰陣,當n=1時有引理成立.若n=k-1時引理成立,則n=k時兩個k+1階灰陣的積既然A(k)B(k)對于引理成立,則A(k+1)B(k+1)對于引理亦成立.定理4對角線全白的上(下)三角灰陣的全體,構(gòu)成乘法的(灰色)線性群.證:封閉性和結(jié)合性,可按引理3證明;單位元為I*是顯見的;逆元為逆陣,見引理1、2.四、行列式定義14由灰元構(gòu)成的置換為灰置換.引理4設(shè)灰陣A為分塊三角陣A為n×n矩陣;r+s=n,則A的行列式detA(或|A|)為detA=detA1detA2.證:考慮A1為r+1階矩陣,當r=1時顯然,detA=a1a2時引理成立.當r=m-1時,若引理成立,則r=m時,這里Aij為元aij對于子塊A1的代數(shù)余子式.推論4若可證引理4適合任意n階的三角型對角線分塊陣的行列式.命題4若記對于各矩陣,其行列式有下述置換(變換):簡記為逆變換亦成立.定理5若記行列式的值為白的,灰陣的全體為M,非奇方陣行列式值的全體為N,G為所有M與N中元的全體,則下述置換為Abel群.式中,A(i,j,)為矩陣,且A(1,1,),…,A(r,s,)∈M;為行列式的值,且證:1°封閉性;2°結(jié)合性stu=(st)u=s(tu);3°單位元為恒等變換I.五、應用背景一糧食的時間序列糧食(數(shù)據(jù))的時間序列,由于統(tǒng)計的難度大,一般認為是灰色的.未來的糧食時間序列,即使是公認為精度高、信賴度大的預測值,也只能是灰色的.作為一種預測方法,為了得到糧食數(shù)據(jù)未來發(fā)展的可能區(qū)域,可引用置換.設(shè)pi為第i年的糧食產(chǎn)量,時間序列為定義ST為累加的變換,有式中,(p1…pn)為糧食的時間序列;(Q1…Qn)為糧食的累加時間序列.定義定義t為數(shù)乘變換,有則上述置換為Abel群.從過去、現(xiàn)在直到未來的糧食序列,至少有兩個邊界需要注意.若從n+1年起,為糧食生產(chǎn)投入的物質(zhì)和能量具有了最大的轉(zhuǎn)換效益,對氣象具有了“最大”的控制能力,年產(chǎn)量達到了峰值pmax,就組成時間序列的上界.如果物質(zhì)與能量的轉(zhuǎn)換效益是起碼的,氣象控制是無能的,年產(chǎn)量為下限值pmin,就組成時間序列的下界.對應于pmax與pmin有兩種置換聯(lián)合Smax與Smin可得圖1.圖中,由于t1～tn這段是重合的,而t>tn是分岔的,因此得未來的糧食灰色平面如圖陰影區(qū).二直接消耗系數(shù)及灰色消耗系數(shù)投入產(chǎn)出是制定國民經(jīng)濟發(fā)展計劃的基本方法.記xi為第i種產(chǎn)品總產(chǎn)值,yi為第i種最終產(chǎn)品總產(chǎn)值,aij為第j種產(chǎn)品消耗第i種產(chǎn)品的比例系數(shù),即直接消耗系數(shù).則總產(chǎn)值向量X與最終產(chǎn)值向量Y有下述關(guān)系:若第j種產(chǎn)品消耗第i種產(chǎn)品的灰色消耗系數(shù)記為且-vTu≠1是顯見的,則有A=uvT;X=(I-uvT)-1Y.按定理2知從上式知1°k越小,總效益越大.k是標量.由于v與u中各元均小于1.因此標量vTu小于1.這說明各直接消耗系數(shù)越小,總經(jīng)濟效益越大.從Y=(I-A)X可直接得到這結(jié)論.2°由于是灰準群,故X與Y總是可以相互轉(zhuǎn)換的,除非vTu=1.三b到xb的投入產(chǎn)出及其關(guān)聯(lián)效應分析若消耗矩陣A=uvT滿足則有顯然,這時A=uvT的表達式在形式上是存