數(shù)學(xué)文化在高考題中的滲透及其融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略研究

摘要：隨著教育體制的改革和發(fā)展，數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)的課程教學(xué)和高考試題中所占的比重都有所增加，高中數(shù)學(xué)教育越來(lái)越重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文分析了數(shù)學(xué)文化在高考題中的滲透，深入研究了數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略，以供參考。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；高中數(shù)學(xué)；文化滲透?jìng)鹘y(tǒng)的教學(xué)模式下，學(xué)校、教師和家長(zhǎng)受應(yīng)試教育思想影響過(guò)度關(guān)注學(xué)生的考試成績(jī)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中信奉“題海戰(zhàn)術(shù)”，使學(xué)生逐漸失去對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)文化在高考題和高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透，能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。一、數(shù)學(xué)文化在高考題中的滲透（一）數(shù)學(xué)史滲透數(shù)學(xué)史就是數(shù)學(xué)這門學(xué)問(wèn)的發(fā)展歷程，將數(shù)學(xué)史滲透到數(shù)學(xué)高考題中，是數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的體現(xiàn)。如2018年全國(guó)卷Ⅱ第8題：我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是‘每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，如30=7+23。在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，問(wèn)其和等于30的概率。這道題雖然考的是概率，但引用了哥德巴赫猜想的文化背景。哥德巴赫猜想是數(shù)學(xué)史上著名的世界數(shù)學(xué)三大難題之一。在經(jīng)歷了無(wú)數(shù)權(quán)威數(shù)學(xué)家的研究后，陳景潤(rùn)提出“1+2”定理：“任意一個(gè)充分大的偶數(shù)均可寫成一個(gè)質(zhì)數(shù)與不超過(guò)兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之和的形式?！痹擃}的設(shè)計(jì)不僅讓學(xué)生了解了哥德巴赫猜想的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，還讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)理論的探索過(guò)程需要堅(jiān)持不懈、勇于探索的精神。另外，通過(guò)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)的數(shù)學(xué)成就，能有效激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。2017年全國(guó)卷Ⅱ的第3題：我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題‘遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？通俗解釋為‘七層塔共掛381盞燈，相鄰兩層中的下一層燈數(shù)為上一層燈數(shù)的2倍，求塔頂燈有幾盞”。題目中引用了我國(guó)的數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》，題目的考點(diǎn)為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)。通過(guò)這道考題，學(xué)生對(duì)我國(guó)的數(shù)學(xué)研究歷史有了新的認(rèn)識(shí)，為數(shù)學(xué)題賦予了歷史文化底蘊(yùn)[1]。（二）傳統(tǒng)文化滲透在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，很少有文化的滲透。在高考題中加入傳統(tǒng)中國(guó)文化，有利于文化與數(shù)學(xué)的有機(jī)融合，使學(xué)生對(duì)于傳統(tǒng)文化產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)。例如：2017年全國(guó)卷Ⅰ第2題，在中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極八卦圖內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，要求考生計(jì)算出所取點(diǎn)剛好在黑色區(qū)域的概率。題目中將太極八卦圖與高考題的概率相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了融合，通過(guò)此題學(xué)生能看到中國(guó)傳統(tǒng)文化的博大精深。在2019年全國(guó)卷Ⅰ第6題中，通過(guò)我國(guó)古代典籍《周易》中的“八卦”文化進(jìn)行了出題，要求考生計(jì)算所有重卦中隨機(jī)取一種，剛好為3個(gè)陽(yáng)爻的概率。該題也是引用了我國(guó)傳統(tǒng)文化中的八卦文化作為出題背景，讓熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生開始對(duì)我國(guó)的八卦文化產(chǎn)生興趣，也讓熱愛傳統(tǒng)文化的學(xué)生，開始感受到數(shù)學(xué)的魅力，可謂是傳統(tǒng)與創(chuàng)新的統(tǒng)一。將概率問(wèn)題與中國(guó)傳統(tǒng)文化相結(jié)合，碰撞出了新的火花。在2018年全國(guó)卷Ⅲ的第3題中，題目背景為中國(guó)古代建筑榫卯工藝，通過(guò)榫頭和卯眼的咬合圖形考查學(xué)生的空間思維。該題的考點(diǎn)為木構(gòu)件的俯視圖，但是通過(guò)融合榫卯工藝的相關(guān)知識(shí)，使題目更加具有歷史感。中國(guó)古建筑是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的重要組成部分，榫卯結(jié)構(gòu)更是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶。通過(guò)該題能讓學(xué)生了解更多的中國(guó)傳統(tǒng)文化，擴(kuò)大知識(shí)儲(chǔ)備，增強(qiáng)民族自豪感。（三）藝術(shù)性滲透數(shù)學(xué)和藝術(shù)是不分家的，因此歷年高考中，經(jīng)常會(huì)滲透藝術(shù)性的文化知識(shí)，豐富了考試題型，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的魅力。如2019年全國(guó)卷Ⅰ第4題：“古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂?shù)蕉悄毜拈L(zhǎng)度與肚臍到足底的長(zhǎng)度比約為0.618，該比例也稱為黃金分割比例，著名的雕塑作品‘?dāng)啾劬S納斯也是一樣。某人滿足該黃金比例，且其頭頂?shù)窖屎淼拈L(zhǎng)度與咽喉到肚臍的長(zhǎng)度比也符合黃金分割比例，若此人腿長(zhǎng)105cm，頭頂至咽喉長(zhǎng)26cm，求其身高?！秉S金分割比例是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的著名話題，曾掀起一陣數(shù)學(xué)界的討論熱潮。該題通過(guò)維納斯雕像的藝術(shù)作品，引出數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生審題和計(jì)算能力。2019年全國(guó)卷Ⅱ第16題中，提到了我國(guó)傳統(tǒng)文化中的金石文化、印信。我國(guó)南北朝時(shí)期有位官員叫作獨(dú)孤信，他的印信十分特別，是一個(gè)“半正多面體”，若將另一半還原，則是一個(gè)擁有48條棱的半正多面體。該題考查學(xué)生的空間立體感，通過(guò)金石文化背景讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美，體現(xiàn)了藝術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)中的重要性。2020年全國(guó)卷Ⅱ第4題介紹了北京天壇公園中的國(guó)丘壇為古代皇室祭天的場(chǎng)所。國(guó)丘壇分為三層，要求考生根據(jù)題目中所給的已知條件計(jì)算三層扇面形石板數(shù)量。該題是通過(guò)我國(guó)的名勝古跡考查學(xué)生的圖形對(duì)稱知識(shí)和計(jì)算能力。通過(guò)該題，讓學(xué)生對(duì)于我國(guó)的建筑文化有了更加深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也能體會(huì)到我國(guó)數(shù)學(xué)文化的發(fā)展[2]。（四）實(shí)用性滲透數(shù)學(xué)文化不僅涵蓋數(shù)學(xué)的歷史、傳統(tǒng)文化知識(shí)和藝術(shù)作品，還包括與時(shí)俱進(jìn)的實(shí)際應(yīng)用。數(shù)學(xué)的進(jìn)步推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)與人文科學(xué)的發(fā)展。例如：2017年全國(guó)卷Ⅰ第12題中，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)開發(fā)了一款學(xué)習(xí)類軟件，推出解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼的活動(dòng)激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，題目是通過(guò)數(shù)列計(jì)算出滿足條件的最小整數(shù)N，得到軟件激活碼。該題是借大學(xué)生創(chuàng)業(yè)的實(shí)際生活案例作為背景，考查學(xué)生數(shù)列知識(shí)，不僅激發(fā)了學(xué)生參與計(jì)算的興趣，還為高中生心中埋下一顆創(chuàng)新的種子，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索，參與到科技研發(fā)的隊(duì)伍之中。2019年全國(guó)卷Ⅱ第4題，2019年嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)了人類歷史上首次月球背面軟著陸，是我國(guó)航天事業(yè)取得的新成就。實(shí)現(xiàn)這一成就需要解決一個(gè)十分關(guān)鍵的技術(shù)問(wèn)題，即地面與探測(cè)器的通信聯(lián)系。為了解決該問(wèn)題，我國(guó)發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，要求考生計(jì)算地月拉格朗日L2點(diǎn)到月球距離的近似值。該題目雖然是考查學(xué)生計(jì)算問(wèn)題的求解能力，但是通過(guò)嫦娥四號(hào)探測(cè)器的真實(shí)案例作為背景，能將學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的研究興趣，也強(qiáng)化了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)發(fā)展意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生形成正確的愛國(guó)主義思想[3]。二、數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略（一）數(shù)學(xué)史融入教學(xué)在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，要求教師能著重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。邏輯推理能力是學(xué)生形成理性思維的基礎(chǔ)，還能幫助學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)可以將數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成體系，使學(xué)生在輕松有趣的氛圍中進(jìn)行“歸納推理”的學(xué)習(xí)。教師在正式授課前，可以專門設(shè)計(jì)一堂“歸納推理”的發(fā)展史研究課程，先讓學(xué)生充分了解這一數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史演變歷程，對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。首先，為學(xué)生介紹數(shù)學(xué)歸納法。例如：歐幾里得的《幾何原本》中提到素?cái)?shù)無(wú)窮命題，即素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)與自然數(shù)的個(gè)數(shù)相同。通過(guò)證明該命題，歐幾里得提出假設(shè)，“若有n個(gè)素?cái)?shù)，則一定有n+1個(gè)素?cái)?shù)存在”。這一假說(shuō)引出了遞推思想，為數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。后來(lái)意大利數(shù)學(xué)家莫洛里斯在《算術(shù)》中對(duì)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行了闡述。在歷史的發(fā)展過(guò)程中，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家開始進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用和推導(dǎo)，到17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡真正明確了數(shù)學(xué)歸納法的步驟，如今已經(jīng)衍生出了多種分支歸納法。其次，讓學(xué)生了解“推理論證”發(fā)展情況。在數(shù)學(xué)公式和定理的研究過(guò)程中，猜想是很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)史上最著名的三大猜想分別為“費(fèi)馬猜想”“哥德巴赫猜想”“四色猜想”。以其中的“哥德巴赫猜想”為例，為學(xué)生拓展更多的數(shù)學(xué)史知識(shí)，并讓學(xué)生知道，通過(guò)歷代數(shù)學(xué)家對(duì)哥德巴赫猜想的研究所衍生出來(lái)的方法和理論，為數(shù)學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)了巨大的力量。通過(guò)融合數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，能讓學(xué)生充分了解“歸納推理”的歷史發(fā)展過(guò)程，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離。其中，教師需要注意的是，數(shù)學(xué)“歸納推理”數(shù)學(xué)史研究，是為了讓學(xué)生形成一種思維模式，而不局限于某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的研究。在這個(gè)思維模式下，可以進(jìn)行大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的分析。引入數(shù)學(xué)史進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)能鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、自主推導(dǎo)、積極求證，從而在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題、提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[4]。（二）傳統(tǒng)文化融入教學(xué)將傳統(tǒng)文化融入高中數(shù)學(xué)的課程教學(xué)，最關(guān)鍵的是素材的選擇。在我國(guó)的傳統(tǒng)文化中有優(yōu)秀的數(shù)學(xué)著作，如《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》等。除此之外，我國(guó)古代的建筑文化、民俗文化和周易文化都能與數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行融合，需要教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入研究，確保選擇素材的趣味性、相關(guān)性和適配性。數(shù)學(xué)教師不僅要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)科能力，還要有一定的傳統(tǒng)文化知識(shí)儲(chǔ)備，才能做到信手拈來(lái)，深入淺出，使傳統(tǒng)文化與學(xué)科知識(shí)完美融合。例如：在學(xué)習(xí)等差數(shù)列前，教師為學(xué)生介紹了我國(guó)古代著名典籍《周髀算經(jīng)》?！吨荀滤憬?jīng)》因?yàn)橛涗浟撕芏嗳赵滦浅竭\(yùn)行、更替以及二十四節(jié)氣規(guī)律，所以被廣泛認(rèn)為是我國(guó)最古老的天文學(xué)著作，為當(dāng)時(shí)人們的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、生活提供了很多幫助。其中也包含了許多數(shù)學(xué)知識(shí)，例如“勾股定理”和“等差數(shù)列問(wèn)題”。這個(gè)“等差數(shù)列問(wèn)題”是這樣的：從冬至開始，依次要經(jīng)歷小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿和芒種，共十二個(gè)節(jié)氣。這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列。二十四個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)問(wèn)題，是我國(guó)研究數(shù)列的開始，由此問(wèn)題可以衍生出許多考查學(xué)生等差數(shù)列的題目。在蘇教版高中數(shù)學(xué)選修3中“劉徽和祖沖之、祖暅父子在球體積計(jì)算方面的成就”課程教學(xué)中，為學(xué)生講述我國(guó)古代數(shù)學(xué)家們?cè)谇虻捏w積公式研究上所做出的貢獻(xiàn)。教師可以通過(guò)多媒體設(shè)備為學(xué)生放映《九章算術(shù)》中數(shù)學(xué)家劉徽做出的注釋，證明了《九章算術(shù)》中球體積的計(jì)算公式是錯(cuò)誤的，但劉徽沒有完整地整理出正確的球體積計(jì)算公式，而是兩百年后的祖沖之和祖暅父子提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”的原理，得到了正確的計(jì)算公式。通過(guò)祖氏父子在球的體積公式研究上的貢獻(xiàn)，能讓學(xué)生進(jìn)一步了解我國(guó)數(shù)學(xué)研究的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，感受傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)相結(jié)合的奇妙，增強(qiáng)學(xué)生的民族自信[5]。（三）藝術(shù)美學(xué)融入教學(xué)數(shù)學(xué)文化中的藝術(shù)美學(xué)在高中數(shù)學(xué)的課程學(xué)習(xí)中隨處可見，既包括外在形態(tài)上的美，也包括內(nèi)在理性涵養(yǎng)上的美。外在形態(tài)上的美是直觀的，幾何圖形、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)比例和數(shù)學(xué)語(yǔ)言等，都包含了各具形態(tài)的美感。教師在教學(xué)過(guò)程中可以將數(shù)學(xué)知識(shí)與建筑、繪畫和音樂(lè)等領(lǐng)域相結(jié)合，讓學(xué)生能開闊視野，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)學(xué)藝術(shù)的能力。例如：在蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1的“圓錐曲線”課程教學(xué)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生觀看了北京天壇、鳥巢體育館、河北省趙州橋、泰姬陵、圣彼得廣場(chǎng)等建筑，讓學(xué)生先感受融入了圓錐曲線元素的著名建筑給人帶來(lái)的美感。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生感受藝術(shù)作品，能讓學(xué)生更加直觀、生動(dòng)地體會(huì)到數(shù)學(xué)的藝術(shù)性，提升學(xué)生鑒賞美的能力。隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓、橢圓、雙曲線、拋物線的對(duì)稱美。在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5數(shù)列的學(xué)習(xí)中，教師通過(guò)多媒體設(shè)備為學(xué)生展示了向日葵的種子排列和松塔里松果的排列，引出“斐波那契螺旋線”。這條螺旋線中的兩個(gè)相鄰數(shù)字之間的比趨近于黃金分割比例，所有的數(shù)字共同組成了斐波那契數(shù)列。在黃金分割比例的介紹中，教師為學(xué)生展示了帕提農(nóng)神廟、名畫蒙娜麗莎的微笑、維納斯雕像等，讓學(xué)生充分感受了黃金分割比例的和諧與美感。除了外在形態(tài)上的美感，數(shù)學(xué)還蘊(yùn)含著一種內(nèi)在的理性美。在數(shù)學(xué)理論的論證過(guò)程中，從提出猜想到論證再到得出結(jié)論，整個(gè)過(guò)程中需要縝密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?。教師在開展教學(xué)時(shí)，可鼓勵(lì)學(xué)生自行推導(dǎo)公式和定理，通過(guò)親身體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的理性與純粹。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的藝術(shù)性與美感，需要教師能隨時(shí)在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行滲透，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看待問(wèn)題、用數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)。透過(guò)數(shù)學(xué)觀察世界、欣賞世界，會(huì)不知不覺中發(fā)現(xiàn)生活中和大自然中蘊(yùn)含著無(wú)窮的數(shù)學(xué)知識(shí)與奧秘。在數(shù)學(xué)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的簡(jiǎn)潔魅力，深刻體會(huì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)樂(lè)趣。（四）實(shí)際應(yīng)用融入教學(xué)數(shù)學(xué)本質(zhì)上是為了解決生活中的問(wèn)題而衍生出來(lái)的學(xué)科，是一門應(yīng)用型學(xué)科。但是傳統(tǒng)的教學(xué)方式下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究完全被教材和課堂所禁錮，忽視了其強(qiáng)大的應(yīng)用功能。當(dāng)下高中生亟待通過(guò)實(shí)際應(yīng)用過(guò)程感受數(shù)學(xué)文化，因此將實(shí)際應(yīng)用融入數(shù)學(xué)教學(xué)是當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的必然。教師在課程教學(xué)過(guò)程中，可以結(jié)合教材內(nèi)容，安排學(xué)生進(jìn)行課題研究，完成小論文，或者為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生組隊(duì)進(jìn)行討論研究，共同完成一篇研究報(bào)告。例如：在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修三“概率”的課程學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師將學(xué)生分成了6人小組，并為學(xué)生設(shè)置了一個(gè)研究課題。每一個(gè)小組做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，在盒子中裝入寫著顏色的紙條，每種顏色數(shù)量不同，并計(jì)算出每一種顏色被抓到的概率。然后小組成員進(jìn)行抓鬮，需要記錄抓鬮的次數(shù)和每一次所抓的顏色，要求抓鬮次數(shù)不少于100次。最后將抓鬮結(jié)果與計(jì)