集合與常用邏輯用語

集合與常用邏輯用語第一節(jié)集合的有關(guān)概念集合的有關(guān)概念集合的概念：集合是集合論中最原始的未定義的概念，只作描述性的說明，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集.集合通常用大寫的拉丁字母A,B,C,…來表示。2.集合的元素:構(gòu)成集合中的每一個對象叫做這個集合的元素.集合中的元素通常用小寫的拉丁字母。,b,c，…來表示?？占阂话愕?，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作中集合元素的特征：集合元素具有下列特征：確定性：設(shè)A是一個給定的集合，X是某個具體的對象，則X或者是集合A中的元素，或者不是集合A中的元素，兩種情況必有一種成立?；ギ愋裕杭现械娜我鈨蓚€元素都是不同的，也應(yīng)當(dāng)是說“集合中的元素是互異的”。無序性：集合中的元素在集合中的位置是任意的，是沒有順序的。.集合的分類：按集合元素的性質(zhì)可分為：數(shù)集、點集和具有其他性質(zhì)的集合；按集合中元素的個數(shù)可分為兩類：有限集、無限集。有限集：集合中的元素個數(shù)是有限的； ②無限集：集合中的元素個數(shù)是無限的；而空集作為集合的一個特殊類型出現(xiàn)在集合的分類中，規(guī)定空集是不含任何元素的集合，記作中。.集合的元素和集合的關(guān)系元素和集合是“屬于”和“不屬于”的關(guān)系。某個對象要么是集合A的元素，要么不是集合A的元素，如果X是集合A的元素，那么稱為“X屬于集合A”，記作“xeA；”如果X是不集合A的元素，那么稱為“X不屬于集合A”，記作“X史A”元素和集合之間的關(guān)系是個體和整體的關(guān)系。符號“e和W”不能隨便用來表示集合與集合之間的關(guān)系，除非是在具有特殊意義的集合與集合的關(guān)系時。.集合的表示法：特定集合的表示：為了書寫方便，我們規(guī)定常見的數(shù)集用特定的字母表示。全體非負(fù)整數(shù)組成的集合通常簡稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N。全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N*(或N+)。全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作z。 +全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作。。全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記作R。一般集合的表示法：集合的表示法有三種：列舉法、描述法和圖示法(Venn圖法)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如:｛1,2,3,4,5,6｝等.使用列舉法時，需要注意以下幾點：i元素間用逗號分隔開；ii元素不能重復(fù)；iii元素可任意放置；iv對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯的規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號。描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。就是說如果在集合I中，屬于集合A的任何一個元素X都具有性質(zhì)P，而不屬于集合A的元素都不具有性質(zhì)P，于是把具有性質(zhì)P的所有元素集在一起就組成一個集合A，記作A=｛xe11了具有性質(zhì)P｝，其中x是集合A的代表元素，I是X的取值范圍。例如：｛xeRIX2+2x—4>0｝|注意：i描述法表示集合時要注意其表示格式：大括號內(nèi)“I”的前面是集合的代表元素及其取值范圍，后面是代表元素所具有的本質(zhì)特性，分隔符“I”有時也用“：”代替，如｛a+血:aeQ,beQ｝；ii多層描述時，應(yīng)該準(zhǔn)確使用“且”和“或”；i所有的描述都放到集合的符號內(nèi)，并力求語句簡明、準(zhǔn)確。

個方法表示:描述法的語言形式有三種：文字語言、符號語言和圖形語言，比如直線y=]+1上所有點的集合，可以用以下三個方法表示:方法一：文字語言形式：{直線y=x+1上的點};方法二：符號語言形式：{(x,y)1y=x+1}；方法三：圖示語言形式：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線y=x+1(如圖1.1-1)。圖示法(Venn圖法)：為了形象地個集合，我們通常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個集合的方法。(如圖1.1-2)二、 子集的有關(guān)概念子集：定義:對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A是集合B的子集，記作:A匚B(或B^A)，即“若xeAnxeB”當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，則記作：A也B(或B圭A)，即存在xeAnxWB疽規(guī)定：空集是任何集合的子集.也就是說，對任何一個集合A，有：中CA子集的性質(zhì)：一個集合是它自身的子集，即ACA; ②①CA;有n個元素的集合一共有2n個子集；非空子集的個數(shù)為2〃-1.*④若集合A={a,a，…，a}，則集合A的所有子集的元素總和為2n-1(a+a+...+a)1 2 3 1 2 3真子集：集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，則集合A是集合B的真子集，記作：A^B，即“若ACB，且存在xeBnxWA”。規(guī)定：空集是任何非空集合的真子集.也就是說，對任何一個集合A尹中，有?.據(jù)A真子集的性質(zhì)：①A膈B=“若ACB，且存在xeBnxWA”； ②A尹中，有：中膈A;有n個元素的集合一共有2n-1個真子集;非空真子集的個數(shù)為2n-2.等集：定義:對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作：A=B，即“ACB，且BCA”。相等的兩個集合具有以下性質(zhì)：①集合A與集合B的元素完全相同，②兩個集合的所有元素之積相等。③兩個集合的所有元素之和相等；三、 集合的運算交集：定義:對于給定的兩個集合A和B，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作AnB(讀作“A交B”)，即:AnB={x|xEA，且xEB}.對于交集“AnB={x|xEA，且xEB}”，不能簡單地認(rèn)為AnB中的任一元素都是A與B的公共元素，或者簡單認(rèn)為A與B的公共元素都屬于AnB，這是因為并非任何兩個集合總有公共元素.當(dāng)集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是AnB=中.交集的性質(zhì)：①(交換律)anb=bna:②ana=a:③an?=?:④acb=anb=a:⑤(結(jié)合律)an(bnc)=(anb)nc.并集：定義:對于給定的兩個集合A和B，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記作：AUB(讀作“A并B”)，即:AUB={x|xEA，或xEB}.對于并集“AUB={x|xEA，或xEB}”，不能簡單地理解為AUB是由A的所有元素與B的所有元素組成的集合，這是因為A與B可能有公共元素，故上述理解與集合的互異性不符。并集的性質(zhì)：①(交換律)AUB=BUA:②AUA=A:③AU4=A:④AcB=AUB=B:⑤(anB)cAc(AUB);⑥(AnB)cBc(AUB):⑦(結(jié)合律)(AUB)UC=AU(BUC):⑧(分配律)AU(BnC)=(AnC)U(AnB)；An(BUc)=(AUB)n(AUc):⑨(吸收律)AU(AnB)=A，An(AUB)=A；全集與補集：全集定義:如果一個集合含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用U表示.補集定義：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集(即A匚S)，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)，記作CsA，即：CSA={x|x￡S，且xWA}.全集、補集的性質(zhì)： SS設(shè)U是全集，AcU，貝ijAU(CA)=U；UAA(CUA)=^；C(CA)=A；Cu(AUB)=(CuA)A(CuB)；Cu(AAB)=(CuA)U(CuB)；AcBo^^B或A=BOAA(qB)=^O(C。B)c(C。A)OAACB=①0CAUB=R；AAU=A:⑧AUU=U有限集合所含元素個數(shù)的幾個簡單性質(zhì)：card(AUB)=cardA+cardB-card(AAB)card(AUBUC)=cardA+cardB+cardC-card(AAB)-card(AAB)-card(BAC)-card(CAA)+card(AABAC)設(shè)全集為U，集合A是集合U的子集，則cardU=cardA+card(^A)第二節(jié)常用邏輯用語、命題與常用邏輯用語命題及其關(guān)系定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳術(shù)句叫命題。一般一個命題可以用小寫的英文字母：p，q，r，…表示。根據(jù)這個定義，說明并不是任何語句都是命題，只有能判斷真假的語句才是命題，而疑問語句、祈使語句、感嘆語句均不是命題，但是科學(xué)的猜想是命題。真命題與假命題判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫叫做假命題，一個命題要么是真命題，要么是假命題。命題的表示形式命題的一般形式為：若p，則q。也可寫成“如果p，那么q”，或“只要p，就有q”等形式。我們把這種形式下命題中的p叫做命題的條件，把q叫做命題的結(jié)論。四種命題互逆命題定義：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論是另一個倒是的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個倒是叫做互逆命題。其中一個命題叫做原命題，另一個就叫做原命題的逆命題。命題的形式：如果原命題為“若p，則q”，那么它的逆命題為“若q，則p”。特點：將一個已知命題的條件和結(jié)論互換，就可以得到另一個新的命題，它是已知命題的逆命題?；シ衩}①定義：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互否命題，其中一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的否命題。

②四種命題的真假關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題之間的真假關(guān)系如下:形式：如果原命題為“若p,貝0q”，那么它的否命題就是：“若「p,形式：如果原命題為“若p,貝0q”，那么它的否命題就是：“若「p,貝0「q”。對“「p”和“「q”的說明：條件p的否定和結(jié)論q的否定分別是“「p”和“「q”,讀作“非p”和“非q”?；槟娣衩}定義：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題。形式：如果原命題為“若p,則q”，那么它的逆否命題就是“若「q,則「p”。四種命題的互相關(guān)系①四種命題之間相互關(guān)系：把命題稱為逆命題、否命題和逆否命題都是以原命原命題若p則q否命題若［P則［C互逆互逆逆命題若q則p否逆否命題若^q則np題為基礎(chǔ)的。當(dāng)然我們也可以把其中任何一個命題看作是原命題的。它們之間的關(guān)系如圖2.1-1如圖2.1-1①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個命題是互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系。③四種命題中真命題的個數(shù)為0個、2個或4個，即真命題的個數(shù)有偶數(shù)個。二、充分條件和必要條件1.推出的定義當(dāng)命題“如果p,則q”經(jīng)過推理論證判斷是真命題時，我們就說由p可推出q成立，記作“P?0”讀作“p推出q”。充分條件和必要條件定義：①從邏輯揄觀點看，對于命題“若p則q”：如果已知“p習(xí)q,但q泠p”，則稱p是q的充分不必要條件；如果已知“puq,但paq”，則稱p是q的必要不充分條件；如果已知“pAq”，且“pUq”，就記作pOq,則稱p是q的充要條件。如果已知“pAq且qAp”，則稱p是q既非充分又非必要條件。從集合觀點看，建立命題p、q相應(yīng)的集合A={xlp(x)成立}，B={xlq(x)成立},那么若ACB則p是q的充分條件；若A盤B,則p是q的充分非必要條件;若BCA,則p是q的必要條件；若BWA，貝0p是q的必要非充分條件；若人=8,則p是q的充要條件；若A⑦B且B⑦A,則p既不是q的充分條件，也不是必要條件判斷充要條件的方法①定義法；②逆否法；③集合法。注：逆否法是指：若「pA「q,則p是q的必要條件，q是p的充分條件；若「pA「q,且「qA「P，則P是q的必要非充分條件；若「P=「q,則P與q互為充要條件；若「PA「q，且「qA「P,則P既不是q的充分條件，也不是必要條件。充分條件，必要條件的內(nèi)涵充分條件內(nèi)涵：“有了足夠，換亦可能”；必要條件內(nèi)涵：“缺了不成，有了不夠”。三、邏輯聯(lián)結(jié)詞理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，把握它們與集合中的并集、交集、補集的對應(yīng)關(guān)系。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題；由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題是復(fù)合命題，復(fù)合命題的構(gòu)成形式是：P或q(記作PVq)；P且q(記作PAq)；非P(記作「q)其中p,q,…表示命題。判斷一個復(fù)合命題的真假，一般分如下三個步驟：確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式；(2)判斷其中各簡單命題的真假；真值表如下：Pqp或qp且q非p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一真必真一假必假一真一假四、反證法反證法的步驟：反證法是一種間接證法用反證法證明一個命題“AnB”可分3個步：①反設(shè)：假設(shè)B不成立，則「B成立；②歸謬：從“A且非8，入手，進(jìn)行正確推理，推出矛盾③結(jié)論：由矛盾知假設(shè)“B不成立”是錯誤的，從而B成立［注］第(2)步歸謬是反證法的核心。其一，歸謬入手點是從