甘肅省慶陽市慶城縣隴東中學2023-2024學年高二上數學期末統(tǒng)考試題含解析

甘肅省慶陽市慶城縣隴東中學2023-2024學年高二上數學期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，雙曲線的右焦點為，過雙曲線上一點作軸的垂線足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.3．已知圓O的半徑為5，，過點P的2021條弦的長度組成一個等差數列，最短弦長為，最長弦長為，則其公差為（）A. B.C. D.4．給出下列結論：①如果數據的平均數為3，方差為0.2，則的平均數和方差分別為14和1.8；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數r的值越接近于1．③對A、B、C三種個體按3：1：2的比例進行分層抽樣調查，若抽取的A種個體有15個，則樣本容量為30．則正確的個數是（）.A.3 B.2C.1 D.05．若是等差數列的前項和，，則（）A.13 B.39C.45 D.216．已知雙曲線的左、右焦點分別為，半焦距為c，過點作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.7．在正方體中，分別為的中點，為側面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.9．如圖①所示，將一邊長為1的正方形沿對角線折起，形成三棱錐，其主視圖與俯視圖如圖②所示，則左視圖的面積為（）A. B.C. D.10．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.911．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上12．已知在等比數列中，，，則（）A.9或 B.9C.27或 D.27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足，則其通項公式________14．用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是奇數的四位數，這樣的四位數一共有___________個．（用數字作答）15．已知向量，向量，若，則實數的值為________.16．在空間直角坐標系中，向量為平面ABC的一個法向量，其中，，則向量的坐標為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求函數在區(qū)間上的最大值和最小值18．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過左焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，的周長為8（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，，是橢圓C的短軸端點，P是橢圓C上異于點，的動點，點Q滿足，，求證與的面積之比為定值19．（12分）一杯100℃的開水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；（2）記n分鐘后的水溫為，證明：是等比數列，并求出的通項公式；（3）當水溫在40℃到55℃之間時（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開后哪個時間段飲用最佳．（參考數據：）20．（12分）已知等差數列的公差為2，且，，成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.21．（12分）已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過，，三點，求橢圓E的標準方程22．（10分）已知拋物線的焦點為F，以F和準線上的兩點為頂點的三角形是邊長為的等邊三角形，過的直線交拋物線E于A，B兩點（1）求拋物線E的方程；（2）是否存在常數，使得，如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由；（3）證明：內切圓的面積小于

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據條件可知四邊形為正方形，從而根據邊長相等，列式求雙曲線的離心率.【詳解】不妨設在第一象限，則，根據題意，四邊形為正方形，于是，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：A.2、C【解析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.3、B【解析】可得過點P的最長弦長為直徑，最短弦長為過點P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過點P的最長弦長為直徑，，最短弦長為過點P的與垂直的弦，，公差.故選：B.4、B【解析】對結論逐一判斷【詳解】對于①，則的平均數為，方差為，故①正確對于②，若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數r的絕對值越接近于1，故②錯誤對于③，對A、B、C三種個體按3：1：2的比例進行分層抽樣調查，若抽取的A種個體有15個，則樣本容量為，故③正確故正確結論為2個故選：B5、B【解析】先根據等差數列的通項公式求出，然后根據等差數列的求和公式及等差數列的下標性質求得答案.【詳解】設等差數列的公差為d，則，則.故選：B.6、D【解析】根據給定條件求出，再計算面積列式計算作答.【詳解】依題意，點，由雙曲線對稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標原點為O，中，，又點O是線段的中點，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D7、A【解析】建立空間直角坐標系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，，，，則，，設異面直線與所成角為（），則.故選：A8、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C9、A【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.【詳解】由主視圖可以看出，A點在面上的投影為的中點，由俯視圖可以看出C點在面上的投影為的中點，所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長為，于是左視圖的面積為故選：A.10、C【解析】由，，共面，設，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(實數m、n)，即，∴，解得故選：C11、A【解析】根據題意，得到兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，設，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內的一動點，所以可設，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.12、B【解析】根據等比數列的性質可求.【詳解】因為為等比數列，設公比為，則，解得，又，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用累加法即可求出數列的通項公式.【詳解】因為，所以，所以，，，…，，把以上個式子相加，得，即，所以.故答案為：.14、504【解析】分兩種情況求解，一是四個數字中沒有奇數，二是四個數字中有一個奇數，然后根據分類加法原理可求得結果【詳解】當四個數字中沒有奇數時，則這樣的四位數有種，當四個數字中有一個奇數時，則從5個奇數中選一個奇數，再從4個偶數中選3個數，然后對這4個數排列即可，所以有種，所以由分類加法原理可得共有種，故答案為：50415、2【解析】根據，由求解.【詳解】因為向量，向量，且，所以，解得，故答案為：216、【解析】根據向量為平面ABC的一個法向量，由求解.【詳解】因為，，所以，又因為向量為平面ABC的一個法向量，所以，解得，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、，【解析】先求導函數，再根據導函數得到單調區(qū)間，比較極值和端點值,即可得到最大值和最小值.【詳解】解：依題意，，令，得或，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，又，，，所以，18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據周長為8，求得a，再根據離心率求解；（2）方法一：設，，得到直線和直線的方程，聯(lián)立求得Q的橫坐標，根據在橢圓上，得到，然后代入Q的橫坐標求解；方法二：設直線，的斜率分別為k，，點，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點P橫坐標，再由的直線方程聯(lián)立，得到P，Q的橫坐標的關系求解.【小問1詳解】解：∵的周長為8，∴，即，∵離心率，∴，，∴橢圓C的標準方程為【小問2詳解】方法一：設，則直線斜率，∵，∴直線斜率，∴直線的方程為：，同理直線的方程為：，聯(lián)立上面兩直線方程，消去y，得，∵在橢圓上，∴，即，∴，∴所以與的面積之比為定值4方法二：設直線，的斜率分別為k，，點，，則直線的方程為，∵，∴直線的方程為，將代入，得，∵P是橢圓上異于點，的點，∴，又∵，即，∴，即，由，得直線的方程為，聯(lián)立得，∴所以與的面積之比為定值419、（1）2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃；（2）證明見解析，，；（3）在水燒開后4到7分鐘飲用最佳.【解析】(1)根據給定條件設第n分鐘后的水溫為，探求出與的關系即可計算作答.(2)利用(1)的信息，列式變形、推導即可得證，進而求出的通項公式.(3)由(2)的結論列不等式，借助對數函數的性質求解即得.【小問1詳解】設第n分鐘后的水溫為，正比例系數為k，記，依題意，，當時，，則有，解得，因此，，即有，，所以2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃.小問2詳解】由(1)知，，時，，，則有，即，而，于是得是以為首項，為公比的等比數列，則有，即，所以是等比數列，的通項公式是，.【小問3詳解】由(2)及已知得：，即，整理得，兩邊取常用對數得：，而，解得，即，所以在水燒開后4到7分鐘飲用最佳.【點睛】思路點睛：涉及實際意義給出的數列問題，正確理解實際意義，列出關系式，再借助數列思想探求相鄰兩項間關系即可推理作答.20、（1）（2）【解析】（1）由，，成等比數列和，可得，解方程求出，從而可求出的通項公式，（2）由（1）可得，然后利用裂項相消法可求出【小問1詳解】因為等差數列的公差為2，所以又因為成等比數列，所以，解得，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以.21、【解析】分橢圓的焦點在軸上與焦點在軸上，兩種情況討論，利用待定系數法求出橢圓方程；【詳解】解：（1）當橢圓的焦點在軸上時，設其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，所以橢圓E的方程為（2）當橢圓的焦點在軸上時，設其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，這與矛盾綜上可知，橢圓的方程