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河南省蘭考縣三中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是雙曲線的左焦點(diǎn),,是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A.9 B.8C.7 D.62.如圖,直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等,P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn),設(shè),若P到平面的距離為2d,則點(diǎn)P的軌跡是()A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分3.如圖,已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)、在橢圓上,四邊形是梯形,,且,則的面積為()A. B.C. D.4.2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎(COVID—19)疫情,并快速席卷我國(guó)其他地區(qū),傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,所以目前沒(méi)有特異治療方法,防控難度很大武漢市出現(xiàn)疫情最早,感染人員最多,防控壓力最大,武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門(mén)排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無(wú)法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類(lèi)”人員,強(qiáng)化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人在排查期間,一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測(cè),若出現(xiàn)陽(yáng)性,則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為p(0<p<1)且相互獨(dú)立,該家庭至少檢測(cè)了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為f(p),當(dāng)p=p0時(shí),f(p)最大,則p0=()A. B.C. D.5.甲烷是一種有機(jī)化合物,分子式為,其在自然界中分布很廣,是天然氣、沼氣的主要成分.如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型,已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離(H-H鍵長(zhǎng))相等,碳原子到四個(gè)氫原子的距離(C-H鍵長(zhǎng))均相等,任意兩個(gè)H-C-H鍵之間的夾角為(鍵角)均相等,且它的余弦值為,即,若,則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為()A. B.C. D.6.已知雙曲線,其漸近線方程為,則a的值為()A. B.C. D.27.現(xiàn)有60瓶飲料,編號(hào)從1到60,若用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6瓶進(jìn)行檢驗(yàn),則所抽取的編號(hào)可能為()A.3,13,23,33,43,53 B.2,14,26,38,40,52C.5,8,31,36,48,54 D.5,10,15,20,25,308.已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù),且,,則()A.2 B.3C.-2 D.-39.已知m,n表示兩條不同直線,表示兩個(gè)不同平面.設(shè)有兩個(gè)命題::若,則;:若,則.則下列命題中為真命題的是()A. B.C. D.10.如果,,…,是拋物線C:上的點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)依次為,,…,,點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn).若=10,=10+n,則p等于()A.2 B.C. D.411.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.12.過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F作雙曲線一條漸近線的垂線,垂足為A,與另一條漸近線交于點(diǎn)B,若,則雙曲線C的離心率為()A.或 B.2或C.或 D.2或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,,,,與,,,,,,均為等差數(shù)列,則______14.已知函數(shù),___________.15.直線與兩坐標(biāo)軸相交于,兩點(diǎn),則線段的垂直平分線的方程為_(kāi)__________.16.從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中,選出2位同學(xué)分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)的選法數(shù)可以用表示為_(kāi)___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0,若x=時(shí),y=f(x)有極值(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在區(qū)間[-3,1]上最大值和最小值18.(12分)(1)已知命題p:;命題q:,若“”為真命題,求x的取值范圍(2)設(shè)命題p:;命題q:,若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍19.(12分)已知圓,圓,動(dòng)圓與圓外切,且與圓內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程,并說(shuō)明軌跡是何種曲線;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與直線交于兩點(diǎn),且滿足的面積是面積的一半,求的面積20.(12分)我國(guó)是世界最大的棉花消費(fèi)國(guó)、第二大棉花生產(chǎn)國(guó),其中,新疆棉產(chǎn)量約占國(guó)內(nèi)產(chǎn)量的87%,消費(fèi)量約占國(guó)內(nèi)消費(fèi)量的67%.新疆棉的品質(zhì)高:纖維柔長(zhǎng),潔白光澤,彈性良好,各項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)均超國(guó)家標(biāo)準(zhǔn).尤其是被授予“中國(guó)彩棉之鄉(xiāng)”稱(chēng)號(hào)的新疆建設(shè)兵團(tuán)一四八團(tuán)生產(chǎn)的天然彩棉,株型緊湊,吐絮集中,品質(zhì)優(yōu)良,色澤純正、艷麗,手感柔軟,適合中高檔紡織.新疆彩棉根據(jù)色澤、手感、纖維長(zhǎng)度等評(píng)分指標(biāo)打分,得分在區(qū)間內(nèi)分別對(duì)應(yīng)四級(jí)、三級(jí)、二級(jí)、一級(jí).某經(jīng)銷(xiāo)商從采購(gòu)的新蚯彩棉中隨機(jī)抽取20包(每包1kg),得分?jǐn)?shù)據(jù)如圖(1)試統(tǒng)計(jì)各等級(jí)數(shù)量,并估計(jì)各等級(jí)在該批彩棉中所占比例;(2)用樣本估計(jì)總體,經(jīng)銷(xiāo)商參考以下兩種銷(xiāo)售方案進(jìn)行銷(xiāo)售:方案1:不分等級(jí)賣(mài)出,單價(jià)為1.79萬(wàn)元/噸;方案2:分等級(jí)賣(mài)出,不同等級(jí)的新疆彩棉售價(jià)如下表所示:等級(jí)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)售價(jià)(萬(wàn)元/噸)若從經(jīng)銷(xiāo)商老板的角度考慮,采用哪種方案較好?并說(shuō)明理由21.(12分)某企業(yè)為響應(yīng)“安全生產(chǎn)”號(hào)召,將全部生產(chǎn)設(shè)備按設(shè)備安全系數(shù)分為A,兩個(gè)等級(jí),其中等設(shè)備安全系數(shù)低于A等設(shè)備.企業(yè)定時(shí)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行檢修,并將部分等設(shè)備更新成A等設(shè)備.據(jù)統(tǒng)計(jì),2020年底該企業(yè)A等設(shè)備量已占全體設(shè)備總量的30%.從2021年開(kāi)始,企業(yè)決定加大更新力度,預(yù)計(jì)今后每年將16%的等設(shè)備更新成A等設(shè)備,與此同時(shí),4%的A等設(shè)備由于設(shè)備老化將降級(jí)成等設(shè)備.(1)在這種更新制度下,在將來(lái)的某一年該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例能否超過(guò)80%?請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)至少在哪一年底,該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例超過(guò)60%.(參考數(shù)據(jù):,,)22.(10分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(1)證明:PB∥面AEC;(2)設(shè)AP=1,AD=,三棱錐P-ABD的體積V=,求點(diǎn)A到平面PBC的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由雙曲線方程求出,再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線的兩支之間,結(jié)合可求得答案【詳解】由,得,則,所以左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn),則由雙曲線的定義得,因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的兩支之間,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),所以的最小值為9,故選:A2、B【解析】取的中點(diǎn),得出平面,作,在直角中,求得,以為原點(diǎn),為軸,為軸建立平面直角坐標(biāo)系,求得點(diǎn)的軌跡方程,即可求解.【詳解】如圖所示,取的中點(diǎn),連接,得到平行于平面且過(guò)點(diǎn)的平面,如圖(1)(2)所示,作,則P1與E重合,則,在直角中,可得,在圖(3)中,設(shè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為,且,以為原點(diǎn),為軸,為軸建立平面直角坐標(biāo)系,則,所以,即所以,整理得,所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.故選:B.3、A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),連接、,分析可知、、三點(diǎn)共線,設(shè)點(diǎn)、,設(shè)直線的方程為,分析可知,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,求出的值,可得出的值,再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),連接、,如下圖所示:因?yàn)闉?、的中點(diǎn),則四邊形為平行四邊形,可得且,因?yàn)?,故、、三點(diǎn)共線,設(shè)、,易知點(diǎn),,,由題意可知,,可得,若直線與軸重合,設(shè),,則,不合乎題意;設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,由韋達(dá)定理可得,得,,則,可得,故,因此,.故選:A.4、A【解析】解設(shè)事件A為:檢測(cè)了5人確定為“感染高危戶”,設(shè)事件B為:檢測(cè)了6人確定為“感染高危戶”,則,再利用基本不等式法求解.【詳解】解:設(shè)事件A為:檢測(cè)了5人確定為“感染高危戶”,設(shè)事件B為:檢測(cè)了6人確定為“感染高危戶”,則,,所以,令,則,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,即,故選:A5、A【解析】利用余弦定理求得,計(jì)算出正四面體的高,從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè),則由余弦定理知:,解得,故該正四面體的棱長(zhǎng)均為由正弦定理可知:該正四面體底面外接圓的半徑,高故該正四面體的體積為故選:A6、A【解析】由雙曲線方程,根據(jù)其漸近線方程有,求參數(shù)值即可.【詳解】由漸近線,結(jié)合雙曲線方程,∴,可得.故選:A.7、A【解析】求得組距,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】,即組距為,A選項(xiàng)符合,其它選項(xiàng)不符合.故選:A8、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有,結(jié)合已知求出基本量,再由即可得答案.【詳解】因?yàn)?,,且q為整數(shù),所以,,即q=2.所以.故選:A9、B【解析】利用直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系判斷2個(gè)命題的真假,再利用復(fù)合命題的真值表判斷選項(xiàng)的正誤即可【詳解】,表示兩條不同直線,,表示兩個(gè)不同平面:若,,則也可能,也可能與相交,所以是假命題,為真命題;:令直線的方向向量為,直線的方向向量為,若,則,則,所以是真命題,所以為假命題;所以為假命題,是真命題,為假命題,是真命題,所以為假命題故選:10、A【解析】根據(jù)拋物線定義得個(gè)等式,相加后,利用已知條件可得結(jié)果.【詳解】拋物線C:的準(zhǔn)線為,根據(jù)拋物線的定義可知,,,,,所以,所以,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:利用拋物線的定義解題是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)根,等價(jià)于與圖象有兩個(gè)交點(diǎn),通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性,根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),方程有兩個(gè)根,,分離參數(shù)得,與圖象有兩個(gè)交點(diǎn),令,,令,解得當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減,且在處取得極大值及最大值,可以畫(huà)出函數(shù)的大致圖象如下:觀察圖象可以得出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.12、D【解析】求得點(diǎn)A,B的坐標(biāo),利用轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比求解.【詳解】不妨設(shè)直線,由題意得,解得,即;由得,即,因?yàn)椋?,所以?dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,則,故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、##【解析】由題意利用等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,求得要求式子的值【詳解】設(shè)等差數(shù)列,,,,的公差為,等差數(shù)列,,,,,,的公差為,則有,且,所以,則,故答案為:14、【解析】直接利用分段函數(shù)的解析式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?,所?故答案為:-115、【解析】由直線的方程求出直線的斜率以及,兩點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得線段的垂直平分線的斜率以及線段的中點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】由直線可得,所以直線的斜率為,所以線段的垂直平分線的斜率為,令可得;令可得;即,,所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以線段的垂直平分線的方程為,整理得.故答案為:.16、【解析】由題意知:從4為同學(xué)中選出2位進(jìn)行排列,即可寫(xiě)出表示方式.【詳解】1、從4位同學(xué)選出2位同學(xué),2、把所選出的2位同學(xué)任意安排為正、副班長(zhǎng),∴選法數(shù)為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)最大值為,最小值為.【解析】(1)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組,即可得解;(2)求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性和極值,再和端點(diǎn)值比較即可得解.【詳解】(1)由題意,,因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0,所以,,又當(dāng)時(shí),y=f(x)有極值,所以,所以;(2)由(1)得,,所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;又,,,,所以在[-3,1]上的最大值為,最小值為.18、(1)(2)【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真值表知:p真q假;非q是非p的充分不必要條件,等價(jià)于p是q的充分不必要條件,等價(jià)于p是q的真子集【詳解】命題p:,即;命題,即;由于“”為真命題,則p真q假,從而由q假得,,所以x的取值范圍是命題p:,即命題q:,即由于是的充分不必要條件,則p是q的充分不必要條件即有,【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合命題及其真假屬基礎(chǔ)題19、(1)(2)或【解析】(1)設(shè)圓的半徑為,圓的半徑為,圓的半徑為,由題意,,從而可得,由橢圓的定義即可求解;(2)由題意,直線的斜率存在且不為0,設(shè),,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理及點(diǎn)為線段的中點(diǎn),可得,利用弦長(zhǎng)公式求出及到直線AB的距離即可得的面積.【小問(wèn)1詳解】解:圓的圓心,半徑,圓的圓心,半徑,設(shè)圓的半徑為,由題意,,所以,由橢圓的定義可知,動(dòng)圓圓心的軌跡是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,則,所以,所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為;【小問(wèn)2詳解】解:由題意,直線的斜率存在且不為0,設(shè),,由,可得,所以①,②,且,即,因?yàn)榈拿娣e是面積的一半,所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn),所以,即③,聯(lián)立①②③可得,所以,因?yàn)榈街本€AB的距離,,所以,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以的面積為或.20、(1)答案見(jiàn)解析;(2)答案、理由見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算出數(shù)量以及比例.(2)計(jì)算出方案的彩棉售價(jià)平均值,由此作出決策.【詳解】(1)得分在(0,25]內(nèi)的有19,21,共2個(gè),所以四緩彩棉在該批彩棉中所占比例為;得分在(25,50]內(nèi)的有27,31,36,42,45,48,共6個(gè),所以三級(jí)彩棉在該批彩棉中所占比例為;得分在(50,75]內(nèi)的有51,51,58,63,65,68,73,共7個(gè),所以二級(jí)彩棉在該批彩棉中所占比例為;得分在(75,100]內(nèi)的有76,79,83,85,92,共5個(gè),所以一級(jí)彩棉在該批彩棉中所占比例(2)解答一:選用方案2,理由如下:方案1:不分等級(jí)賣(mài)出,單價(jià)為1.79萬(wàn)元/噸;設(shè)方案2的彩棉售價(jià)平均值為萬(wàn)元/噸,則因?yàn)?,所以從?jīng)銷(xiāo)商老板角度考慮,采用方案2時(shí)銷(xiāo)售利潤(rùn)比較大,應(yīng)選方案2解答二:選用方案1,理由如下:方案1:不分等級(jí)賣(mài)出,單價(jià)為1.79萬(wàn)元/噸;
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