黑龍江哈爾濱市第十九中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

黑龍江哈爾濱市第十九中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列，且，則（）A.16 B.32C.24 D.642．直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中點(diǎn)，則AM與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.3．設(shè)為空間中的四個(gè)不同點(diǎn)，則“中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“在同一個(gè)平面上”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件4．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.5．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.6．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B.C. D.7．在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.8．設(shè)函數(shù)，若的整數(shù)有且僅有兩個(gè)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點(diǎn)E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（）A.當(dāng)x增大時(shí)，θ先增大后減小 B.當(dāng)x增大時(shí)，θ先減小后增大C.當(dāng)d增大時(shí)，θ先增大后減小 D.當(dāng)d增大時(shí)，θ先減小后增大10．點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，P不在直線AF上，則△PAF的周長(zhǎng)的最小值是（）A.4 B.6C. D.11．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.12．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則___________.14．圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的側(cè)面積大小為____________.(結(jié)果保留)15．曲線在處的切線方程為______16．寫出一個(gè)與橢圓有公共焦點(diǎn)的橢圓方程__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：，經(jīng)過的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（1）求的值（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，直線為拋物線C的準(zhǔn)線，直線是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點(diǎn)P（）（）作直線與拋物線相切，若直線與直線相交于點(diǎn)M，與直線相交于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求出此定值18．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，分別是上的點(diǎn)，滿足.（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.19．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且E上一點(diǎn)P到F的最大距離3（1）求橢圓E的方程；（2）若A，B為橢圓E上的兩點(diǎn)，線段AB過點(diǎn)F，且其垂直平分線交x軸于H點(diǎn)，，求20．（12分）已知圓.（1）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，求直線的方程；（2）若斜率為1的直線被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過圓的圓心，求直線的方程.21．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過，兩點(diǎn).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與圓C交于A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，試問直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說明理由.22．（10分）如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求到平面的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..【詳解】，得故選：A2、B【解析】取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個(gè)法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為故選：B3、A【解析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論：過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面,可得,當(dāng)時(shí),同一個(gè)平面上,但中無三點(diǎn)共線,故必要條件不成立;故選:A【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)線面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點(diǎn)考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個(gè)推論：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;4、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B6、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題7、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長(zhǎng)弦，最短弦為過點(diǎn)與垂直的弦，再求得BD的長(zhǎng)，可得面積.【詳解】圓化簡(jiǎn)為可得圓心為易知過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D8、D【解析】等價(jià)于，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，作出的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合只需滿足即可.【詳解】，即，又，則.令，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，且，，作出函數(shù)圖象如圖所示，若的整數(shù)有且僅有兩個(gè)，即只需滿足，即，解得：故選：D9、C【解析】以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，，求得平面AMN的法向量為，平面PMN的法向量，由空間向量的夾角公式表示出，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，由函數(shù)的單調(diào)性可判斷；對(duì)于C，D，當(dāng)x=0時(shí)，則，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可判斷.【詳解】解：由題意，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B，F(xiàn)G，F(xiàn)E所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則P(2,x,0)，A(2,0,2)，設(shè)直線l與EF，EH交于點(diǎn)M、N，則，所以，，設(shè)平面AMN的法向量為，則，即，令，則，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令，則，，對(duì)于A，B選項(xiàng)，令d=0，則，顯示函數(shù)在是為減函數(shù)，即減小，則增大，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，D，對(duì)于給定的，如圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作，垂足為，當(dāng)在下方時(shí)，，設(shè)，則對(duì)于給定的，為定值，此時(shí)設(shè)二面角為，二面角為，則二面角為，且，故，而，故即，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故為減函數(shù)，故先增后減，故D錯(cuò)誤.當(dāng)在上方時(shí)，，則對(duì)于給定的，為定值，則有二面角為，且，因，故為增函數(shù)，故為減函數(shù)，綜上，對(duì)于給定的，隨的增大而減少，故選：C.10、C【解析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求距離最值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為過點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，故△PAF的周長(zhǎng)為，，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)周長(zhǎng)最小，為故選：C11、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B12、C【解析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因?yàn)?，所以，所?故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)切點(diǎn)在切線上可得.【詳解】因?yàn)榍芯€的斜率為，所以，又切點(diǎn)在切線上，所以，所以，所以.故答案為：.14、【解析】由題設(shè)知：圓錐的軸截面為等邊三角形，進(jìn)而求圓錐的底面周長(zhǎng)，由扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積大小.【詳解】由題設(shè)，圓錐的軸截面為等邊三角形，又圓錐的母線長(zhǎng)為2，∴底面半徑為1，則底面周長(zhǎng)為，∴圓錐的側(cè)面積大小為.故答案為：.15、【解析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由斜截式方程可得切線方程【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，即有切線方程為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的運(yùn)用，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題16、（答案不唯一）【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及分析即可【詳解】由題可知橢圓的形式應(yīng)為（，且），可取故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.（2）求得過點(diǎn)的拋物線的切線方程，由此求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過化簡(jiǎn)來證得為定值，并求得定值.【小問1詳解】依題意可知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，消去并化簡(jiǎn)得，所以，所以.小問2詳解】拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線，通徑所在直線，在拋物線上，且，所以過點(diǎn)的拋物線的切線的斜率存在且不為零，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，將代入上式并化簡(jiǎn)得，解得，所以切線方程為，令得，令得，，將代入上式并化簡(jiǎn)得，所以為定值，且定值為.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【小問1詳解】連接AC，分別是的中點(diǎn)，.在中，，所以四點(diǎn)共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理平面，為平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn).又平面平面，即三點(diǎn)共線.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和最大距離建立等式即可求解；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)，求出直線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】（1）橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且E上一點(diǎn)P到F的最大距離3，所以，所以，所以橢圓E的方程；（2）A，B為橢圓E上的兩點(diǎn)，線段AB過點(diǎn)F，且其垂直平分線交x軸于H點(diǎn)，所以線段AB所在直線斜率一定存在，所以設(shè)該直線方程代入，整理得：，設(shè)，，，整理得：，當(dāng)時(shí)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，中垂線方程：，；當(dāng)時(shí)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，中垂線方程：，，綜上所述：.20、（1）（或（2）或【解析】(1)由條件可得，由此可求直線的斜率，由點(diǎn)斜式求直線的方程；(2)由條件可求到直線的距離，利用待定系數(shù)法求直線的方程.【小問1詳解】圓，得圓心，半徑，直線的斜率：，設(shè)直線的斜率為，有，解得.所求直線的方程為：.（或【小問2詳解】直線m被圓C截得的弦EF為直徑的圓經(jīng)過圓心C，∴圓心C到直線的距離為.設(shè)直線方?為，則解得或直線的方程為：或21、（1）（2）過定點(diǎn)，定點(diǎn)為【解析】（1）設(shè)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意列出方程從而可得答案.（2）設(shè)，，將直線的方程與圓C的方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由條件可得，從而得出答案.【小問1詳解】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意可得解得，，.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)，.聯(lián)立整理的，則，，故.因?yàn)橐訟B為直徑的圓過原點(diǎn)，所以，即則，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，直線，直線l過原點(diǎn)，此時(shí)不滿足以