遼寧省丹東市第十九中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年遼寧省丹東十九中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一.選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的.每小題2分，共18分）1．（2分）下列各式是一元二次方程的是（）A．3﹣5x2＝x B．+x2﹣1＝0 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．4x﹣1＝02．（2分）已知a：b：c＝2：3：4，則的值（）A． B．1 C．﹣1 D．或﹣13．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，則EC＝（）A． B． C． D．4．（2分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，根據(jù)下列表格中的對應(yīng)值：x…3.093.103.113.12…ax2+bx+c…﹣0.17﹣0.08﹣0.010.11…可判斷方程的一個解x的范圍是（）A．3.08＜x＜3.09 B．3.09＜x＜3.10 C．3.10＜x＜3.11 D．3.11＜x＜3.125．（2分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當(dāng)∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形 B．當(dāng)AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形 C．當(dāng)AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形 D．當(dāng)AC⊥BD，平行四邊形ABCD是正方形6．（2分）大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），則下列結(jié)論中正確的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP?BA C． D．7．（2分）某建筑工程隊(duì)在工地一邊靠墻處，用81米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形倉庫，倉庫總面積為440平方米．為了方便取物，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門．若設(shè)AB＝x米，則可列方程（）A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440 C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝4408．（2分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝120°，DE∥AC，若AD＝2（）A．4 B．8 C．10 D．129．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)H＝3cm，EH＝6cm，則HC的長為（）A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm二、填空題（每題2分，共18分）10．（2分）已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2cm，d＝6cm，則c＝．11．（2分）如果關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍為．12．（2分）在一個不透明的盒子里，裝有5個紅球和若干個綠球，這些球除顏色外都相同，記下顏色后再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，其中20次摸到紅球，請估計(jì)盒子中所有球的個數(shù)是．13．（2分）若一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩個根是x1，x2，則的值是．14．（2分）邊長為5cm的菱形，一條對角線長是6cm，則菱形的面積是cm2．15．（2分）現(xiàn)要在一個長為40m，寬為26m的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示2，那么小道的寬度應(yīng)是m．16．（2分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，DE∥AC△BDE：S△CDE＝1：3，則S△DOE：S△AOC的值為．17．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，BC中點(diǎn)，連接DE，則△AGE面積為．18．（2分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，有下列結(jié)論：①∠EBC＝45°；②2S△BFG＝5S△FGB；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）三、解答題（19題8分，20題6分，21題6分，共20分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣8＝0（用公式法）．（2）（x﹣2）2＝2x﹣4（用因式分解法）．20．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1；（3）設(shè)點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次變換后點(diǎn)P在△A2B2C2內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是．21．（6分）某學(xué)校開展“垃圾分類，從我做起”的宣講活動，該活動的宣講員從甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中隨機(jī)抽選．（1）若只抽選一名學(xué)生，乙被選中的概率為，（2）若隨機(jī)抽選兩名學(xué)生，請用列表法或畫樹狀圖法求乙被選中的概率．四、（每小題8分，共24分）22．（8分）某商場將進(jìn)貨價為30元的臺燈以40元售出，1月銷售400個，2，3月這種臺燈銷售量持續(xù)增加，3月的銷售量達(dá)到576個，設(shè)2（1）求2，3兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月起，在3月銷售量的基礎(chǔ)上，商場決定降價促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個．這種臺燈售價定為多少時23．（8分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AB于點(diǎn)E交AC于點(diǎn)P（1）判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的長．24．（8分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上的一點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G．（1）求證：△BEG∽△FEB；（2）當(dāng)BF＝1，BC＝3時，求EG的長．五、（本題滿分10分）25．（10分）已知點(diǎn)C為△ABC和△CDE的公共頂點(diǎn)，將△CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），連接BD，請完成如下問題：（1）如圖1，若△ABC和△CDE均為等邊三角形，線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系是；類比探究：（2）如圖2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，請寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，AB＝4，，直接寫出AD的長．六、（本題滿分10分）26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+4交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C，D，以O(shè)A和OC為鄰邊作矩形OABC，點(diǎn)E是直線AB上一動點(diǎn)．（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）連接DE，若DE平分∠ADC，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)F是縱軸（y軸）左側(cè)任意一點(diǎn)，是否存在以C，D，E，若存在，直接寫出點(diǎn)F坐標(biāo)，請說明理由．

2023-2024學(xué)年遼寧省丹東十九中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）參考答案與試題解析一.選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的.每小題2分，共18分）1．（2分）下列各式是一元二次方程的是（）A．3﹣5x2＝x B．+x2﹣1＝0 C．a(chǎn)x2+bx+c＝0 D．4x﹣1＝0【答案】A【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個條件者為正確答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定義；B、不是整式方程；C、方程二次項(xiàng)系數(shù)可能為0；D、方程未知數(shù)為1次；故選：A．2．（2分）已知a：b：c＝2：3：4，則的值（）A． B．1 C．﹣1 D．或﹣1【答案】B【分析】根據(jù)比例性質(zhì)，可用a表示b，用a表示c，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由a：b：c＝2：3：3，得b＝，c＝4a．＝＝＝1，故選：B．3．（2分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，則EC＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴，∴，∴EC＝．故選：C．4．（2分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，根據(jù)下列表格中的對應(yīng)值：x…3.093.103.113.12…ax2+bx+c…﹣0.17﹣0.08﹣0.010.11…可判斷方程的一個解x的范圍是（）A．3.08＜x＜3.09 B．3.09＜x＜3.10 C．3.10＜x＜3.11 D．3.11＜x＜3.12【答案】D【分析】觀察表格可知，隨x的值逐漸增大，ax2+bx+c的值在3.11～3.12之間由負(fù)到正，故可判斷ax2+bx+c＝0時，對應(yīng)的x的值在3.11～3.12之間．【解答】解：根據(jù)表格可知，ax2+bx+c＝0時，對應(yīng)的x的值在2.11～3.12之間．故選：D．5．（2分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當(dāng)∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形 B．當(dāng)AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形 C．當(dāng)AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形 D．當(dāng)AC⊥BD，平行四邊形ABCD是正方形【答案】D【分析】根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可以判斷A；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷B；根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可以判斷C；根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可以判斷D．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)∠ABC＝90°，平行四邊形ABCD是矩形，不符合題意；當(dāng)AC＝BD，平行四邊形ABCD是矩形，不符合題意；當(dāng)AB＝BC，平行四邊形ABCD是菱形，不符合題意；當(dāng)AC⊥BD，平行四邊形ABCD是菱形，故選項(xiàng)D錯誤；故選：D．6．（2分）大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），則下列結(jié)論中正確的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP?BA C． D．【答案】D【分析】由黃金分割的定義得AP2＝BP?BA，＝＝，即可求解．【解答】解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），∴AP2＝BP?BA，＝＝，故選項(xiàng)A、B，選項(xiàng)D符合題意，故選：D．7．（2分）某建筑工程隊(duì)在工地一邊靠墻處，用81米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形倉庫，倉庫總面積為440平方米．為了方便取物，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門．若設(shè)AB＝x米，則可列方程（）A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440 C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440【答案】D【分析】設(shè)倉庫的寬為x米（AB＝x米），由鐵柵欄的長度結(jié)合圖形，可求出倉庫的長為（84﹣4x）米，再根據(jù)矩形的面積公式即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)倉庫的寬為x米（AB＝x米），則倉庫的長為（84﹣4x）米，根據(jù)題意得：x（84﹣4x）＝440．故選：D．8．（2分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝120°，DE∥AC，若AD＝2（）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC＝OD＝2，即可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BD＝AC，DO＝BO，∴OD＝OA，∵∠AOB＝120°，∴∠DOA＝60°，∴△AOD是等邊三角形，∴DO＝AO＝AD＝OC＝2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形CODE是平行四邊形，∴四邊形CODE是菱形，∴四邊形CODE的周長為：4OC＝8×2＝8，故選：B．9．（2分）如圖，在平行四邊形ABCD中E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)H＝3cm，EH＝6cm，則HC的長為（）A．24cm B．22cm C．20cm D．18cm【答案】C【分析】延長FE交CB的延長線于點(diǎn)G．證明△AFE≌△BGE，得出EG＝EF，求出EG＝9cm，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出＝，代入求出結(jié)果即可．【解答】解：延長FE交CB的延長線于點(diǎn)G，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠EBG，∠AFE＝∠BGE，∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴△AFE≌△BGE，∴EG＝EF，∵EF＝EH+FH＝3+6＝6（cm），∴EG＝9cm，∴GH＝GE+EH＝9+5＝15（cm），∵AD∥BC，∴＝，即＝，解得：CH＝20cm，故C正確．故選：C．二、填空題（每題2分，共18分）10．（2分）已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝2cm，d＝6cm，則c＝4cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)比例線段的定義得到a：b＝c：d，然后把a(bǔ)＝2cm，b＝3cm，d＝6cm代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴a：b＝c：d，而a＝2cm，b＝3cm，∴c＝＝＝5（cm）．故答案為4cm．11．（2分）如果關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍為m＜3且m≠2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：Δ＝4﹣4（m﹣6）＞0，∴m＜3，由于m﹣3≠0，∴m≠2，故答案為：m＜7且m≠212．（2分）在一個不透明的盒子里，裝有5個紅球和若干個綠球，這些球除顏色外都相同，記下顏色后再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，其中20次摸到紅球，請估計(jì)盒子中所有球的個數(shù)是20．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)未知數(shù)列出方程求解．【解答】解：∵共試驗(yàn)80次，其中有20次摸到紅球，∴紅球所占的比例為＝，設(shè)盒子中共有球x個，則＝，解得：x＝20．故答案為：20．13．（2分）若一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的兩個根是x1，x2，則的值是﹣．【答案】﹣．【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和，兩根之積，然后把要求的式子變形，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的兩個根是x1，x4，∴x1+x2＝8，x1x2＝﹣8，∴＝＝＝﹣．故答案為：﹣．14．（2分）邊長為5cm的菱形，一條對角線長是6cm，則菱形的面積是24cm2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)菱形對角線垂直且互相平分，即可得出菱形的另一條對角線的長，再利用菱形的面積公式求出即可．【解答】解：如圖所示：設(shè)BD＝6cm，AD＝5cm，∴BO＝DO＝7cm，∴AO＝CO＝＝4（cm），∴AC＝8cm，∴菱形的面積是：×7×8＝24（cm2）．故答案為：24．15．（2分）現(xiàn)要在一個長為40m，寬為26m的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示2，那么小道的寬度應(yīng)是2m．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，然后利用其種植花草的面積為864m2列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，依題意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，整理，得x2﹣46x+88＝2．解得，x1＝2，x4＝44．∵44＞40（不合題意，舍去），∴x＝2．答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為2米．故答案為：2．16．（2分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，DE∥AC△BDE：S△CDE＝1：3，則S△DOE：S△AOC的值為．【答案】．【分析】證明BE：EC＝1：3，得出BE：BC＝1：4；證明△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，得到＝，由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝5：3；∴BE：BC＝1：5；∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，∴＝，∴S△DOE：S△AOC＝（）5＝；故答案為：．17．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，BC中點(diǎn)，連接DE，則△AGE面積為．【答案】．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出∠AEG+∠EAG＝90°，進(jìn)而利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠B＝∠EAD＝90°，∵E，F(xiàn)分別為邊AB，∴AE＝ABBC，∴AE＝BF＝2，∴AF＝，在△ABF與△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG∽△AFB，∴，∴，∴△AGE面積＝，故答案為：．18．（2分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，有下列結(jié)論：①∠EBC＝45°；②2S△BFG＝5S△FGB；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正確的是①②④.（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②④．【分析】①根據(jù)折疊、矩形的性質(zhì)進(jìn)行推理即可；②根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊的比計(jì)算分析即可；③由矩形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定定理計(jì)算分析即可；④由矩形的性質(zhì)可得CD的長，根據(jù)CE＝CD﹣ED求得CE的值，則可求得答案．【解答】解：①由折疊的性質(zhì)可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABC＝45°．故①正確；②由折疊的性質(zhì)可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，∴HF＝BF﹣BH＝4，∴＝＝，∴2S△BFG＝8S△FGH；故②正確；③∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，AF＝，設(shè)GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF3，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝7，∴AG＝3，∴FD＝2；同理可得ED＝，∴＝2，＝，∴≠，∴△ABG與△DEF不相似，故③錯誤；④∵CD＝AB＝6，ED＝，∴CE＝CD﹣ED＝，∴，∴4CE＝5ED．故④正確．故答案為：①②④．三、解答題（19題8分，20題6分，21題6分，共20分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣8＝0（用公式法）．（2）（x﹣2）2＝2x﹣4（用因式分解法）．【答案】（1）x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）x1＝2，x2＝4．【分析】（1）先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（2）先移項(xiàng)，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣2＝0或x﹣4＝0，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝1，b＝﹣7，∴Δ＝（﹣4）2﹣8×1×（﹣8）＝48＞3，∴x＝＝6，所以x3＝2+2，x2＝2﹣3；（2）（x﹣2）5＝2x﹣4，（x﹣3）2﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝6，所以x1＝2，x3＝4．20．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2：1；（3）設(shè)點(diǎn)P（a，b）為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次變換后點(diǎn)P在△A2B2C2內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（2a，﹣2b）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（2）利用關(guān)于原點(diǎn)為位似中心的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，把點(diǎn)A1、B1、C1的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（3）利用（2）中的坐標(biāo)變換規(guī)律求解．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C6為所作；（2）如圖，△A2B2C7為所作；（3）點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（2a，﹣3b）．故答案為（2a，﹣2b）．21．（6分）某學(xué)校開展“垃圾分類，從我做起”的宣講活動，該活動的宣講員從甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中隨機(jī)抽選．（1）若只抽選一名學(xué)生，乙被選中的概率為，（2）若隨機(jī)抽選兩名學(xué)生，請用列表法或畫樹狀圖法求乙被選中的概率．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算；（2）畫樹狀圖展示12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出乙被選中的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【解答】解：（1）若只抽選一名學(xué)生，乙被選中的概率＝；故答案為；（2）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中乙被選中的結(jié)果數(shù)為6，所以乙被選中的概率＝＝．四、（每小題8分，共24分）22．（8分）某商場將進(jìn)貨價為30元的臺燈以40元售出，1月銷售400個，2，3月這種臺燈銷售量持續(xù)增加，3月的銷售量達(dá)到576個，設(shè)2（1）求2，3兩個月的銷售量月平均增長率；（2）從4月起，在3月銷售量的基礎(chǔ)上，商場決定降價促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種臺燈的售價每降價0.5元，其銷售量增加6個．這種臺燈售價定為多少時【答案】（1）20%；（2）38元．【分析】（1）設(shè)2，3兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為x，利用三月份的銷售量＝一月份的銷售量×（1+月均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）解法一：設(shè)每臺降價y元，則每臺的銷售利潤為（40﹣y﹣30）元，四月份可售出（576+12y）臺，利用總利潤＝每臺的銷售利潤×四月份的銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；解法二：設(shè)每臺售價定為y元，則每臺的銷售利潤為（y﹣30）元，四月份可售出[576+12（40﹣y）]臺，利用總利潤＝每臺的銷售利潤×四月份的銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)2，3兩個月的銷售量月平均增長率為x，依題意，得：400（3+x）2＝576，解得：x1＝7.2＝20%，x2＝﹣7.2（不符合題意，舍去）．答：2，5兩個月的銷售量月平均增長率為20%．（2）解法一：設(shè)這種臺燈每個降價y元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元，依題意，得：（40﹣y﹣30）（576+12y）＝4800，整理，得：y2+38y﹣80＝0，解得y2＝2，y2＝﹣40（不符合題意，舍去），當(dāng)y＝6時，40﹣y＝38．答：該種臺燈售價定為38元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元．解法二：設(shè)這種臺燈售價定為y元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元，依題意，得：（y﹣30）[576+12（40﹣y）]＝4800，整理，得y2﹣118y+3040＝0，解得y7＝38，y2＝80（不符合題意，舍去）．答：該種臺燈售價定為38元時，商場四月份銷售這種臺燈獲利4800元．23．（8分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AB于點(diǎn)E交AC于點(diǎn)P（1）判斷四邊形DEBF的形狀，并說明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的長．【答案】（1）四邊形DEBF是矩形，理由見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和矩形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得出DE＝BF，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【解答】（1）解：四邊形DEBF是矩形，理由如下：∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEB＝∠BFD＝90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠DEB+∠EDF＝180°，∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°，∴四邊形DEBF是矩形；（2）解：連接PB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD，∴PB＝PD，由（1）知，四邊形DEBF是矩形，∴DE＝FB＝6，設(shè)PD＝BP＝x，則PE＝6﹣x，在Rt△PEB中，由勾股定理得：（3﹣x）2+34＝x2，解得：x＝，∴PD＝．24．（8分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線AC上的一點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G．（1）求證：△BEG∽△FEB；（2）當(dāng)BF＝1，BC＝3時，求EG的長．【答案】（1）證明見解答過程；（2）．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)推出AD∥BC，AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，利用SAS證明△ADE≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ADE＝∠ABE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠F，結(jié)合∠BEG＝∠FEB，即可判定△BEG∽△FEB；（2）結(jié)合正方形的性質(zhì)、勾股定理求出AB∥CD，∠DCB＝90°，AD＝DC＝BC＝3，DF＝5，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出＝，△ADE∽△CFE，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求出FG＝，EF＝，根據(jù)線段的和差求解即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD＝AB，∵AE＝AE，∴△ADE≌△ABE（SAS），∴∠ADE＝∠ABE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，又∠BEG＝∠FEB，∴△BEG∽△FEB；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠DCB＝90°，∴CF＝BC+BF＝3+1＝4，∴DF＝＝4，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴FG＝，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，∠DAE＝∠FCE，∴△ADE∽△CFE，∴＝，∴＝，∴EF＝，∴EG＝EF﹣FG＝﹣＝．五、（本題滿分10分）25．（10分）已知點(diǎn)C為△ABC和△CDE的公共頂點(diǎn)，將△CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），連接BD，請完成如下問題：（1）如圖1，若△ABC和△CDE均為等邊三角形，線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系是BD＝AE；類比探究：（2）如圖2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，請寫出線段BD與線段AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，AB＝4，，直接寫出AD的長．【答案】（1）結(jié)論：BD＝AE．理由見解析部分；（2）結(jié)論：．理由見解析部分；（3）．【分析】（1）結(jié)論：BD＝AE．證明△BCD≌△ACE（SAS），可得結(jié)論；（2）結(jié)論：．延長AE交BD的延長線于點(diǎn)F，AC交BF于點(diǎn)O．證明△BCD∽△ACE，推出，可得結(jié)論；（3）如圖2，過點(diǎn)A作AB的垂線，過點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，證明△BDM∽△CDA，推出，可得結(jié)論．【解答】解：（1）結(jié)論：BD＝AE．理由：∵△ABC和△CDE均為等邊三角形，∴CB＝CA，CD＝CE，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）結(jié)論：．理由：延長AE交BD的延長線于點(diǎn)F，AC交BF于點(diǎn)O．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BAC＝∠DEC＝30°，∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，∴，∠BCD＝∠ECA，∴△BCD∽△ACE，∴，∴；（3）如圖5，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∵∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵，∴，∴，∴．六、（本題滿分10分）26．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+4交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C，D，以O(shè)A和OC為鄰邊作矩形OABC，點(diǎn)E是直