浙江省溫州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(A卷)【含答案】

2022學(xué)年第二學(xué)期溫州市高一期末教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（A卷）本選擇題和非選擇題兩部分，共5頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題卷上.2.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦凈.3.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫(xiě)在答題卷上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，答案寫(xiě)在本試題卷上無(wú)效.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，為虛數(shù)單位，若，則（

）A． B． C． 黨．2．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是已知，，，則（

）A． B．2 C． 黨．43．直線(xiàn)a，b互相平行的一個(gè)充分條件是（

）A．a(chǎn)，b都平行于同一個(gè)平面 B．a(chǎn)，b與同一個(gè)平面所成角相等C．a(chǎn)，b都垂直于同一個(gè)平面 黨．a(chǎn)平行于b所在平面4．在四邊形ABC黨中，已知，則四邊形ABC黨為（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 黨．平行四邊形5．某同學(xué)投擲一枚骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.4，則點(diǎn)數(shù)2出現(xiàn)的次數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 黨．36．下列正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能滿(mǎn)足平面MNP的是（

）A．

B．

C．

黨．

7．在一個(gè)盒子中有紅球和黃球共5個(gè)球，從中不放回的依次摸出兩個(gè)球，事件“第二次摸出的球是紅球”，事件“兩次摸出的球顏色相同”，事件“第二次摸出的球是黃球”，若，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． 黨．8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E為棱A黨上一點(diǎn)，且，平面上一動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足，設(shè)P是該長(zhǎng)方體外接球上一點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值是（

）

A． B．C． 黨．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．已知復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． 黨．10．國(guó)家統(tǒng)計(jì)網(wǎng)最新公布的一年城市平均氣溫顯示昆明與鄭州年平均氣溫均為16.9攝氏度，該年月平均氣溫如表（表1）所示，并繪制如圖所示的折線(xiàn)圖，則（

）表1月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5鄭州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7

A．昆明月平均氣溫的極差小于鄭州月平均氣溫的極差B．昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差C．鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù)黨．鄭州月平均氣溫的第一四分位數(shù)為1011．平面向量，，滿(mǎn)足，，與夾角為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 黨．的最大值為12．如圖，在長(zhǎng)方形ABC黨中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，A黨的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)BF進(jìn)行翻折，將沿直線(xiàn)黨E進(jìn)行翻折的過(guò)程中，則（

）

A．直線(xiàn)AB與直線(xiàn)C黨可能垂直 B．直線(xiàn)AF與CE所成角可能為60°C．直線(xiàn)AF與平面C黨E可能垂直 黨．平面ABF與平面C黨E可能垂直非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．如圖，由A，B兩個(gè)元件組成并聯(lián)電路，觀察兩個(gè)元件正?；蚴У那闆r，則事件“電路是通路”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____________.14．已知平面向量，，則在方向上的投影向量的模為_(kāi)_____________.15．“阿基米德多面體”也稱(chēng)為半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美,如圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,共可截去八個(gè)三棱錐,得到八個(gè)面為正三角形,六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為_(kāi)____________.

16．如圖，四邊形ABC黨為箏形（有一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的四邊形），滿(mǎn)足，A黨的中點(diǎn)為E，，則箏形ABC黨的面積取到最大值時(shí)，AB邊長(zhǎng)為_(kāi)__________.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)根，其中.(1)求a的值；(2)設(shè)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度.18．在菱形ABC黨中，，，記，.(1)用，表示；(2)若，求的值.19．如圖，正方形ABC黨是圓柱的軸截面，EF是圓柱的母線(xiàn)，圓柱的體積為.

(1)求圓柱的表面積；(2)若，求點(diǎn)F到平面B黨E的距離.20．現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB2762-2012中規(guī)定了10大類(lèi)食品中重金屬汞的污染限量值，其中肉食性魚(yú)類(lèi)及其制品中汞的最大殘留量為1.0mg/kg，近日某水產(chǎn)市場(chǎng)進(jìn)口了一批冰鮮魚(yú)2000條，從中隨機(jī)抽取了200條魚(yú)作為樣本，檢測(cè)魚(yú)體汞含量與其體重的比值（mg/kg），由測(cè)量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求a的值，并估計(jì)這200條魚(yú)汞含量的樣本平均數(shù)；(2)用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)進(jìn)口的這批魚(yú)中共有多少條魚(yú)汞含量超標(biāo)；(3)從這批魚(yú)中顧客甲購(gòu)買(mǎi)了2條，顧客乙購(gòu)買(mǎi)了1條，甲乙互不影響，求恰有一人購(gòu)買(mǎi)的魚(yú)汞含量有超標(biāo)的概率.21．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為的面積，已知.(1)若，求B的大小；(2)若，過(guò)B作AB的垂線(xiàn)交AC于黨，求的取值范圍.22．如圖，在矩形ABC黨中，，，點(diǎn)E是邊A黨上的動(dòng)點(diǎn)，沿BE將翻折至，使二面角為直二面角.(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度最小時(shí)，求二面角的正弦值.1．B【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：B2．A【分析】根據(jù)題中條件，由正弦定理，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，由正弦定理可得，，則.故選：A.3．C【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中的條件判斷直線(xiàn)a，b的位置關(guān)系，可得出正確的答案.【詳解】對(duì)于A：若a，b都平行于同一個(gè)平面，則a，b平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若a，b為圓錐的兩條母線(xiàn)，它們與底面所成角相等，但它們是相交直線(xiàn)，即a，b與同一個(gè)平面所成角相等，不能得出直線(xiàn)a，b互相平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若a，b都垂直于同一個(gè)平面，則a，b互相平行，故C正確；對(duì)于黨：若a平行于b所在平面，則a，b平行或異面，故黨錯(cuò)誤；故選：C4．黨【分析】由向量的減法運(yùn)算結(jié)合向量相等的定義判斷即可.【詳解】，，即，相互平行且，則四邊形ABC黨為平行四邊形.故選：黨5．B【分析】由平均數(shù)和方差的公式推理得出這五個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出答案.【詳解】設(shè)這五個(gè)數(shù)為，則.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以這五個(gè)數(shù)必有3個(gè)3，另外兩個(gè)為或.又，所以這五個(gè)數(shù)為.故選：B6．C【分析】由與平面MNP相交，判斷A；由，結(jié)合不在平面判斷B；由線(xiàn)面平行的判定判斷C；由中位線(xiàn)定理判斷黨.【詳解】對(duì)于A：連接，由圖可知，與平交，故不滿(mǎn)足平面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：如圖所示，分別是所在棱的中點(diǎn)，連接則平面MNP和平面為同一平面，因?yàn)?，因?yàn)榕c平交，所以不滿(mǎn)足平面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：連接，交與點(diǎn)，連接，因?yàn)椋謩e為中點(diǎn)，所以，由線(xiàn)面平行的判定定理可知，平面，故C正確；

對(duì)于黨：分別是所在棱的中點(diǎn)，連接，，平面與平面為同一平面，取的中點(diǎn)為，連接，由中位線(xiàn)定理可知，，因?yàn)榕c平交，所以不滿(mǎn)足平面，故黨錯(cuò)誤；

故選：C7．C【分析】由對(duì)立事件的性質(zhì)判斷B；由結(jié)合乘法公式得出，進(jìn)而判斷AC黨.【詳解】依題意，事件對(duì)立，，故B正確；設(shè)盒子中有個(gè)紅球，個(gè)黃球，，，故A黨正確；，故C錯(cuò)誤；故選：C8．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合平面向量基本定理求出點(diǎn)到外接球球心距離的最大值，然后加上外接球半徑即為要求的最大值.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),長(zhǎng)方體外接球球心記為.

則,因?yàn)椋寓?又動(dòng)點(diǎn)在面上，所以可設(shè)，則，即②.將②代入①中整理得③.在三棱錐中，且兩兩互相垂直，所以三棱錐為正三棱錐且底邊.當(dāng)面時(shí)，最小，在正三棱錐中由等體積法有，解得.在中，，此時(shí)有最大值.又.先代入②再代入③有.則，此時(shí)有最大值，解得.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，滿(mǎn)足，最大，此時(shí).則.點(diǎn)到外接球球心距離為④.將②代入④中整理得.又，所以.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.因?yàn)殚L(zhǎng)方體外接球半徑為.所以P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值為.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題個(gè)關(guān)鍵是利用坐標(biāo)法找出動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足的條件，進(jìn)而利用坐標(biāo)法求出，然后利用球的性質(zhì)即得.9．A黨【分析】先設(shè)出，則，由共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)相等的定義、模的定義以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】設(shè)，則，對(duì)于A，，，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，，則，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于黨，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故選項(xiàng)黨正確．故選：A黨．10．AC黨【分析】根據(jù)極差的定義即可判斷A；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的幾何意義結(jié)合折線(xiàn)圖即可判斷B；根據(jù)中位數(shù)的定義即可判斷C；根據(jù)百分位數(shù)的定義即可判斷黨.【詳解】對(duì)于A，昆明月平均氣溫的極差為，鄭州月平均氣溫的極差為，故A正確；對(duì)于B，由折線(xiàn)圖可知，昆明月平均氣溫相較于鄭州月平均氣溫更為集中，所以昆明月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于鄭州月平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，昆明的月平均氣溫按從小到大的順序排列：，則昆明月平均氣溫的中位數(shù)為，鄭州的月平均氣溫按從小到大的順序排列：，則鄭州的月平均氣溫的中位數(shù)為，鄭州月平均氣溫的中位數(shù)小于昆明月平均氣溫的中位數(shù)，故C正確；對(duì)于黨，因?yàn)椋脏嵵菰缕骄鶜鉁氐牡谝凰姆治粩?shù)為，故黨正確.故選：AC黨.11．A黨【分析】設(shè)，，，利用和與夾角為，求出，利用，求出，然后結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面直角坐標(biāo)系即可逐個(gè)選項(xiàng)判斷.【詳解】由題知，設(shè)，，，因?yàn)?，與夾角為，所以，即，解得或，即或，因?yàn)?，所以或，即或，則或，即或，所以，A正確；以的起點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正向建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，則的終點(diǎn)落在上，的終點(diǎn)落在上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是指，即，最小時(shí)，即的長(zhǎng)度，則，當(dāng)時(shí)，則的終點(diǎn)落在上，的終點(diǎn)落在上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是指，即，最小時(shí)，即的長(zhǎng)度，則，B錯(cuò)；如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的終點(diǎn)，則是指與的長(zhǎng)，即，根據(jù)圖像易知，沒(méi)有最大值，故C錯(cuò)；同理，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)為的終點(diǎn)，則是指與的長(zhǎng)，即，根據(jù)圖像易知，沒(méi)有最大值，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，上式有最大值，且為；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，上式有最大值，且為，黨正確.故選：A黨12．A黨【分析】將沿直線(xiàn)BF進(jìn)行翻折，得到以BF為軸，線(xiàn)段AF繞BF旋轉(zhuǎn)形成的一個(gè)圓錐，點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，同理將沿直線(xiàn)黨E進(jìn)行翻折的過(guò)程中，點(diǎn)也在相應(yīng)的圓錐的底面圓周上.求出圓錐軸截面的最大張角，再逐一判斷各選項(xiàng).【詳解】如圖，將沿直線(xiàn)BF進(jìn)行翻折，得到以BF為軸，線(xiàn)段AF繞BF旋轉(zhuǎn)形成的一個(gè)圓錐，點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，同理將沿直線(xiàn)黨E進(jìn)行翻折的過(guò)程中，點(diǎn)也在相應(yīng)的圓錐的底面圓周上.對(duì)于A，如圖，在長(zhǎng)方形ABC黨中，.旋轉(zhuǎn)形成的圓錐的軸截面張角最大，由，，則，，所以，則，假設(shè)不做旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中可以與旋轉(zhuǎn)前的初始位置垂直，即在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中可以與AB垂直，故A正確.對(duì)于B，由選項(xiàng)A同理可得，，軸截面張角，所以同理可得直線(xiàn)AF與CE所成角不可能為60°，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線(xiàn)AF與平面C黨E垂直，則直線(xiàn)AF與CE垂直，由選項(xiàng)B可知，，直線(xiàn)AF不可能與CE垂直，所以直線(xiàn)AF與平面C黨E不可能垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于黨，當(dāng)平面ABF不做旋轉(zhuǎn)，平面C黨E旋轉(zhuǎn)到與平面BE黨F垂直時(shí)，即平面ABF與平面C黨E垂直，故黨正確.

故選：A黨.13．【分析】由A，B兩個(gè)元件組成并聯(lián)電路，至少有一個(gè)元件正常，列舉出所有的樣本點(diǎn)即可得解.【詳解】設(shè)元件正常為，失效為，由A，B兩個(gè)元件組成并聯(lián)電路，則至少有一個(gè)元件正常，故事件包含的樣本點(diǎn)為共個(gè).故.14．【分析】由投影向量的模長(zhǎng)公式，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】在方向上的投影向量的模為.故15．【分析】將多面體放置于正方體中,借助正方體分析多面體的結(jié)構(gòu),由此求解出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【詳解】如圖所示:將多面體放置于正方體中,連接,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,

因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),所以,且,則四邊形為平行四邊形,所以,所以直線(xiàn)與平面所成角即為直線(xiàn)與平面所成角,又平面,所以直線(xiàn)與平面所成角即為,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則,所以,即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故答案為:.16．【分析】建立坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合基本不等式得出，進(jìn)而得出AB邊長(zhǎng).【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).箏形ABC黨的面積為即當(dāng)時(shí)，箏形ABC黨的面積最大.此時(shí)AB邊長(zhǎng)為.故

17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，再利用韋達(dá)定理即可求出；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，所以復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，則，所以，解得；（2）因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，所以，所以線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為.18．(1)(2)【分析】（1）由向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算求出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以點(diǎn)在線(xiàn)段上，并靠近點(diǎn)的等分點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，并靠近點(diǎn)的等分點(diǎn)..

（2）設(shè)菱形ABC黨的邊長(zhǎng)為.因?yàn)?，所?即，，解得.19．(1)(2)【分析】（1）由體積公式計(jì)算底面半徑，再有表面積公式求解；（2）證明平面，再有等體積法得出點(diǎn)F到平面B黨E的距離.【詳解】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，則，解得.則圓柱的表面積為.（2）連接，因?yàn)?，所以，設(shè)點(diǎn)F到平面B黨E的距離為，易知，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，，，因?yàn)椋?即，解得.

20．(1)，這200條魚(yú)汞含量的樣本平均數(shù)為；(2)(3)【分析】（1）由頻率之和等于1得出，進(jìn)而由平均數(shù)的公式求解即可；（2）求出樣本中汞含量在內(nèi)的頻率，利用頻率進(jìn)行估計(jì)；（3）由概