層次分析法說(shuō)課課件

層次分析法層次分析法(AHP)首先是由T．L．SAATY在20世紀(jì)70年代提出來(lái)的，是系統(tǒng)工程中經(jīng)常使用的一種評(píng)價(jià)與決策方法。它特別適用于處理那些多目標(biāo)、多層次的復(fù)雜大系統(tǒng)問(wèn)題和難于完全用定量方法來(lái)分析與決策的社會(huì)系統(tǒng)工程的復(fù)雜問(wèn)題。它可以將人們的主觀判斷用數(shù)量形式來(lái)表達(dá)和處理，是一種定性和定量相結(jié)合的分析方法。1使用層次分析法的關(guān)鍵問(wèn)題是要搞清楚問(wèn)題的背景和條件，要達(dá)到的目標(biāo)、涉及的因素和解決問(wèn)題的途徑與方案等等。這就需要將問(wèn)題概念化，構(gòu)成概念之間的邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系，即層次結(jié)構(gòu)模型，然后通過(guò)建立判斷矩陣，進(jìn)行排序計(jì)算，最后就能得到滿意的決策結(jié)果。下面通過(guò)一個(gè)實(shí)際例子扼要介紹層次分析法的基本原理和步驟。2

某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)要由廠

領(lǐng)導(dǎo)和職工代表大會(huì)決定如何使用?？梢怨┻x擇的方案有：(1)作為獎(jiǎng)金發(fā)給職工

(2)擴(kuò)建職工宿舍、食堂、托兒所等福利設(shè)施

(3)辦職工業(yè)余技術(shù)學(xué)校

(4)建圖書館、俱樂(lè)部、文工團(tuán)與體工隊(duì)

(5)引進(jìn)技術(shù)設(shè)備進(jìn)行企業(yè)技術(shù)改造這些方案都有其合理的因素，但哪一個(gè)方案更能調(diào)動(dòng)職工的積極性，更能促進(jìn)企業(yè)快速發(fā)展呢?這是廠領(lǐng)導(dǎo)和職工代表大會(huì)所面臨的需要分析決策的問(wèn)題。3層次分析法（AHP）求解流程圖建立層次結(jié)構(gòu)分析模型構(gòu)造判斷矩陣層次單排序及其一致性檢驗(yàn)層次總排序的一致性檢驗(yàn)層次總排序4層次分析法的基本步驟一、建立層次結(jié)構(gòu)分析模型二、構(gòu)造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗(yàn)四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗(yàn)5一、建立層次結(jié)構(gòu)分析模型在深入分析所面臨的問(wèn)題以后，應(yīng)將問(wèn)題所包含的因素劃分為下面的層次，如目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，指標(biāo)層，方案層，措施層等等，用框圖的形式說(shuō)明層次的遞階結(jié)構(gòu)與因素的從屬關(guān)系。當(dāng)某個(gè)層次包含的因素較多時(shí)，可以將該層次進(jìn)一步劃分為若干個(gè)層次。對(duì)于上例，經(jīng)過(guò)分析后，上面五個(gè)措施可以歸結(jié)為三個(gè)方面的準(zhǔn)則，即(1)調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性(2)提高企業(yè)技術(shù)水平；(3)改善職工物質(zhì)文化生活。6以上三個(gè)準(zhǔn)則都是以合理使用企業(yè)利潤(rùn)，促進(jìn)企業(yè)發(fā)展為目的的。因此，整個(gè)層次結(jié)構(gòu)分析模型可以分成三層：

最高層(目的層)——決策的目的、要解決的問(wèn)題。(合理使用利潤(rùn)，促進(jìn)企業(yè)發(fā)展)。

中間層——決策時(shí)的備選方案。(各種使用企業(yè)留成利潤(rùn)方案所應(yīng)當(dāng)考慮的準(zhǔn)則)——進(jìn)一步調(diào)動(dòng)廣大職工勞動(dòng)積極性，大力提高企業(yè)技術(shù)水平和盡力改善職工物質(zhì)文化生活。

最低層——考慮的因素、決策的準(zhǔn)則。

（所考慮的五種措施）—選擇最優(yōu)方案。這種層次結(jié)構(gòu)分析模型可用下圖所示。7合理使用企業(yè)利潤(rùn)促進(jìn)企業(yè)發(fā)展調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性B1提高企業(yè)技術(shù)水平B2改善職工物質(zhì)文化生活B3發(fā)獎(jiǎng)金S1擴(kuò)大集體福利事業(yè)S2辦職工業(yè)余技校S3建圖書館俱樂(lè)部文體工隊(duì)S4引進(jìn)新技術(shù)設(shè)備S5目標(biāo)（A）層準(zhǔn)則（B）層措施層(S)8層次分析法的基本步驟一、建立層次結(jié)構(gòu)分析模型二、構(gòu)造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗(yàn)四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗(yàn)9二、構(gòu)造判斷矩陣判斷矩陣是層次分析法的計(jì)算基礎(chǔ)，判斷矩陣元素的值反映了人們對(duì)各因素相對(duì)重要性的認(rèn)識(shí)，也直接影響決策的效果。判斷矩陣的元素一般采用1~9及其倒數(shù)的標(biāo)度方法。標(biāo)度含義135792，4，6，8倒數(shù)表示兩個(gè)因素相比，具有同樣重要性表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)比另一個(gè)稍微重要表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)比另一個(gè)明顯重要表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)比另一個(gè)強(qiáng)烈重要表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)比另一個(gè)極端重要表示上述兩相鄰判斷的中值若因素i與j比較得判斷Bij,則因素j與i

比較的判斷為Bji=1/Bij

10根據(jù)上面的例子，我們假定廠長(zhǎng)或職工代表大會(huì)根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造的數(shù)值判斷矩陣如下：

（1）相對(duì)于合理使用企業(yè)利潤(rùn)，促進(jìn)企業(yè)發(fā)展的總目標(biāo)，各考慮準(zhǔn)則之間的相對(duì)重要性比較(判斷矩陣A—B)：矩陣中的數(shù)值為兩個(gè)準(zhǔn)則相對(duì)于總目標(biāo)重要性比較的數(shù)值判斷。例如第二行第一列元素B21=5表示相對(duì)于企業(yè)發(fā)展來(lái)說(shuō)，提高企業(yè)技術(shù)水平準(zhǔn)則B2同調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性準(zhǔn)則(B1)相比，前者比后者明顯重要。其余類推。層次模型11(2)相對(duì)于調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性準(zhǔn)則，各方案之間的重要性比較(判斷矩陣B1—S)：(3)相對(duì)于提高企業(yè)技術(shù)水平準(zhǔn)則，各方案之間的重要性比較(判斷矩陣B2—S)：

層次模型12（4）相對(duì)于改善職工物質(zhì)文化生活準(zhǔn)則，各方案之間的重要性比較(判斷矩陣B3—S)：層次模型13層次分析法的基本步驟一、建立層次結(jié)構(gòu)分析模型二、構(gòu)造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗(yàn)四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗(yàn)14三、層次單排序及其一致性檢驗(yàn)所謂單排序是指本層各因素對(duì)上層某一因素的重要性次序。它由判斷矩陣的特征向量表示。例如，判斷矩陣A的特征問(wèn)題AW=λmaxW的解向量W，經(jīng)規(guī)一化后即為同一層次相應(yīng)因素對(duì)于上一層某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過(guò)程就稱為層次單排序。為保證層次單排序的可信性，需要對(duì)判斷矩陣一致性進(jìn)行檢驗(yàn)，亦即要計(jì)算隨機(jī)一致性比率。一致性指標(biāo)15

只有CR<0.1時(shí)，層次單排序的結(jié)果才認(rèn)為是滿意的，否則需要調(diào)整判斷矩陣元素的取值。判斷矩陣階數(shù)n12345678910RI000.580.91.121.241.321.411.451.49一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)一致性比率

心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)，即每層不要超過(guò)9個(gè)因素。16對(duì)于例子，判斷矩陣A-B相對(duì)重要性權(quán)值及λmax,CR分別為：判斷矩陣B1—S相對(duì)重要性權(quán)值及λmax，CR分別為：17判斷矩陣B2—S相對(duì)重要性權(quán)值及λmax，CR分別為：判斷矩陣B3—S相對(duì)重要性權(quán)值及λmax，CR分別為：顯然，符合一致性檢驗(yàn)要求18層次分析法的基本步驟一、建立層次結(jié)構(gòu)分析模型二、構(gòu)造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗(yàn)四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗(yàn)19四、層次總排序計(jì)算同一層次所有因素對(duì)于最上層相對(duì)重要性的排序權(quán)值，稱為層次總排序，這一過(guò)程是由最高層次到最低層次逐層進(jìn)行的。20對(duì)于例子，各方案相對(duì)于總目標(biāo)的層次總排序計(jì)算如下表

層次B對(duì)層次

A的排序

層次S對(duì)層次B的排序B1B2B3S層次總排序權(quán)重序號(hào)3120.1050.6370.258S1S2S3S4S5

0.4390.2640.0890.1460.06100.0550.5650.1180.2620.3750.3750.1250.1250W1=0.143W2=0.16W3=0.4W4=0.122W5=0.1734315221層次分析法的基本步驟一、建立層次結(jié)構(gòu)分析模型二、構(gòu)造判斷矩陣三、層次單排序及其一致性檢驗(yàn)四、層次總排序五、層次總排序的一致性檢驗(yàn)22五、層次總排序的組合一致性檢驗(yàn)在層次分析法的整個(gè)過(guò)程中，除了對(duì)每一個(gè)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)外，還要進(jìn)行所謂的組合一致性檢驗(yàn)。組合一致性檢驗(yàn)可以逐層進(jìn)行。定義23那么，第p層對(duì)第一層的組合一致性比率為只有當(dāng)CR<0.1時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性；否則需要重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。對(duì)于該例，通過(guò)計(jì)算得CR=0.0636<0.1，因此決策結(jié)果是可信的，即最優(yōu)方案為方案3。24

層次B對(duì)層次

A的排序

層次S對(duì)層次B的排序B1B2B3S層次總排序權(quán)重序號(hào)3120.1050.6370.258S1S2S3S4S5

0.4390.2640.0890.1460.06100.0550.5650.1180.2620.3750.3750.1250.1250W1=0.143W2=0.16W3=0.4W4=0.122W5=0.1734315225(1)作為獎(jiǎng)金發(fā)給職工

(2)擴(kuò)建職工宿舍、食堂、托兒所等福利設(shè)施

(3)辦職工業(yè)余技術(shù)學(xué)校

(4)建圖書館、俱樂(lè)部、文工團(tuán)與體工隊(duì)

(5)引進(jìn)技術(shù)設(shè)備進(jìn)行企業(yè)技術(shù)改造26272829303132B題眼科病床的合理安排醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費(fèi)處劃價(jià)、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊(duì)等待接受某種服務(wù)。我們考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。該醫(yī)院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫(yī)院眼科手術(shù)主要分四大類：白內(nèi)障、視網(wǎng)膜疾病、青光眼和外傷。附錄中給出了2008年7月13日至2008年9月11日這段時(shí)間里各類病人的情況。白內(nèi)障手術(shù)較簡(jiǎn)單，而且沒(méi)有急癥。目前該院是每周一、三做白內(nèi)障手術(shù)，此類病人的術(shù)前準(zhǔn)備時(shí)間只需1、2天。做兩只眼的病人比做一只眼的要多一些，大約占到60%。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時(shí)立即安排住院，住院后第二天便會(huì)安排手術(shù)。其他眼科疾病比較復(fù)雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內(nèi)就可以接受手術(shù)，主要是術(shù)后的觀察時(shí)間較長(zhǎng)。這類疾病手術(shù)時(shí)間可根據(jù)需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急癥數(shù)量較少，建模時(shí)這些眼科疾病可不考慮急癥。該醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，在考慮病床安排時(shí)可不考慮手術(shù)條件的限制，但考慮到手術(shù)醫(yī)生的安排問(wèn)題，通常情況下白內(nèi)障手術(shù)與其他眼科手術(shù)（急癥除外）不安排在同一天做。當(dāng)前該住院部對(duì)全體非急癥病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）規(guī)則安排住院，但等待住院病人隊(duì)列卻越來(lái)越長(zhǎng)，醫(yī)院方面希望你們能通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)幫助解決該住院部的病床合理安排問(wèn)題，以提高對(duì)醫(yī)院資源的有效利用。問(wèn)題一：試分析確定合理的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，用以評(píng)價(jià)該問(wèn)題的病床安排模型的優(yōu)劣。B題2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估B題2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估評(píng)價(jià)相對(duì)有效性的DEA模型

——決策方法的新領(lǐng)域35

1978年由著名的運(yùn)籌學(xué)家A.Charnes(查恩斯),W.W.Cooper(庫(kù)伯),及E.Rhodes(羅茲)首先提出了一個(gè)被稱為數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DataEnvelopmentanalysis,簡(jiǎn)稱DEA模型）的方法，用于評(píng)價(jià)相同部門間的相對(duì)有效性（因此被稱為DEA有效）.他們的第一個(gè)模型被命名為C2R模型.從生產(chǎn)函數(shù)的角度看,這一模型是用來(lái)研究具有多個(gè)輸入,特別是具有多個(gè)輸出的“生產(chǎn)部門”同時(shí)為“規(guī)模有效”與“技術(shù)有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,庫(kù)伯,格拉尼(B.Golany),賽福德(L.Seiford)和斯圖茨(J.Stutz)給出另一個(gè)模型(稱為C2GS2模型),這一模型用來(lái)研究生產(chǎn)部門間的“技術(shù)有效性”.361987年查恩斯,庫(kù)伯,魏權(quán)齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型——C2WH模型。這一模型可用來(lái)處理具有過(guò)多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取可以體現(xiàn)決策者的“偏好”.靈活地應(yīng)用這一模型,可以將C2R模型中確定出的DEA有效決策單元進(jìn)行分類或排隊(duì).

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域.查恩斯和庫(kù)伯等人的第一個(gè)應(yīng)用DEA的十分成功的案例,就是評(píng)價(jià)為弱智兒童開設(shè)公立學(xué)校項(xiàng)目的效果.在評(píng)估中,輸出包括“自尊”等無(wú)形的指標(biāo);輸入包括父母的照料和父母的文化程度等,無(wú)論哪種指標(biāo)都有無(wú)法與市場(chǎng)價(jià)格相比較,也難以輕易定出適當(dāng)?shù)臋?quán)重(權(quán)系數(shù)),這也是DEA的優(yōu)點(diǎn)之一.DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引眾多的應(yīng)用者,應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國(guó)軍用飛機(jī)的飛行,基地維修與保養(yǎng),以及陸軍征兵,城市,銀行37等方面.目前,這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域在不斷地?cái)U(kuò)大.它也可以用來(lái)研究多種方案之間的相對(duì)有效性(例如投資項(xiàng)目的評(píng)價(jià));研究在決策之前去預(yù)測(cè)一旦做出決策后它的相對(duì)效果如何(例如建立新廠后,新廠相對(duì)于已有的一些工廠是否為有效).DEA是對(duì)其決策單元（同類型的企業(yè)或部門）的投入規(guī)模、技術(shù)有效性作出評(píng)價(jià)，即對(duì)各同類型的企業(yè)投入一定數(shù)量的資金、勞動(dòng)力等資源后，其產(chǎn)出的效益（經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益）作一個(gè)相對(duì)有效性評(píng)價(jià)。為了說(shuō)明DEA模型的建模思路，我們看下面的例子38

某公司有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流動(dòng)資金x2、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表

企業(yè)指標(biāo)甲乙丙x1（萬(wàn)元）41527x2（萬(wàn)元）1545x3（人）825y1（萬(wàn)元）602224y2（萬(wàn)元）1268實(shí)例評(píng)價(jià)這幾個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率。39

由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個(gè)，故通常采用加權(quán)的辦法來(lái)綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。

對(duì)于第一個(gè)企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2，投入綜合值為4v1+15v2+8v3，

我們定義第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比即假定u1,u2,v1,v2,v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)40類似，可知第二、第三個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：

我們限定所有的生產(chǎn)效率hj值不超過(guò)1,即,這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來(lái)說(shuō)生產(chǎn)率最高，或者說(shuō)這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對(duì)有效的，若hk<1，那么該企業(yè)相對(duì)于其他企業(yè)來(lái)說(shuō)，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說(shuō)這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。41即因此，建立第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：這是一個(gè)分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求解。42分式規(guī)劃化為線性規(guī)劃4344對(duì)偶規(guī)劃4546

企業(yè)指標(biāo)甲乙丙x1（萬(wàn)元）41527x2（萬(wàn)元）1545x3（人）825y1（萬(wàn)元）602224y2（萬(wàn)元）1268投入產(chǎn)出47總結(jié)1.假定u1,u2,v1,v2,v3分別為產(chǎn)出與投入各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)2.定義各企業(yè)的生產(chǎn)效率48建立各企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型(分式規(guī)劃)如4.將分式規(guī)劃轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)P如495.再將LP轉(zhuǎn)化為對(duì)偶規(guī)劃50

設(shè)有n個(gè)同類型的企業(yè)（也稱決策單元），對(duì)于每個(gè)企業(yè)都有m種類型的“輸入”（表示該單元對(duì)“資源”的消耗）以及p種類型的“輸出”（表示該單元在消耗了“資源”之后的產(chǎn)出）。這n個(gè)企業(yè)及其輸入-輸出關(guān)系如下：評(píng)價(jià)決策單元技術(shù)和規(guī)模綜合效率的C2R模型51……:………:……y1ny2n:ypny1jy2j:ypj……:…y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p輸出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj……:…x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m投入nj…21

部門指標(biāo)

權(quán)數(shù)投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)表52每個(gè)決策單元的效率評(píng)價(jià)指數(shù)j=1,2,…,n每個(gè)決策單元相應(yīng)的效率評(píng)價(jià)指數(shù)53而第j0個(gè)決策單元的相對(duì)效率優(yōu)化評(píng)價(jià)模型為：

s.t.

vi,ur≥0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,p

（1）54

上述模型中xij,yrj為已知數(shù)（可由歷史資料或預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)得到），vi,ur為變量。模型的含義是以權(quán)系數(shù)vi,ur為變量，以所有決策單元的效率指標(biāo)hj為約束，以第j0個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)。即評(píng)價(jià)第j0個(gè)決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對(duì)于其他所有決策單元而言的。55

這是一個(gè)分式規(guī)劃模型，我們必須將它化為線性規(guī)劃模型才能求解。為此，令（2）56（2）寫成向量形式有:57其對(duì)偶問(wèn)