湖北部分重點中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

湖北部分重點中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．焦點坐標為，（0，4），且長半軸的橢圓方程為（）A. B.C. D.2．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.2 B.4C.6 D.83．過拋物線C：的準線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標為（）A. B.C. D.4．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應(yīng)為（）A. B.C. D.5．已知直線，，，則m值為（）A. B.C.3 D.106．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（）A. B.C. D.以上都不對7．內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.8．在中，內(nèi)角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.9．已知矩形，，，沿對角線將折起，若二面角的余弦值為，則與之間距離為（）A. B.C. D.10．曲線與曲線的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等11．已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.12．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓的半徑為3，，為該圓的兩條切線，為切點，則的最小值為___________.14．橢圓的右焦點為，過原點的直線與橢圓交于兩點、，則的面積的最大值為___________.15．在區(qū)間上隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于2的概率為___________.16．下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某書店剛剛上市了《中國古代數(shù)學(xué)史》，銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷，每種單價（元）試銷l天，得到如表單價（元）與銷量（冊）數(shù)據(jù)：單價（元）1819202122銷量（冊）6156504845（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請建立關(guān)于的回歸直線方程：（2）預(yù)計今后的銷售中，銷量（冊）與單價（元）服從（l）中的回歸方程，已知每冊書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤，該冊書的單價應(yīng)定為多少元？附：，，，.18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-mlnx-m.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有最小值g(m)，證明：g(m)在上恒成立.19．（12分）二項式展開式中第五項的二項式系數(shù)是第三項系數(shù)的4倍.求：（1）；（2）展開式中的所有的有理項.20．（12分）已知橢圓的左焦點與拋物線的焦點重合，橢圓的離心率為，過點作斜率不為0的直線，交橢圓于兩點，點，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值21．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為其前n項和，，（1）求的通項公式；（2）若，求證：為等比數(shù)列22．（10分）從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加射擊比賽，現(xiàn)對他們的射擊水平進行測試，兩人在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，（1）求，，，（2）你認為應(yīng)該選哪名學(xué)生參加比賽？為什么？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意可知，即可由求出，再根據(jù)焦點位置得出橢圓方程【詳解】因為，所以，而焦點在軸上，所以橢圓方程為故選：B2、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合等差數(shù)列下標的性質(zhì)、等差數(shù)列通項公式進行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，故選：B3、D【解析】設(shè)切點，點，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準線方程可得，將問題轉(zhuǎn)化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點，點由題意，拋物線C的準線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.4、C【解析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】用表示這個數(shù)列，依題意，，則，，第四個數(shù)即.故選：C.5、C【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，且，所以，解得；故選：C6、C【解析】根據(jù)目標式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】.故選：C7、C【解析】利用正弦定理可求得邊的長.【詳解】由正弦定理得.故選：C.8、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.9、C【解析】過點在平面內(nèi)作，過點在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，分析可知二面角的平面角為，利用余弦定理求出，證明出，再利用勾股定理可求得的長.【詳解】過點在平面內(nèi)作，過點在平面內(nèi)作，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因為，，，則，因為，由等面積法可得，同理可得，由勾股定理可得，同理可得，，因為四邊形為平行四邊形，且，故四邊形為矩形，所以，，因為，所以，二面角的平面角為，在中，，，由余弦定理可得，，，，則，，因為，平面，平面，則，，由勾股定理可得.故選：C.10、D【解析】分別求出兩曲線表示的橢圓的位置，長軸長、短軸長、離心率和焦距，比較可得答案.【詳解】曲線表示焦點在x軸上的橢圓，長軸長為10，短軸長為6，離心率為,焦距為8,曲線焦點在x軸上的橢圓，長軸長為，短軸長為，離心率為,焦距為,故選：D11、C【解析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結(jié)論【詳解】解：故選：【點睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時注意方法，即從要表示的向量的起點出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個過程，屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)（），，則，，，根據(jù)數(shù)量積的定義和余弦的二倍角公式結(jié)合基本不等式即可求解詳解】如圖所示，設(shè)（），，則，，，，當且僅當即時等號成立，∴的最小值是.故答案為：14、【解析】分析可知點、關(guān)于原點對稱，可知當、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值.【詳解】橢圓中，，，則，則，由題意可知，、關(guān)于原點對稱，當、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值，且最大值為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設(shè)“區(qū)間上隨機取1個數(shù)”，對應(yīng)集合為，區(qū)間長度為3，“取到的數(shù)小于2”，對應(yīng)集合為，區(qū)間長度為1，所以.故答案為：16、9【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為可得，乙組的平均數(shù)：，解得：，則:點睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當單價應(yīng)定為22.5元時，可獲得最大利潤【解析】（l）先計算的平均值，再代入公式計算得到（2）計算利潤為：計算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對的回歸直線方程為：（2）設(shè)獲得的利潤為，，因為二次函數(shù)的開口向下，所以當時，取最大值，所以當單價應(yīng)定為22.5元時，可獲得最大利潤【點睛】本題考查了回歸方程，函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計算能力.18、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得函數(shù)的最小值，再利用導(dǎo)數(shù)可證不等式.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，且，當時，在上恒成立，所以此時在上為增函數(shù)，當時，由，解得，由，解得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，綜上：當時，在上為增函數(shù)，當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；【小問2詳解】由（1）知:當時，在上為增函數(shù)，無最小值.當時，在上上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即，則，由，解得，由，解得，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即在上恒成立.19、（1）6；（2），，【解析】（1）先得到二項展開式的通項，再根據(jù)第五項的二項式系數(shù)是第三項系數(shù)的4倍，建立方程求解.（2）根據(jù)（1）的通項公式求解.【詳解】（1）二項展開式的通項.依題意得，，所以，解得.（2）由（1）得，當，3，6時為有理項，故有理有，，.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)（2）【解析】（1）由拋物線焦點可得c，再根據(jù)離心率可得a，即得b；（2）先設(shè)直線方程x=ty+m，根據(jù)向量數(shù)量積表示，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理代入化簡可得為定值的條件，解出m；根據(jù)點到直線距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據(jù)面積公式可得關(guān)于t的函數(shù)，最后根據(jù)基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：（1）設(shè)F1（﹣c，0），∵拋物線y2=﹣4x的焦點坐標為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點F與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，∴c=1，又橢圓E的離心率為，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故橢圓Γ的標準方程為：（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣要使為定值，則，解得m=1或m=（舍）當m=1時，|AB|=|y1﹣y2|=，點O到直線AB的距離d=，△OAB面積S=∴當t=0，△OAB面積的最大值為.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由已知條件列出關(guān)于的方程組，解