黑龍江省哈三中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

黑龍江省哈三中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.無(wú)數(shù)個(gè) D.0或無(wú)數(shù)個(gè)2．△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.3．直線(xiàn)l的方向向量為，且l過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為()A B.C. D.4．在等差數(shù)列中，若，則（）A.5 B.6C.7 D.85．橢圓＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF的面積是20，則直線(xiàn)AB的斜率為（）A. B.C. D.6．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.7．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量t由2變到2.5時(shí)，函數(shù)的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.118．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.9．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角為（）A. B.0C. D.110．若直線(xiàn)與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.311．若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，,兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.12．若雙曲線(xiàn)（，）的焦距為，且漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此雙曲線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，求_____________.14．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________15．如圖，已知與所在平面垂直，且，，，點(diǎn)P、Q分別在線(xiàn)段BD、CD上，沿直線(xiàn)PQ將向上翻折，使D與A重合．則直線(xiàn)AP與平面ACQ所成角的正弦值為_(kāi)_____16．兩條平行直線(xiàn)與的距離是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù).（1）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式（其中）.18．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶7次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲6978856乙a398964經(jīng)計(jì)算可得甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)是一樣的（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，判斷甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員哪一位的成績(jī)更穩(wěn)定？20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).21．（12分）函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）某電腦公司為調(diào)查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機(jī)抽取200名用戶(hù)，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計(jì)如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計(jì)樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內(nèi)的用戶(hù)中進(jìn)行分層抽樣，抽取6人，再?gòu)闹须S機(jī)選取2人贈(zèng)送小禮品，求恰有1人在內(nèi)的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式討論公比的取值即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以無(wú)解，即方程的解的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，綜上，關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為0或無(wú)數(shù)個(gè).故選：D.2、D【解析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)得出，再由橢圓的定義得頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線(xiàn)的情況，可求得頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線(xiàn)的情況，即，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求解時(shí)，注意去掉不滿(mǎn)足的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可計(jì)算.【詳解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距離故選：C.4、B【解析】由得出.【詳解】由可得，故選：B5、A【解析】分情況討論當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，可求面積，檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足條件，當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程y＝kx，聯(lián)立橢圓方程，可求△ABF2的面積為S＝2代入可求k【詳解】由橢圓＝1，則焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)①當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x＝0，此時(shí)AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設(shè)直線(xiàn)AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故選：A6、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，，故選：B7、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.8、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題的真假，根據(jù)大角對(duì)大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.【詳解】解：若，且，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.9、A【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得切線(xiàn)斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設(shè)傾斜角為，則，，故選：A10、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線(xiàn)互相垂直的關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因直線(xiàn)與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C11、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，,，∴直線(xiàn)的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D12、B【解析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】雙曲線(xiàn)（，）的焦距為，故，.且漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，故，雙曲線(xiàn)方程為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)方程，意在考查學(xué)生對(duì)于雙曲線(xiàn)基本知識(shí)的掌握情況.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.14、【解析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線(xiàn)上，再求導(dǎo)，代入切線(xiàn)方程公式即可【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線(xiàn)上求導(dǎo)得：，所以故切線(xiàn)方程為故答案為：15、##【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出，再由空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，如圖以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，由，即，解得，所以，故，設(shè)為平面ACQ的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，由，即，所以，設(shè)直線(xiàn)AP與平面ACQ所成角為，則.故答案為：16、5【解析】根據(jù)兩平行直線(xiàn)，可求得a值，根據(jù)兩平行線(xiàn)間距離公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)閮善叫兄本€(xiàn)與，所以，解得，所以?xún)善叫芯€(xiàn)的距離.故答案為：5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】(1)當(dāng)時(shí)將原不等式變形為，根據(jù)基本不等式計(jì)算即可；(2)將原不等式化為，求出參數(shù)a分別取值、、時(shí)的解集.【小問(wèn)1詳解】不等式即為：，當(dāng)時(shí)，不等式可變形為：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是；【小問(wèn)2詳解】不等式，即，等價(jià)于，轉(zhuǎn)化為；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不等式的解集為；?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不等式的解集為；?dāng)時(shí)，因?yàn)椋圆坏仁降慕饧癁?；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.18、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，利用基本量代換列方程組求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的首項(xiàng)和公比，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法直接求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由已知得：，即，又，解得或（舍去），所以.，又，，，；【小問(wèn)2詳解】，.19、（1）10；（2）甲的成績(jī)比乙更穩(wěn)定.【解析】（1）根據(jù)甲乙成績(jī)求他們的平均成績(jī)，由平均成績(jī)相等列方程求參數(shù)a的值.（2）由已知數(shù)據(jù)及（1）的結(jié)果，求甲乙的方差并比較大小，即可知哪位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)更穩(wěn)定.【小問(wèn)1詳解】由題意，甲的平均成績(jī)?yōu)椋业钠骄煽?jī)?yōu)?，又甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)是一樣的，有，解得，故實(shí)數(shù)a為10；【小問(wèn)2詳解】甲的方差，乙的方差，由，知：甲的成績(jī)比乙更穩(wěn)定.20、（1）當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.（2）0.【解析】（1）求得，對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，即可由每種情況下的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意求得，利用進(jìn)行放縮，只需證即，再利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)證明從而得到恒成立，則問(wèn)題得解.【小問(wèn)1詳解】以為，其定義域?yàn)?，又，故?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)，在單調(diào)遞增；當(dāng)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，故可得，則，；下證恒成立，令，則，故在單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故在恒成立，即；因?yàn)椋?，令，下證在恒成立，要證恒成立，即證，又，故即證，令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，也即；令，則，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞減，令，解得，此時(shí)該函數(shù)單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，也即；又，故恒成立，則在恒成立，又，故當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的處理；本題第二問(wèn)處理的關(guān)鍵是通過(guò)分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，證明恒成立，屬綜合困難題.21、（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?，求得，分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，由題意可知恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，驗(yàn)證是否成立，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，令得.若，則；若，則.①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）設(shè)，，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時(shí)，，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由于，，，所以，存在，使得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.故，不符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題.22、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數(shù)分?jǐn)?shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機(jī)選取2人的所有