第一章1.31.3.2空間向量運算的坐標表示課件高中數(shù)學人教A版選擇性

空間向量運算的坐標表示第一章

空間向量及其運算的坐標表示1.掌握空間向量運算的坐標表示.2.掌握空間兩點間的距離公式.3.會用向量的坐標解決一些簡單的幾何問題.學習目標前面我們通過引入空間直角坐標系，將空間向量的坐標與空間點的坐標一一對應起來.那么有了空間向量的坐標表示，類比平面向量的坐標運算，同學們是否可以探究出空間向量運算的坐標表示并給出證明？導語隨堂演練課時對點練一、空間向量運算的坐標表示二、空間向量平行、垂直的坐標表示及應用三、夾角和距離的計算內容索引一、空間向量運算的坐標表示向量運算向量表示坐標表示加法a＋b______________________減法a－b________________________數(shù)乘λa______________數(shù)量積a·b________________設向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)知識梳理(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3注意點：(1)空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致.(2)設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則

＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線性運算的結果仍是向量，用坐標表示；數(shù)量積的結果為數(shù)量.例1

(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝_____.解析易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.－4①求頂點B，C的坐標；解設B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以點B的坐標為(6，－4,5).所以點C的坐標為(9，－6,10).解設P(x2，y2，z2)，反思感悟空間向量坐標運算的規(guī)律及注意點(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定.(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算.(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標.4∴a·b＝1＋0＋3＝4.二、空間向量平行、垂直的坐標表示及應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有平行關系：當b≠0時，a∥b?a＝λb?

，

，________(λ∈R)；垂直關系：a⊥b?a·b＝0?

.a1＝λb1a2＝λb2知識梳理a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0注意點：(1)要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb(b≠0).所以2a－b＝(3,2，－2)，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.②若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解如圖所示，以點D為原點，由題意，可設點P的坐標為(a，a,1)，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，延伸探究1.若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ，其他條件不變，結果如何？設正方體棱長為1，點Q的坐標為(c，c,0)，因為B1Q⊥EQ，所以點Q是線段BD的中點，2.本例中若點G是A1D的中點，點H在平面Dxy上，且GH∥BD1，試判斷點H的位置.設正方體的棱長為1，因為點G是A1D的中點，因為點H在平面Dxy上，設點H的坐標為(m，n,0)，且GH∥BD1，所以點H為線段AB的中點.反思感悟(1)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程(組)求解.(2)利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明.跟蹤訓練2

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝

CE＝EF＝1.(1)求證：AF∥平面BDE；證明設AC與BD交于點G，連接EG.所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG.因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)求證：CF⊥平面BDE.證明因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系Cxyz.即CF⊥BE，CF⊥DE.又BE∩DE＝E，且BE?平面BDE，DE?平面BDE，所以CF⊥平面BDE.三、夾角和距離的計算問題你能利用空間向量運算的坐標表示推導空間兩點間的距離公式嗎？提示如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，因此，空間中已知兩點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，注意點：(1)空間兩點間的距離公式類似于平面中的兩點之間的距離公式，可以類比記憶.知識梳理例3

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1，CB1的中點.(1)求BM，BN的長.解以C為原點，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖.(2)求△BMN的面積.反思感悟利用空間向量的坐標運算的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當?shù)目臻g直角坐標系.(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標.(3)論證、計算：結合公式進行論證、計算.(4)轉化：轉化為平行與垂直、夾角與距離問題.跟蹤訓練3

如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝H為C1G的中點.(1)求證：EF⊥B1C；證明如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，D為坐標原點，(2)求FH的長；(3)求EF與C1G所成角的余弦值.1.知識清單：(1)向量的坐標的運算.(2)向量的坐標表示的應用.2.方法歸納：類比、轉化.3.常見誤區(qū)：(1)由兩向量共線直接得到兩向量對應坐標的比相等.(2)求異面直線所成的角時易忽略范圍；討論向量夾角忽略向量共線的情況.課堂小結隨堂演練1.已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標原點，

則點B的坐標應為A.(－1,3，－3) B.(9,1,1)C.(1，－3,3) D.(－9，－1，－1)√12342.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝

且λ>0，則λ等于A.5√1234解析λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是√1234解析依題意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，1234課時對點練1.已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，則b等于A.(2，－4,2) B.(－2,4，－2)C.(－2,0，－2) D.(2,1，－3)√解析b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2).基礎鞏固12345678910111213141516解析設點C的坐標為(x，y，z)，12345678910111213141516√3.已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于解析∵a－b＋2c＝(9,3,0)，12345678910111213141516√4.已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀是A.等腰三角形

B.等邊三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形√12345678910111213141516所以△ABC是直角三角形.5.空間中點A(3,3,1)關于平面Oxy的對稱點A′與B(－1，1,5)的長度為√解析點A(3,3,1)關于平面Oxy的對稱點A′的坐標為(3,3，－1)，所以A′與B(－1,1,5)的長度為123456789101112131415166.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝

若(a＋b)·c＝7，則a與c的夾角為A.30°°

C.120°°√解析a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，12345678910111213141516所以〈a，c〉＝120°.12345678910111213141516解析以O為坐標原點，OA，OO1所在直線分別為y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，12345678910111213141516(－1,3,3)解析設點P(x，y，z)，12345678910111213141516得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，即P(－1,3,3).解由空間兩點間的距離公式得1234567891011121314151610.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB＝

BC＝1，PA＝2，E為PD的中點.12345678910111213141516(1)求AC與PB所成角的余弦值；解由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC與PB的夾角為θ，12345678910111213141516(2)在側面PAB內找一點N，使NE⊥平面PAC，求N點的坐標.1234567891011121314151612345678910111213141516解由于N點在側面PAB內，故可設N點坐標為(x,0，z)，11.已知點A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，則A，B兩點的距離的最小值為√解析因為點A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，所以|AB|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2，12345678910111213141516綜合運用12.(多選)從點P(1,2,3)出發(fā)，沿著向量v＝(－4，－1,8)方向取點Q，使|PQ|＝18，則Q點的坐標為A.(－1，－2,3) B.(9,4，－13)C.(－7,0,19) D.(1，－2，－3)√12345678910111213141516√即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1,8).12345678910111213141516所以λ＝±2，所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝±2(－4，－1,8)，12345678910111213141516因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，12345678910111213141516若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，1234567891011121314151614.已知棱長為a的正四面體ABCD，如圖，建立空間直角坐標系，O為A在底面上的射影，M，N分別為線段AB，AD的中點，則M的坐標是___________________，CN與DM所成角的余弦值為_____.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究1234567891011121314151615.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，A