非線性方程的數(shù)值解法

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《計(jì)算方法》

期末論文

論文題目非線性方程的數(shù)值解法

學(xué)院專業(yè)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師日期

目錄

摘要第1章緒論

1.1問題的提出和研究目的和意義1.2國內(nèi)外相關(guān)研究綜述1.3論文的結(jié)構(gòu)與研究方法第2章非線性方程的數(shù)值解法2.1二分法2.2迭代法

2.3迭代法的局部收斂性及收斂的階2.4牛頓迭代法2.5牛頓法的改進(jìn)2.6插值

摘要",

數(shù)值計(jì)算方法，是一種研究解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值近似解方法，它的計(jì)算對(duì)象是那些。

在理論上有解而又無法用手工計(jì)算的數(shù)學(xué)問題。在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都要用到各種計(jì)算方法。例如",在地質(zhì)勘探、汽車制造、橋梁設(shè)計(jì)、天氣預(yù)報(bào)和漢字設(shè)計(jì)中都有計(jì)算方法的蹤影。本文探討了非線性方程的數(shù)值解法：非線性方程的二分法、迭代法原理、牛頓迭代法，迭代法的收斂性條件及適合非線性方程的插值法等等。

第1章緒論

可以證明插值多項(xiàng)式L(x)n存在并唯一。拉格朗日插值多項(xiàng)式的算法",step1.輸入",插值節(jié)點(diǎn)控制數(shù)n",插值點(diǎn)序列",iix,yi=0,1,…,n",要計(jì)算的函數(shù)點(diǎn)x。step2.FORi=0,1,…,n",i制拉格朗日基函數(shù)序列問題的提出和研究目的和意義非線性方程的問題在工程實(shí)踐中有好多用途",研究其數(shù)值解法是當(dāng)前一個(gè)研究方向。目前已有相當(dāng)一部分算法在廣泛使用于工程實(shí)踐中。非線性方程組和無約束最優(yōu)化的數(shù)值解法",一直是數(shù)值優(yōu)化領(lǐng)域中熱門的研究課題。本文對(duì)傳統(tǒng)的方法進(jìn)行改進(jìn)和提出新的算法",該算法不僅有重要的論價(jià)值，而且有很高的實(shí)用價(jià)值。例如在天體力學(xué)中，有如下Kepler",開普勒方程",x-t-",sinx=0,0<",<1,其中t表示時(shí)間",x表示弧度，行星運(yùn)動(dòng)的軌道x是t的函數(shù)。也就是說，對(duì)每個(gè)時(shí)刻it",上述方程有唯一解ix，運(yùn)動(dòng)軌道位置。

國內(nèi)外相關(guān)研究綜述隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展和計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用",求解形如F(x)=0的非線性方程組問題越來越多的被提出來了",其中F是的連續(xù)可微函數(shù)。例如非線性有限元問題、非線性斷裂問題、彈塑性問題、電路問題、電子系統(tǒng)計(jì)算以及經(jīng)濟(jì)與非線性規(guī)劃問題等都可轉(zhuǎn)化為非線性方程組的求解問題。只要包含有未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的非線性項(xiàng)的微分方程，無論是用差分方法或有限元方法，離散化后得到的方程組都是非線性方程組。與線性方程組相比,非線性方程組的求解問題無論在理論上還是在解法上都不如線性方程組成熟和有效.例如,非線性方程組是否有解,有多少解,理論上都沒有很好的

解法,而對(duì)于非線性方程組,除了形式極為特別的小型方程組以外,直接解法幾乎是不可能的.因而,我們主要考慮迭代解法.一般都是采用線性化的方法去構(gòu)造各種形式的迭代系列.尋常都要探討以下幾個(gè)基本問題:第一個(gè)問題是,迭代點(diǎn)列的適定性問題,即要求迭代點(diǎn)列是有意義的.例如對(duì)于牛頓法,Jacobi矩陣必需是非奇異的.其次個(gè)問題,也是最基本的問題,生成的迭代點(diǎn)列的收斂性以及極限點(diǎn)是否為方程組的解.最終一個(gè)問題是,迭代點(diǎn)列的收斂速度問題.

早在七十年代以前,大量學(xué)者在理論上和數(shù)值解法上都對(duì)非線性方程組做了大量的研究.OrtegaRheinboldt系統(tǒng)的介紹了n階非線性方程組的基本理論成果,并對(duì)牛頓法,延拓法等幾種主要迭代法作了詳盡的分析.另外,也有一些學(xué)者把非線性方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為微小化問題,得到一類稱為微小化方法的迭代法,如下降法,共軛方向法,Gauss-Newton法等,李,莫&祁詳細(xì)介紹了一些適合在計(jì)算機(jī)上求解的有效算法,如Broyden算法,以及近十幾年來發(fā)展的新方法,如區(qū)間迭代法,單調(diào)迭代法和單純形法等.論文的結(jié)構(gòu)與研究方法

1.欲解決的主要問題是：綜合當(dāng)前各類非線性方程的數(shù)值解法，通過對(duì)比分析，二分法，迭代法，牛頓——雷扶生方法，迭代法的收斂階和加速收斂方法，解非線性方程的插值方法，這以上五種的算法應(yīng)用對(duì)某個(gè)具體實(shí)際問題選擇相應(yīng)的數(shù)值解法。

2.對(duì)比各類數(shù)值算法",分析其優(yōu)缺點(diǎn)",并應(yīng)用到具體的實(shí)際問題中。

3．利用計(jì)算機(jī)MATLAB語言對(duì)非線性方程的數(shù)值解法進(jìn)行程序設(shè)計(jì)。

研究的基本思路是結(jié)合目標(biāo)所提出的問題針對(duì)各種方法來具體分析對(duì)比",

(1)二分法起始區(qū)間[a,b]必需滿足f(a)與f(b)符號(hào)相反的條件。二分法的第一部是選擇中點(diǎn)c=(a+b)/2，然后分析可能存在的三種狀況假如f(a)和f(c)符號(hào)相反，則在區(qū)間[a,c]內(nèi)存在零點(diǎn)。假如f(c)和f(b)符號(hào)相反",則在區(qū)間[c,b]內(nèi)存在零點(diǎn)。假如f(c)=0，則c是零點(diǎn)。（2）迭代法迭代是指重復(fù)執(zhí)行一個(gè)計(jì)算過程，直到找到答案。首先需要有一個(gè)用于逐項(xiàng)計(jì)算的規(guī)劃或函數(shù)g(x)，并且有一個(gè)起始po。然后通過迭代規(guī)矩k",1p=g(kp)，可得到序列值{kp}。(3)牛頓——雷扶生法假如f(x)f‘(x)和f\在根p附近連續(xù)則可將它作為f(x)的特性,用于開發(fā)產(chǎn)生收斂到根p的序列{kp}的算法。而且這種算法產(chǎn)生序列{kp}的速度比二分法快。牛頓——雷扶生法依靠于f’(x)和f\(x)的連續(xù)性,是這類方法中已知的最有用和最好的方法之一。

(4)迭代法的收斂階和收斂方法、割線法只計(jì)算f(x)不計(jì)算f’(x)",而且在單根上的收斂階R1.618033989。割線法比牛頓法收斂速度慢一些??頓法的收斂階為2。