湘教版（2023） 必修第二冊(cè)4.1空間的幾何體 課件+學(xué)案（共6份打包）

第第頁(yè)湘教版（2023）必修第二冊(cè)4.1空間的幾何體課件+學(xué)案（共6份打包）4.1.1幾類簡(jiǎn)單幾何體(1)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一空間幾何體

1．空間幾何體的定義

如果我們只考慮物體的________和________，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形稱為空間幾何體．

2．空間幾何體的分類

多面體旋轉(zhuǎn)體

定義由若干個(gè)____________(包括三角形)所圍成的封閉體．把平面上一條封閉曲線內(nèi)的區(qū)域繞著該平面內(nèi)的一條________旋轉(zhuǎn)而成的幾何體．

圖形

相關(guān)概念面：圍成多面體的各個(gè)多邊形；棱：兩個(gè)面的公共邊；頂點(diǎn)：棱和棱的交點(diǎn)．軸：定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．

狀元隨筆(1)任意一個(gè)幾何體都是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的．點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素．

我們還可以從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)理解空間基本圖形之間的關(guān)系．在幾何中，可以把線看成點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向始終不變，那么它的軌跡就是一條直線或線段；如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向時(shí)刻在變化，則運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條曲線或曲線的一段．同樣，一條線運(yùn)動(dòng)的軌跡可以是一個(gè)面，面運(yùn)動(dòng)的軌跡(經(jīng)過(guò)的空間部分)可以形成一個(gè)幾何體．即點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．

(2)多面體與旋轉(zhuǎn)體的異同

相同點(diǎn)：兩者都是封閉的幾何體，包括表面及其內(nèi)部的所有點(diǎn)．

不同點(diǎn)：多面體的表面是平面多邊形，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面是曲面，底面為圓．

要點(diǎn)二多面體

多面體定義圖形及表示相關(guān)概念特殊幾何體

棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是______________，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相________，由這些面所圍成的幾何體叫作棱柱．如圖可記作：棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個(gè)互相________的面；側(cè)面：其余各面；側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn)：側(cè)棱與底面的公共點(diǎn)．直棱柱：側(cè)面都是________的棱柱；正棱柱：底面是________多邊形的直棱柱；長(zhǎng)方體：底面和側(cè)面都是矩形的棱柱；正方體：所有棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體；平行六面體：兩個(gè)底面是平行四邊形的棱柱．

棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)________的三角形，這樣的幾何體叫作棱錐．如圖可記作：棱錐SABCD側(cè)面：具有一個(gè)________的三角形的面；頂點(diǎn)：這個(gè)公共點(diǎn)；側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊；底面：除了側(cè)面外，剩下的那一個(gè)多邊形面．正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，將底面放置后，它的頂點(diǎn)又在過(guò)正多邊形________的鉛垂線上．

棱臺(tái)過(guò)棱錐任一側(cè)棱上不與側(cè)棱端點(diǎn)重合的一點(diǎn)，作一個(gè)與底面________的平面去截棱錐，截面和棱錐底面之間的這部分幾何體叫作棱臺(tái)．如圖可記作：棱臺(tái)ABCDA′B′C′D′上底面：截面；下底面：原棱錐的底面；側(cè)面：其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊．正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)．

基礎(chǔ)自測(cè)

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)棱柱的所有側(cè)棱都平行且相等．()

(2)棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形．()

(3)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．()

(4)正三棱錐也稱為正面體．()

2．下面圖形中，為棱錐的是()

A.①③B．①③④

C．①②④D．①②

3．下列圖形中，是棱臺(tái)的是()

4．下面屬于多面體的是________(填序號(hào))．

①建筑用的方磚；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

題型1棱柱的結(jié)構(gòu)特征

例1(1)下面的幾何體中是棱柱的有()

A.3個(gè)B．4個(gè)

C．5個(gè)D．6個(gè)

(2)(多選)下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法中正確的是()

A．所有的面都是平行四邊形

B．每一個(gè)面都不會(huì)是三角形

C．兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行

D．被平面截成的兩部分可以都是棱柱

方法歸納

判斷棱柱的兩種方法

1．扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．

①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．

2．舉反例：通過(guò)舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除.

題型2棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

例2(1)(多選)下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法正確的是()

A．棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形

B．棱錐的側(cè)面只能是三角形

C．由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐

D．棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐

(2)

如圖，在三棱臺(tái)A′B′C′ABC中，截去三棱錐A′ABC，則剩余部分是()

A．三棱錐

B．四棱錐

C．三棱柱

D．三棱臺(tái)

方法歸納

判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩種方法

(1)舉反例法

結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確．

(2)直接法

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

題型多面體的平面展開圖

例3(1)某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為(對(duì)面是相同的圖案)()

(2)

如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5cm，4cm，3cm.一只螞蟻從A點(diǎn)到C1點(diǎn)沿著表面爬行的最短路程是多少？

方法歸納

判斷棱柱的兩種方法

1．繪制展開圖：繪制多面體的平面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過(guò)程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來(lái)，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖．

2．由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過(guò)程逆推，同一個(gè)幾何體的平面展開圖可能是不一樣的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)平面展開圖．

跟蹤訓(xùn)練1(多選)如圖所示，不是正四面體(各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)的展開圖的是()

易錯(cuò)辨析憑直觀感覺判斷幾何體致誤

例4對(duì)如圖所示的幾何體描述正確的是________(填序號(hào))．

①這是一個(gè)六面體；

②這是一個(gè)四棱臺(tái)；

③這是一個(gè)四棱柱；

④此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)小三棱柱而得到；

⑤此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱而得到．

解析：因?yàn)樵搸缀误w有六個(gè)面，屬于六面體，①正確．因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，②錯(cuò)誤．如果把幾何體正面或背面作為底面就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱，③正確．④⑤都正確，如圖(1)(2)所示．

答案：①③④⑤

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

易直觀上感覺是棱臺(tái)，忽略此幾何體側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，錯(cuò)選②.解答關(guān)于空間幾何體概念的判斷時(shí)，要注意緊扣定義，這就需要我們熟悉各種空間幾何體概念的內(nèi)涵和外延，切記勿只憑圖形主觀臆斷．

課堂十分鐘

1．(多選)下列命題中，正確的命題是()

A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形

B．棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)公共頂點(diǎn)

C．多面體至少有四個(gè)面

D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)

2．用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐，截面形狀是()

A．四邊形B．三角形

C．三角形或四邊形D．不可能為四邊形

3．在下列四個(gè)平面圖形中，每個(gè)小四邊形皆為正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個(gè)正方體的圖形是()

4．一個(gè)棱柱至少有________個(gè)面，頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)有________條側(cè)棱．

5.

如圖所示，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1.

(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

(2)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？如果不是，說(shuō)明理由．

4．1.1幾類簡(jiǎn)單幾何體(1)

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)一

1．形狀大小

2．平面多邊形定直線

要點(diǎn)二

平行四邊形平行平行矩形正公共頂點(diǎn)公共頂點(diǎn)中心平行

[基礎(chǔ)自測(cè)]

1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×

2．解析：根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐．

答案：C

3．解析：由棱臺(tái)的定義知，A、D項(xiàng)的側(cè)棱延長(zhǎng)線不交于一點(diǎn)，所以不是棱臺(tái)；B項(xiàng)中兩個(gè)面不平行，不是棱臺(tái)，只有C項(xiàng)符合棱臺(tái)的定義．

答案：C

4．解析：①②屬于多面體，③④屬于旋轉(zhuǎn)體．

答案：①②

題型探究·課堂解透

例1解析：(1)棱柱有三個(gè)特征：1〉有兩個(gè)面相互平行；2〉其余各面是四邊形；3〉側(cè)棱相互平行．本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個(gè)特征，而①②③④⑤符合．

(2)棱柱的底面不一定是平行四邊形，A錯(cuò)誤；

棱柱的底面可以是三角形，B錯(cuò)誤；

由棱柱的定義易知，C正確；

棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，D正確．所以正確說(shuō)法的序號(hào)是CD.

答案：(1)C(2)CD

例2解析：(1)棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形，A項(xiàng)正確；由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形，B項(xiàng)正確；由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐，C項(xiàng)正確；如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐，D項(xiàng)錯(cuò)誤．

(2)由題圖知，在三棱臺(tái)A′B′C′ABC中，截去三棱錐A′ABC，剩下的部分如圖所示，故剩余部分是四棱錐A′BB′C′C.

答案：(1)ABC(2)B

例3解析：(1)因?yàn)槭菍?duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，所以當(dāng)盒子展開后相同的圖案就不可能靠在一起，只有A中沒有相同的圖案靠在一起．

(2)依題意，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的表面可有如圖所示的三種展開圖．

展開后，A，C1兩點(diǎn)間的距離分別為：＝(cm)，＝4(cm)，＝3(cm)，三者比較得cm為螞蟻從A點(diǎn)沿表面爬行到C1點(diǎn)的最短路程．

答案：(1)A(2)見解析

跟蹤訓(xùn)練1解析：可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)A、B可折成正四面體，C、D不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊都不能折成正四面體．

答案：CD

[課堂十分鐘]

1．解析：根據(jù)各種幾何體的概念與結(jié)構(gòu)特征判斷命題的真假．A、B項(xiàng)均為真命題；對(duì)于C項(xiàng)，一個(gè)圖形要成為空間幾何體，則它至少需有4個(gè)頂點(diǎn)，3個(gè)頂點(diǎn)只能構(gòu)成平面圖形，當(dāng)有4個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，可圍成4個(gè)面，所以一個(gè)多面體至少應(yīng)有4個(gè)面，而且這樣的面必是三角形，故C項(xiàng)也是真命題；對(duì)于D項(xiàng)，只有當(dāng)截面與底面平行時(shí)才對(duì)．

答案：ABC

2．解析：按如圖①所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是四邊形．

答案：C

3．解析：動(dòng)手將四個(gè)選項(xiàng)中的平面圖形折疊，看哪一個(gè)可以折疊圍成正方體即可．

答案：C

4．解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5個(gè)面；頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)是三棱臺(tái)，它有3條側(cè)棱．

答案：53

5．解析：(1)該長(zhǎng)方體是棱柱，并且是四棱柱，因?yàn)橐蚤L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面作底面都是四邊形，其余各面都是矩形，當(dāng)然是平行四邊形，并且四條側(cè)棱互相平行．

(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．

截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面．(共34張PPT)

4.1.1幾類簡(jiǎn)單幾何體(1)

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一空間幾何體

1．空間幾何體的定義

如果我們只考慮物體的________和________，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形稱為空間幾何體．

形狀

大小

2．空間幾何體的分類

多面體旋轉(zhuǎn)體

定義由若干個(gè)____________(包括三角形)所圍成的封閉體．把平面上一條封閉曲線內(nèi)的區(qū)域繞著該平面內(nèi)的一條________旋轉(zhuǎn)而成的幾何體．

圖形

相關(guān)概念面：圍成多面體的各個(gè)多邊形；棱：兩個(gè)面的公共邊；頂點(diǎn)：棱和棱的交點(diǎn)．軸：定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．

平面多邊形

定直線

狀元隨筆

(1)任意一個(gè)幾何體都是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的．點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素．

我們還可以從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)理解空間基本圖形之間的關(guān)系．在幾何中，可以把線看成點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向始終不變，那么它的軌跡就是一條直線或線段；如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向時(shí)刻在變化，則運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條曲線或曲線的一段．同樣，一條線運(yùn)動(dòng)的軌跡可以是一個(gè)面，面運(yùn)動(dòng)的軌跡(經(jīng)過(guò)的空間部分)可以形成一個(gè)幾何體．即點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．

(2)多面體與旋轉(zhuǎn)體的異同

相同點(diǎn)：兩者都是封閉的幾何體，包括表面及其內(nèi)部的所有點(diǎn)．

不同點(diǎn)：多面體的表面是平面多邊形，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面是曲面，底面為圓．

要點(diǎn)二多面體

多面體定義圖形及表示相關(guān)概念特殊幾何體

棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是___________，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相________，由這些面所圍成的幾何體叫作棱柱．如圖可記作：棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個(gè)互相______的面；側(cè)面：其余各面；側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn)：側(cè)棱與底面的公共點(diǎn)．直棱柱：側(cè)面都是______的棱柱；

正棱柱：底面是_____多邊形的直棱柱；

長(zhǎng)方體：底面和側(cè)面都是矩形的棱柱；

正方體：所有棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體；

平行六面體：兩個(gè)底面是平行四邊形的棱柱．

平行四邊形

平行

平行

矩形

正

棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)________的三角形，這樣的幾何體叫作棱錐．如圖可記作：棱錐S-ABCD側(cè)面：具有一個(gè)________的三角形的面；頂點(diǎn)：這個(gè)公共點(diǎn)；側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊；底面：除了側(cè)面外，剩下的那一個(gè)多邊形面．正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，將底面放置后，它的頂點(diǎn)又在過(guò)正多邊形________的鉛垂線上．

公共頂點(diǎn)

公共頂點(diǎn)

中心

棱臺(tái)過(guò)棱錐任一側(cè)棱上不與側(cè)棱端點(diǎn)重合的一點(diǎn)，作一個(gè)與底面________的平面去截棱錐，截面和棱錐底面之間的這部分幾何體叫作棱臺(tái)．如圖可記作：棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D′上底面：截面；下底面：原棱錐的底面；側(cè)面：其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊．正棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)．

平行

基礎(chǔ)自測(cè)

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)棱柱的所有側(cè)棱都平行且相等．()

(2)棱柱的兩個(gè)底面是全等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形．()

(3)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．()

(4)正三棱錐也稱為正面體．()

√

√

×

×

2．下面圖形中，為棱錐的是()

A.①③B．①③④

C．①②④D．①②

答案：C

解析：根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐．

3．下列圖形中，是棱臺(tái)的是()

答案：C

解析：由棱臺(tái)的定義知，A、D項(xiàng)的側(cè)棱延長(zhǎng)線不交于一點(diǎn)，所以不是棱臺(tái)；B項(xiàng)中兩個(gè)面不平行，不是棱臺(tái)，只有C項(xiàng)符合棱臺(tái)的定義．

4．下面屬于多面體的是________(填序號(hào))．

①建筑用的方磚；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．

①②

解析：①②屬于多面體，③④屬于旋轉(zhuǎn)體．

題型探究·課堂解透

題型1棱柱的結(jié)構(gòu)特征

例1(1)下面的幾何體中是棱柱的有()

A.3個(gè)B．4個(gè)

C．5個(gè)D．6個(gè)

答案：C

解析：(1)棱柱有三個(gè)特征：1〉有兩個(gè)面相互平行；2〉其余各面是四邊形；3〉側(cè)棱相互平行．本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個(gè)特征，而①②③④⑤符合．

(2)(多選)下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法中正確的是()

A．所有的面都是平行四邊形

B．每一個(gè)面都不會(huì)是三角形

C．兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行

D．被平面截成的兩部分可以都是棱柱

解析：棱柱的底面不一定是平行四邊形，A錯(cuò)誤；

棱柱的底面可以是三角形，B錯(cuò)誤；

由棱柱的定義易知，C正確；

棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，D正確．所以正確說(shuō)法的序號(hào)是CD.

答案：CD

方法歸納

判斷棱柱的兩種方法

1．扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義．

①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行．

2．舉反例：通過(guò)舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ汀D片等不吻合，給予排除.

題型2棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

例2(1)(多選)下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法正確的是()

A．棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形

B．棱錐的側(cè)面只能是三角形

C．由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐

D．棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐

解析：棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形，A項(xiàng)正確；由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形，B項(xiàng)正確；由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐，C項(xiàng)正確；如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐，D項(xiàng)錯(cuò)誤．

答案：ABC

(2)如圖，在三棱臺(tái)A′B′C′ABC中，截去三棱錐A′ABC，則剩余部分是()

A．三棱錐

B．四棱錐

C．三棱柱

D．三棱臺(tái)

答案：B

解析：由題圖知，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′ABC，剩下的部分如圖所示，故剩余部分是四棱錐A′-BB′C′C.

方法歸納

判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩種方法

(1)舉反例法

結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確．

(2)直接法

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

題型多面體的平面展開圖

例3(1)某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為(對(duì)面是相同的圖案)()

答案：A

解析：因?yàn)槭菍?duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，所以當(dāng)盒子展開后相同的圖案就不可能靠在一起，只有A中沒有相同的圖案靠在一起．

(2)如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5cm，4cm，3cm.一只螞蟻從A點(diǎn)到C1點(diǎn)沿著表面爬行的最短路程是多少？

解析：(1)因?yàn)槭菍?duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，所以當(dāng)盒子展開后相同的圖案就不可能靠在一起，只有A中沒有相同的圖案靠在一起．

(2)依題意，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的表面可有如圖所示的三種展開圖．

展開后，A，C1兩點(diǎn)間的距離分別為：＝(cm)，＝4(cm)，＝3(cm)，三者比較得cm為螞蟻從A點(diǎn)沿表面爬行到C1點(diǎn)的最短路程．

方法歸納

判斷棱柱的兩種方法

1．繪制展開圖：繪制多面體的平面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過(guò)程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來(lái)，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖．

2．由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過(guò)程逆推，同一個(gè)幾何體的平面展開圖可能是不一樣的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)平面展開圖．

跟蹤訓(xùn)練1(多選)如圖所示，不是正四面體(各棱長(zhǎng)都相等的三棱錐)的展開圖的是()

答案：CD

解析：可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)A、B可折成正四面體，C、D不論選哪一個(gè)三角形作底面折疊都不能折成正四面體．

易錯(cuò)辨析憑直觀感覺判斷幾何體致誤

例4對(duì)如圖所示的幾何體描述正確的是________(填序號(hào))．

①這是一個(gè)六面體；

②這是一個(gè)四棱臺(tái)；

③這是一個(gè)四棱柱；

④此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)小三棱柱而得到；

⑤此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱而得到．

①③④⑤

解析：因?yàn)樵搸缀误w有六個(gè)面，屬于六面體，①正確．因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，②錯(cuò)誤．如果把幾何體正面或背面作為底面就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱，③正確．④⑤都正確，如圖(1)(2)所示．

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

易直觀上感覺是棱臺(tái)，忽略此幾何體側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，錯(cuò)選②.解答關(guān)于空間幾何體概念的判斷時(shí)，要注意緊扣定義，這就需要我們熟悉各種空間幾何體概念的內(nèi)涵和外延，切記勿只憑圖形主觀臆斷．

課堂十分鐘

1．(多選)下列命題中，正確的命題是()

A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形

B．棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)公共頂點(diǎn)

C．多面體至少有四個(gè)面

D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)

答案：ABC

解析：根據(jù)各種幾何體的概念與結(jié)構(gòu)特征判斷命題的真假．A、B項(xiàng)均為真命題；對(duì)于C項(xiàng)，一個(gè)圖形要成為空間幾何體，則它至少需有4個(gè)頂點(diǎn)，3個(gè)頂點(diǎn)只能構(gòu)成平面圖形，當(dāng)有4個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，可圍成4個(gè)面，所以一個(gè)多面體至少應(yīng)有4個(gè)面，而且這樣的面必是三角形，故C項(xiàng)也是真命題；對(duì)于D項(xiàng)，只有當(dāng)截面與底面平行時(shí)才對(duì)．

2．用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐，截面形狀是()

A．四邊形B．三角形

C．三角形或四邊形D．不可能為四邊形

答案：C

解析：按如圖①所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個(gè)平面去截三棱錐，截面是四邊形．

3．在下列四個(gè)平面圖形中，每個(gè)小四邊形皆為正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個(gè)正方體的圖形是()

答案：C

解析：動(dòng)手將四個(gè)選項(xiàng)中的平面圖形折疊，看哪一個(gè)可以折疊圍成正方體即可．

4．一個(gè)棱柱至少有________個(gè)面，頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)有________條側(cè)棱．

5

3

解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5個(gè)面；頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)是三棱臺(tái)，它有3條側(cè)棱．

5.如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1.

(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

(2)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？如果不是，說(shuō)明理由．

解析：(1)該長(zhǎng)方體是棱柱，并且是四棱柱，因?yàn)橐蚤L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面作底面都是四邊形，其余各面都是矩形，當(dāng)然是平行四邊形，并且四條側(cè)棱互相平行．

(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1-CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．

截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面．幾類簡(jiǎn)單幾何體(2)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)體

名稱定義相關(guān)概念圖形表示法

圓柱將________________(及其內(nèi)部)繞其一條邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫作圓柱．軸：邊AB所在直線；底面：由邊AD和BC繞軸旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：由邊CD繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：邊CD(圓柱有無(wú)數(shù)條母線)．圖中圓柱表示為圓柱AB

圓錐將________________(及其內(nèi)部)繞其一條直角邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫作圓錐．軸：直角邊AB所在直線；頂點(diǎn)：點(diǎn)A；底面：由直角邊BC繞軸旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：由斜邊AC繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：斜邊AC(圓錐有無(wú)數(shù)條母線)．圖中圓錐表示為圓錐AB

圓臺(tái)將________________(及其內(nèi)部)繞其垂直于底邊的腰BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫作圓臺(tái)．軸：腰BC所在直線；底面：由底邊AB和CD繞軸旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：由腰AD繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：腰AD(圓臺(tái)有無(wú)數(shù)條母線)．圖中圓臺(tái)表示為________

球?qū)A心為O的________(及其內(nèi)部)繞其直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫作球．球面：半圓的圓弧旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面；球的半徑：原半圓的半徑．圖中的球表示為球O

狀元隨筆(1)以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)成的曲面圍成的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐．

(2)圓臺(tái)也可以看作是等腰梯形以其底邊的中線所在的直線為軸，各邊旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體．

(3)球與球面是完全不同的兩個(gè)概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分．

要點(diǎn)二簡(jiǎn)單組合體

1．簡(jiǎn)單組合體的定義

由柱體、錐體、臺(tái)體、球等簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫作簡(jiǎn)單組合體．

2．簡(jiǎn)單組合體的兩種基本形式

(1)由簡(jiǎn)單幾何體________而成；

(2)由簡(jiǎn)單幾何體____________一部分而成．

狀元隨筆要描述簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，關(guān)鍵是仔細(xì)觀察組合體的組成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)原組合體進(jìn)行分割．

基礎(chǔ)自測(cè)

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．()

(2)以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)．()

(3)用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．()

(4)圓錐、圓臺(tái)中過(guò)軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形．()

2．(多選)下列說(shuō)法正確的是()

A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形

B．圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形

C．圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)梯形

D．過(guò)球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑

3．如圖所示，其中為圓柱體的是()

4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個(gè)組合體，其結(jié)構(gòu)特征是____________________．

題型1旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

例1(1)(多選)下列命題中正確的有()

A．在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線

B．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線

C．在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線

D．圓柱的任意兩條母線相互平行

(2)下列說(shuō)法正確的是()

A．球是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體

B.球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間的連線

C．用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的是一個(gè)圓

D．空間中到一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球

方法歸納

1．判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法

(1)明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成．

(2)明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．

2．簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用

(1)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量．

(2)在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．

跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列說(shuō)法正確的是()

A．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

B．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓

C．以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐

D．用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面

題型2簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

例2請(qǐng)描述如圖所示的幾何體是如何形成的．

方法歸納

判斷組合體構(gòu)成的方法

(1)判定實(shí)物圖是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的問題時(shí)，首先要熟練掌握簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；其次要善于將復(fù)雜的組合體“分割”為幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體．

(2)組合體是由簡(jiǎn)單幾何體拼接或截去一部分構(gòu)成的．要仔細(xì)觀察組合體的構(gòu)成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，先分割，后驗(yàn)證．

跟蹤訓(xùn)練2一個(gè)直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的空間幾何體是()

A．一個(gè)圓錐B．一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱

C．兩個(gè)圓錐D．一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)

(2)如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的．現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是________．(填序號(hào))

題型3空間幾何體中的計(jì)算問題

角度1有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的計(jì)算

例3如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點(diǎn)有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

方法歸納

解此類題的關(guān)鍵要清楚幾何體的側(cè)面展開圖是什么樣的平面圖形，并進(jìn)行合理的空間想象，且記住以下常見幾何體的側(cè)面展開圖：

角度2簡(jiǎn)單幾何體中的有關(guān)計(jì)算

例4如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)．

方法歸納

(1)畫出圓錐的軸截面．

(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關(guān)系建立高、母線長(zhǎng)、底面圓的半徑長(zhǎng)的等量關(guān)系，求解便可．

角度3球的截面問題

例5已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同側(cè)，且距離等于1，求這個(gè)球的半徑．

方法歸納

利用球的截面，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決球的有關(guān)問題的關(guān)鍵．

跟蹤訓(xùn)練3已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面的面積分別為4πcm2和25πcm2，求：

(1)圓臺(tái)的高；

(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)．

易錯(cuò)辨析對(duì)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征理解不到位致錯(cuò)

例6(多選)下列結(jié)論中正確的是()

A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球

B．直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

C．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體

D．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺(tái)

解析：半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的幾何體叫作球，故A錯(cuò)誤；以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體是圓錐，故B正確；當(dāng)兩個(gè)平行截面不平行于上、下兩個(gè)底面時(shí)，兩個(gè)平行截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故C錯(cuò)誤；將圓錐截去小圓錐，則截面必須與底面平行，因而剩余部分是圓臺(tái)，故D正確．

答案：BD

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

(1)混淆球與球面的概念，導(dǎo)致多選了A致錯(cuò)．(2)忽視兩個(gè)平行截面是否與上、下兩個(gè)底面平行的問題而錯(cuò)選C.正確理解旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，尤其對(duì)球與球面的理解．

課堂十分鐘

1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是()

A．圓柱B．圓錐

C．球體D．圓柱、圓錐、球體的組合體

2．旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示的平面圖形是()

3．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的圓臺(tái)上下底面的半徑之比為1∶4.若截去的圓錐的母線長(zhǎng)為3cm，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為()

A．1cmB．3cm

C．12cmD．9cm

4．兩相鄰邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm的矩形，以一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的圓柱中，母線長(zhǎng)和底面半徑分別為________．

5．指出圖中的三個(gè)幾何體分別是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的．

幾類簡(jiǎn)單幾何體(2)

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)一

矩形ABCD直角三角形ABC直角梯形ABCD圓臺(tái)BC半圓

要點(diǎn)二

2．(1)拼接(2)截去或挖去

[基礎(chǔ)自測(cè)]

1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√

2．解析：A、B、D項(xiàng)正確，C項(xiàng)不正確，因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)．

答案：ABD

3．解析：B、D項(xiàng)不是旋轉(zhuǎn)體，首先被排除．又A項(xiàng)不符合圓柱體的定義，只有C項(xiàng)符合，所以選C.

答案：C

4．解析：由簡(jiǎn)單組合體的基本形式可知，該組合體是一個(gè)正六棱柱中挖去一個(gè)等高的圓柱．

答案：一個(gè)正六棱柱中挖去一個(gè)等高的圓柱

題型探究·課堂解透

例1解析：(1)A中所取的兩點(diǎn)與圓柱的軸OO′的連線所構(gòu)成的四邊形不一定是矩形，若不是矩形，則與圓柱母線定義不符合；C項(xiàng)中所取兩點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線不一定與軸交于一點(diǎn)，不符合圓臺(tái)母線的定義；BD項(xiàng)符合圓錐、圓柱母線的定義及性質(zhì)．故選BD.

(2)球可看作是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的，A項(xiàng)正確；如果球面上的兩點(diǎn)連線經(jīng)過(guò)球心，則這條線段就是球的直徑，B錯(cuò)誤；球是一個(gè)幾何體，平面截它應(yīng)得到一個(gè)面而不是一條曲線，C錯(cuò)誤；空間中到一定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是一個(gè)球面，而不是一個(gè)球體，D項(xiàng)錯(cuò)誤．

答案：(1)BD(2)A

跟蹤訓(xùn)練1解析：A項(xiàng)以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；B項(xiàng)它們的底面為圓面；C、D正確．

答案：CD

例2解析：①是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；

②是由一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體；

③是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體．

跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)一個(gè)直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°得到的旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)同底的圓錐的組合體．

(2)當(dāng)截面過(guò)底面直徑時(shí)，截面如圖①；當(dāng)截面不過(guò)底面直徑時(shí)，截面如圖⑤.

答案：(1)C(2)①⑤

例3解析：把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖所示，連接AB′，則AB′即為螞蟻爬行的最短距離．

∵AB＝A′B′＝2，AA′為底面圓的周長(zhǎng)，且AA′＝2π×1＝2π，

∴AB′＝＝＝2，

∴螞蟻爬行的最短距離為2.

例4解析：

設(shè)圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)為lcm，由截得的圓臺(tái)上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得的圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為rcm，4rcm，過(guò)軸SO作截面，如圖所示．

則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.

所以＝.所以＝＝.

解得l＝9，即圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)為9cm.

例5

解析：如圖，設(shè)這兩個(gè)截面圓的半徑分別為r1，r2，球心到截面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，

則＝8－5＝3即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，

又d1－d2＝1，

∴解得

∴R＝＝＝3，

即球的半徑等于3.

跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)設(shè)圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形ABCD(如圖所示)．

由題意可得上底的一半O1A＝2cm，下底的一半OB＝5cm，腰長(zhǎng)AB＝12cm，所以圓臺(tái)的高AM＝＝3(cm)．

(2)如上圖，延長(zhǎng)BA，OO1，CD，交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為lcm，

則由△SAO1∽△SBO，得＝，解得l＝20.故截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.

[課堂十分鐘]

1．答案：C

2．答案：A

3．解析：

示意圖如圖，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x，4x.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝，解得y＝9，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.故選D.

答案：D

4．解析：當(dāng)以3cm長(zhǎng)的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，母線長(zhǎng)為3cm，底面半徑為4cm；

當(dāng)以4cm長(zhǎng)的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，母線長(zhǎng)為4cm，底面半徑為3cm.

答案：3cm，4cm或4cm，3cm

5．解析：(1)幾何體由一個(gè)圓錐、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成．

(2)幾何體由一個(gè)六棱柱和一個(gè)圓柱拼接而成．

(3)幾何體由一個(gè)球和一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面為底面、上底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐拼接而成．(共38張PPT)

幾類簡(jiǎn)單幾何體(2)

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)體

名稱定義相關(guān)概念圖形表示法

圓柱將___________(及其內(nèi)部)繞其一條邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫作圓柱．軸：邊AB所在直線；底面：由邊AD和BC繞軸旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：由邊CD繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：邊CD(圓柱有無(wú)數(shù)條母線)．

圖中圓柱表示為圓柱AB

矩形ABCD

圓錐將_____________(及其內(nèi)部)繞其一條直角邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫作圓錐．軸：直角邊AB所在直線；頂點(diǎn)：點(diǎn)A；底面：由直角邊BC繞軸旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：由斜邊AC繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：斜邊AC(圓錐有無(wú)數(shù)條母線)．

圖中圓錐表示為圓錐AB

直角三角形ABC

圓臺(tái)將_____________(及其內(nèi)部)繞其垂直于底邊的腰BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫作圓臺(tái)．軸：腰BC所在直線；底面：由底邊AB和CD繞軸旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：由腰AD繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：腰AD(圓臺(tái)有無(wú)數(shù)條母線)．

圖中圓臺(tái)表示為________

直角梯形ABCD

圓臺(tái)BC

球?qū)A心為O的_______(及其內(nèi)部)繞其直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體叫作球．球面：半圓的圓弧旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面；球的半徑：原半圓的半徑．

圖中的球表示為球O

半圓

狀元隨筆

(1)以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)成的曲面圍成的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐．

(2)圓臺(tái)也可以看作是等腰梯形以其底邊的中線所在的直線為軸，各邊旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體．

(3)球與球面是完全不同的兩個(gè)概念，球是指球面所圍成的空間，而球面只指球的表面部分．

要點(diǎn)二簡(jiǎn)單組合體

1．簡(jiǎn)單組合體的定義

由柱體、錐體、臺(tái)體、球等簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫作簡(jiǎn)單組合體．

2．簡(jiǎn)單組合體的兩種基本形式

(1)由簡(jiǎn)單幾何體________而成；

(2)由簡(jiǎn)單幾何體____________一部分而成．

狀元隨筆

要描述簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，關(guān)鍵是仔細(xì)觀察組合體的組成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)原組合體進(jìn)行分割．

拼接

截去或挖去

基礎(chǔ)自測(cè)

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．()

(2)以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)．()

(3)用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．()

(4)圓錐、圓臺(tái)中過(guò)軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形．()

×

×

×

√

2．(多選)下列說(shuō)法正確的是()

A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形

B．圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形

C．圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)梯形

D．過(guò)球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑

答案：ABD

解析：A、B、D項(xiàng)正確，C項(xiàng)不正確，因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)．

3．如圖所示，其中為圓柱體的是()

答案：C

解析：B、D項(xiàng)不是旋轉(zhuǎn)體，首先被排除．又A項(xiàng)不符合圓柱體的定義，只有C項(xiàng)符合，所以選C.

4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一個(gè)組合體，其結(jié)構(gòu)特征是_____________________________．

一個(gè)正六棱柱中挖去一個(gè)等高的圓柱

解析：由簡(jiǎn)單組合體的基本形式可知，該組合體是一個(gè)正六棱柱中挖去一個(gè)等高的圓柱．

題型探究·課堂解透

題型1旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

例1(1)(多選)下列命題中正確的有()

A．在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線

B．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線

C．在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線

D．圓柱的任意兩條母線相互平行

答案：BD

解析：A中所取的兩點(diǎn)與圓柱的軸OO′的連線所構(gòu)成的四邊形不一定是矩形，若不是矩形，則與圓柱母線定義不符合；C項(xiàng)中所取兩點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線不一定與軸交于一點(diǎn)，不符合圓臺(tái)母線的定義；BD項(xiàng)符合圓錐、圓柱母線的定義及性質(zhì)．故選BD.

(2)下列說(shuō)法正確的是()

A．球是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體

B.球的直徑是球面上任意兩點(diǎn)間的連線

C．用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的是一個(gè)圓

D．空間中到一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球

解析：球可看作是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的，A項(xiàng)正確；如果球面上的兩點(diǎn)連線經(jīng)過(guò)球心，則這條線段就是球的直徑，B錯(cuò)誤；球是一個(gè)幾何體，平面截它應(yīng)得到一個(gè)面而不是一條曲線，C錯(cuò)誤；空間中到一定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是一個(gè)球面，而不是一個(gè)球體，D項(xiàng)錯(cuò)誤．

答案：A

方法歸納

1．判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法

(1)明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成．

(2)明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．

2．簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面及其應(yīng)用

(1)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現(xiàn)簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵量．

(2)在軸截面中解決簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體問題體現(xiàn)了化空間圖形為平面圖形的轉(zhuǎn)化思想．

跟蹤訓(xùn)練1(多選)下列說(shuō)法正確的是()

A．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

B．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓

C．以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐

D．用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面

答案：CD

解析：A項(xiàng)以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺(tái)；B項(xiàng)它們的底面為圓面；C、D正確．

題型2簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

例2請(qǐng)描述如圖所示的幾何體是如何形成的．

解析：①是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；

②是由一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體；

③是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體．

方法歸納

判斷組合體構(gòu)成的方法

(1)判定實(shí)物圖是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的問題時(shí)，首先要熟練掌握簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；其次要善于將復(fù)雜的組合體“分割”為幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體．

(2)組合體是由簡(jiǎn)單幾何體拼接或截去一部分構(gòu)成的．要仔細(xì)觀察組合體的構(gòu)成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，先分割，后驗(yàn)證．

跟蹤訓(xùn)練2(1)一個(gè)直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的空間幾何體是()

A．一個(gè)圓錐B．一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱

C．兩個(gè)圓錐D．一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)

答案：C

解析：一個(gè)直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°得到的旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)同底的圓錐的組合體．

(2)如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的．現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是________．(填序號(hào))

①⑤

解析：當(dāng)截面過(guò)底面直徑時(shí)，截面如圖①；當(dāng)截面不過(guò)底面直徑時(shí)，截面如圖⑤.

題型3空間幾何體中的計(jì)算問題

角度1有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的計(jì)算

例3如圖，底面半徑為1，高為2的圓柱，在A點(diǎn)有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

解析：把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形——矩形，如圖所示，連接AB′，則AB′即為螞蟻爬行的最短距離．

∵AB＝A′B′＝2，AA′為底面圓的周長(zhǎng)，且AA′＝2π×1＝2π，

∴AB′＝＝＝2，

∴螞蟻爬行的最短距離為2.

方法歸納

解此類題的關(guān)鍵要清楚幾何體的側(cè)面展開圖是什么樣的平面圖形，并進(jìn)行合理的空間想象，且記住以下常見幾何體的側(cè)面展開圖：

角度2簡(jiǎn)單幾何體中的有關(guān)計(jì)算

例4如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm，求圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)．

解析：設(shè)圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)為lcm，由截得的圓臺(tái)上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得的圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為rcm，4rcm，過(guò)軸SO作截面，如圖所示．

則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.

所以＝.所以＝＝.

解得l＝9，即圓臺(tái)O′O的母線長(zhǎng)為9cm.

方法歸納

(1)畫出圓錐的軸截面．

(2)在軸截面中借助直角三角形或三角形的相似關(guān)系建立高、母線長(zhǎng)、底面圓的半徑長(zhǎng)的等量關(guān)系，求解便可．

角度3球的截面問題

例5已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同側(cè)，且距離等于1，求這個(gè)球的半徑．

解析：如圖，設(shè)這兩個(gè)截面圓的半徑分別為r1，r2，球心到截面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，

則＝8－5＝3即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，

又d1－d2＝1，

∴解得

∴R＝＝＝3，

即球的半徑等于3.

方法歸納

利用球的截面，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決球的有關(guān)問題的關(guān)鍵．

跟蹤訓(xùn)練3已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12cm，兩底面的面積分別為4πcm2和25πcm2，求：

(1)圓臺(tái)的高；

(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)．

解析：(1)設(shè)圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形ABCD(如圖所示)．

由題意可得上底的一半O1A＝2cm，下底的一半OB＝5cm，腰長(zhǎng)AB＝12cm，所以圓臺(tái)的高AM＝＝3(cm)．

(2)如圖，延長(zhǎng)BA，OO1，CD，交于點(diǎn)S，設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為lcm，

則由△SAO1∽△SBO，得＝，解得l＝20.故截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.

易錯(cuò)辨析對(duì)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征理解不到位致錯(cuò)

例6(多選)下列結(jié)論中正確的是()

A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球

B．直角三角形繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

C．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體

D．圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余的部分是圓臺(tái)

答案：BD

解析：半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球面，球面圍成的幾何體叫作球，故A錯(cuò)誤；以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體是圓錐，故B正確；當(dāng)兩個(gè)平行截面不平行于上、下兩個(gè)底面時(shí)，兩個(gè)平行截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故C錯(cuò)誤；將圓錐截去小圓錐，則截面必須與底面平行，因而剩余部分是圓臺(tái)，故D正確．

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

(1)混淆球與球面的概念，導(dǎo)致多選了A致錯(cuò)．(2)忽視兩個(gè)平行截面是否與上、下兩個(gè)底面平行的問題而錯(cuò)選C.正確理解旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，尤其對(duì)球與球面的理解．

課堂十分鐘

1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是()

A．圓柱B．圓錐

C．球體D．圓柱、圓錐、球體的組合體

答案：C

2．旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體如圖所示的平面圖形是()

答案：A

3．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的圓臺(tái)上下底面的半徑之比為1∶4.若截去的圓錐的母線長(zhǎng)為3cm，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為()

A．1cmB．3cm

C．12cmD．9cm

解析：示意圖如圖，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x，4x.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝，解得y＝9，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.故選D.

答案：D

4．兩相鄰邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm的矩形，以一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)所成的圓柱中，母線長(zhǎng)和底面半徑分別為________．

答案：3cm，4cm或4cm，3cm

解析：當(dāng)以3cm長(zhǎng)的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，母線長(zhǎng)為3cm，底面半徑為4cm；當(dāng)以4cm長(zhǎng)的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，母線長(zhǎng)為4cm，底面半徑為3cm.

5．指出圖中的三個(gè)幾何體分別是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的．

解析：(1)幾何體由一個(gè)圓錐、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成．

(2)幾何體由一個(gè)六棱柱和一個(gè)圓柱拼接而成．

(3)幾何體由一個(gè)球和一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面為底面、上底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐拼接而成．4.1.2空間幾何體的直觀圖

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)斜二測(cè)畫法的規(guī)則

(1)在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸Ox，Oy，再取Oz軸，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.

(2)畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y＝________(或________)，∠x′O′z′＝90°，∠x′O′y′所確定的平面表示水平平面．

(3)已知圖形中平行于x軸，y軸，或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成________于x′軸，y′軸或z′軸的線段．

(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度________，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度______________．

狀元隨筆(1)平面圖形用其直觀圖表示時(shí)，一般說(shuō)來(lái)，平行關(guān)系不變；

(2)點(diǎn)的共線性不變，線的共點(diǎn)性不變，但角的大小有變化(特別是垂直關(guān)系有變化)；

(3)有些線段的度量關(guān)系也發(fā)生變化．因此圖形的形狀發(fā)生變化．

斜二測(cè)畫法的位置特征與度量特征簡(jiǎn)記為：橫不變、縱折半，平行位置不改變．

基礎(chǔ)自測(cè)

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中仍平行．()

(2)兩條相交直線的直觀圖可能是平行直線．()

(3)用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，垂直的線段在直觀圖中仍垂直．()

(4)正方形的直觀圖為平行四邊形．()

2．長(zhǎng)方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個(gè)()

A．①②B．①②③

C．②⑤D．③④⑤

3．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()

A.正方形

B．矩形

C．菱形

D．一般的平行四邊形

4．水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為________．

題型1畫水平放置的平面圖形的直觀圖

例1如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，試畫出它的直觀圖．

方法歸納

平面圖形的直觀圖的技巧

(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn)．

(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標(biāo)軸平行的線段平行性不變，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過(guò)與坐標(biāo)軸平行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段．

跟蹤訓(xùn)練1畫邊長(zhǎng)為1cm的正三角形的水平放置的直觀圖．

題型2空間幾何體直觀圖的畫法

例2用斜二測(cè)畫法畫長(zhǎng)、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長(zhǎng)方體ABCDA′B′C′D′的直觀圖．

方法歸納

(1)畫空間幾何體的直觀圖，可先畫出底面的平面圖形，然后畫出豎軸．此外，坐標(biāo)系的建立要充分利用圖形的對(duì)稱性，以便方便、準(zhǔn)確的確定頂點(diǎn)；

(2)對(duì)于一些常見幾何體(如柱、錐、臺(tái)、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便可以又快又準(zhǔn)的畫出．

跟蹤訓(xùn)練2畫底面半徑為2，高為5的圓柱的直觀圖．

題型3平面圖形與其直觀圖的關(guān)系

例3如圖所示，四邊形ABCD是一個(gè)梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD為等腰直角三角形，O為AB的中點(diǎn)，試求水平放置的梯形ABCD的直觀圖的面積．

方法歸納

平面多邊形與其直觀圖面積間的關(guān)系

若一個(gè)平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝S或S＝2S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是()

A．

B．1

C．

D．2

易錯(cuò)辨析忽略斜二測(cè)畫法的規(guī)則致誤

例4如圖是水平放置的四邊形ABCD的直觀圖A′B′C′D′，則原四邊形ABCD的面積是________．

解析：方法一延長(zhǎng)A′D′交O′x′于點(diǎn)E′.如圖，畫平面直角坐標(biāo)系xOy，取OE＝O′E′，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，在EF上截取AE＝2A′E′，

AD＝2A′D′＝8，再過(guò)點(diǎn)D作DC∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，并截取DC＝D′C′＝2，AB＝A′B′＝5.連接BC，得直觀圖A′B′C′D′的原四邊形ABCD.由作法得S四邊形ABCD＝×(2＋5)×8＝28.

方法二因?yàn)锳′D′＝4，所以梯形A′B′C′D′的高為2，故S梯形A′B′C′D′＝×2×(2＋5)＝7，則S四邊形ABCD＝2×S梯形A′B′C′D′＝28.

答案：28

易錯(cuò)警示

易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得

忽略與y軸平行的線段即A′D′長(zhǎng)度的變化而致誤．錯(cuò)誤答案：14.在斜二測(cè)畫法中，與y軸平行的線段長(zhǎng)度為原來(lái)的一半，且∠x′O′y′變?yōu)?5°，做題時(shí)千萬(wàn)不要忽略這點(diǎn)．

課堂十分鐘

1．(多選)利用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖有以下結(jié)論，其中正確的是()

A．三角形的直觀圖是三角形

B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

C．正方形的直觀圖是正方形

D．菱形的直觀圖是菱形

2．如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是選項(xiàng)中的()

3.

水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一個(gè)()三角形．

A．等邊

B．三邊互不相等的

C．三邊中只有兩邊相等的等腰

D．直角

4．在用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC時(shí)，若∠A的兩邊平行于x軸、y軸，則在直觀圖中，∠A′＝________．

5．一條邊在x軸上的正方形的面積是4，按斜二測(cè)畫法所得的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，求這個(gè)平行四邊形的面積．

4．1.2空間幾何體的直觀圖

新知初探·課前預(yù)習(xí)

要點(diǎn)

(2)45°135°(3)平行(4)不變?nèi)≡瓉?lái)的一半

[基礎(chǔ)自測(cè)]

1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√

2．解析：由斜二測(cè)畫法知，平行線依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正確．故選C.

答案：C

3．解析：如圖，在原圖形OABC中，

應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，

CD＝C′D′＝2cm，

所以O(shè)C＝＝＝6(cm)，所以O(shè)A＝OC，

故四邊形OABC是菱形，故選C.

答案：C

4．解析：由于在直觀圖中∠A′C′B′＝45°，則在原圖形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB邊上的中線為2.5.

答案：2.5

題型探究·課堂解透

例1解析：畫法步驟：

(1)如圖甲所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖乙所示，畫出對(duì)應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在圖甲中，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E.在x′軸上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝≈2.598(cm)；過(guò)點(diǎn)E′作E′D′∥y′軸，使E′D′＝ED＝＝0.75(cm)，再過(guò)點(diǎn)D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′＝DC＝2cm.

(3)連接A′D′，B′C′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖丙所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖．

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)如圖①所示，以BC邊所在直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在直線為y軸，再畫對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°，如圖②所示．

(2)在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′軸上截取O′A′＝AO＝cm，連接A′B′、A′C′，則△A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖．

(3)擦去x′、y′軸得直觀圖△A′B′C′，如圖③所示．

例2解析：(1)畫軸．如圖①所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)畫底面．以點(diǎn)O為中心，在x軸上取線段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝cm，分別過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長(zhǎng)方體的底面ABCD.

(3)畫側(cè)棱．過(guò)A、B、C、D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長(zhǎng)的線段AA′、BB′、CC′、DD′.

(4)成圖．順次連接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖(如圖②)．

跟蹤訓(xùn)練2解析：畫法：(1)畫軸．畫出x軸，y軸，z軸．

(2)在z軸上取點(diǎn)O′，使OO′等于5個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)O′作x軸的平行線O′x′，過(guò)O′作y軸的平行線O′y′.在x軸，x′軸上分別取點(diǎn)A，B，A′，B′，使OA＝OB＝O′A′＝O′B′＝2個(gè)單位長(zhǎng)度，在y軸，y′軸上分別取C，D，C′，D′，使OC＝OD＝O′C′＝O′D′＝1個(gè)單位長(zhǎng)度，畫兩個(gè)圓(橢圓形)，即底面圓O和底面圓O′.

(3)連線．連接AA′，BB′，并擦去輔助線，則得到圓柱OO′.

例3

解析：方法一在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，水平放置的梯形ABCD的直觀圖仍為梯形，且上底和下底的長(zhǎng)度都不變，作D′E′⊥A′B′于E′，如圖所示，在直觀圖中，O′D′＝OD＝，梯形A′B′C′D′的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面積為×(1＋2)×＝.

方法二因?yàn)樘菪蜛BCD的面積為＝，所以直觀圖的面積為＝.

跟蹤訓(xùn)練3解析：

如圖所示，因?yàn)镽t△O′A′B′是一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中斜邊O′B′＝2，所以O(shè)′A′＝，

根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得OB＝O′B′＝2，OA＝2O′A′＝2，

所以直角△OAB的面積為S＝×2×2＝2.

答案：D

[課堂十分鐘]

1．解析：由斜二測(cè)畫法規(guī)則知：A項(xiàng)正確；平行性不變，故B項(xiàng)正確；正方形的直觀圖是平行四邊形，C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槠叫杏趛′軸的線段長(zhǎng)減半，平行于x′軸的線段長(zhǎng)不變，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．

答案：AB

2．解析：設(shè)直觀圖中與x′軸和y′軸的交點(diǎn)分別為A′和B′，如圖①，根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則在直角坐標(biāo)系中先作出對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)和B點(diǎn)，

再由平行于x′軸的線段在原圖中平行于x軸，且長(zhǎng)度不變，作出原圖如圖②所示，故選C.

答案：C

3．解析：由圖形知，在原△ABC中，AO⊥BC，

∵A′O′＝，∴AO＝，

∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，

∴AB＝AC＝＝2，

∴△ABC為正三角形．

答案：A

4．解析：因?yàn)椤螦的兩邊平行于x軸、y軸，故∠A＝90°，在直觀圖中，

按斜二測(cè)畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.

答案：45°或135°

5．解析：正方形的面積為4，則邊長(zhǎng)為2，由斜二測(cè)畫法的規(guī)則，知平行四邊形的底為2，高為，故面積為.(共34張PPT)

4.1.2空間幾何體的直觀圖

新知初探·課前預(yù)習(xí)

題型探究·課堂解透

新知初探·課前預(yù)習(xí)

教材要點(diǎn)

要點(diǎn)斜二測(cè)畫法的規(guī)則

(1)在已知圖形中取水平平面，取互相垂直的軸Ox，Oy，再取Oz軸，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.

(2)畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y＝________(或________)，∠x′O′z′＝90°，∠x′O′y′所確定的平面表示水平平面．

(3)已知圖形中平行于x軸，y軸，或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成________于x′軸，y′軸或z′軸的線段．

(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度________，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度______________．

45°

135°

平行

不變

取原來(lái)的一半

狀元隨筆

(1)平面圖形用其直觀圖表示時(shí)，一般說(shuō)來(lái)，平行關(guān)系不變；

(2)點(diǎn)的共線性不變，線的共點(diǎn)性不變，但角的大小有變化(特別是垂直關(guān)系有變化)；

(3)有些線段的度量關(guān)系也發(fā)生變化．因此圖形的形狀發(fā)生變化．

斜二測(cè)畫法的位置特征與度量特征簡(jiǎn)記為：橫不變、縱折半，平行位置不改變．

基礎(chǔ)自測(cè)

1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)

(1)用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線段在直觀圖中仍平行．()

(2)兩條相交直線的直觀圖可能是平行直線．()

(3)用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，垂直的線段在直觀圖中仍垂直．()

(4)正方形的直觀圖為平行四邊形．()

√

×

×

√

2．長(zhǎng)方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個(gè)()

A．①②B．①②③

C．②⑤D．③④⑤

答案：C

解析：由斜二測(cè)畫法知，平行線依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正確．故選C.

3．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()

A.正方形

B．矩形

C．菱形

D．一般的平行四邊形

答案：C

解析：如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2cm，

所以O(shè)C＝＝＝6(cm)，所以O(shè)A＝OC，故四邊形OABC是菱形，故選C.

4．水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為________．

2.5

解析：由于在直觀圖中∠A′C′B′＝45°，則在原圖形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB邊上的中線為2.5.

題型探究·課堂解透

題型1畫水平放置的平面圖形的直觀圖

例1如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，試畫出它的直觀圖．

解析：畫法步驟：

(1)如圖甲所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖乙所示，畫出對(duì)應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在圖甲中，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E.在x′軸上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝≈2.598(cm)；過(guò)點(diǎn)E′作E′D′∥y′軸，使E′D′＝ED＝＝0.75(cm)，再過(guò)點(diǎn)D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′＝DC＝2cm.

(3)連接A′D′，B′C′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖丙所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖．

方法歸納

平面圖形的直觀圖的技巧

(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上