專題01直線與方程（解析版）

專題01直線與方程一、單選題1．在同一平面直角坐標(biāo)系下，直線總在直線的上方，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】結(jié)合直線的圖像，利用直線的斜率與縱截距進(jìn)行判斷.【解析】因?yàn)橹本€總在直線的上方，所以直線與直線平行，且直線在y軸上的截距必大于直線在y軸上的截距，所以，．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.2．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用一般式下兩直線垂直的充要條件“”即可求解【解析】由．故選：A．3．已知直線與的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出兩直線的交點(diǎn)，再解不等式組即得解.【解析】聯(lián)立解得，由直線與的交點(diǎn)在第四象限可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C．4．已知直線，以下結(jié)論不正確的是（

）A．不論a為何值時(shí)，與都互相垂直B．當(dāng)a變化時(shí)，與分別經(jīng)過定點(diǎn)和C．不論a為何值，與都關(guān)于直線對(duì)稱D．如果與交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是【答案】C【分析】根據(jù)直線垂直的條件可判斷A;求出直線與所過的定點(diǎn)，可判斷B；在上任取點(diǎn)，求出其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，判斷是否滿足方程，判斷C;求出與交點(diǎn)，求出的表達(dá)式，可判斷D.【解析】對(duì)于A，恒成立，與互相垂直恒成立，故A正確；對(duì)于B，直線，當(dāng)a變化時(shí)，恒成立，所以恒過定點(diǎn)；，當(dāng)a變化時(shí)，恒成立，所以恒過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，在上任取點(diǎn)，，其關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，則左邊為不恒等于0，故C不正確；對(duì)于D，聯(lián)立,解得,即，所以|MO|＝≤，所以的最大值是，故D正確，故選;C5．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺(tái)之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】先找出B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，在直線上取點(diǎn)P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．6．已知直線過，并與兩坐標(biāo)軸截得等腰三角形，那么直線的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸截得等腰三角形可得直線得斜率為1或-1，利用直線方程得點(diǎn)斜式即可求解.【解析】解：由題意可知，所求直線的傾斜角為或，即直線的斜率為1或-1，故直線方程為或，即或.故選：C.7．設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜率公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【解析】如圖所示：因?yàn)?，所以?dāng)直線過點(diǎn)且與線段相交時(shí)，的斜率的取值范圍是或，故選：B8．已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得直線的定點(diǎn)，進(jìn)而求得點(diǎn)P到直線l的最大距離，然后檢驗(yàn)點(diǎn)是否可能在直線上即可【解析】可化為：設(shè)直線的定點(diǎn)為，點(diǎn)P到直線l的距離為，則有：x+y?2=02x?3y+1=0可得：為直線的定點(diǎn)則有：，此時(shí)為點(diǎn)P到直線l的最大距離若在直線上，則有：，即可得：不可能在直線上，則有：綜上可得：故選：A9．已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到直線與直線和直線分別平行時(shí)或直線過直線和直線的交點(diǎn)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形，再分別計(jì)算相應(yīng)的值即可.【解析】由題知：①當(dāng)直線與直線平行時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.②當(dāng)直線與直線平行時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.③當(dāng)直線過直線與直線交點(diǎn)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.所以，解得，將代入，解得.所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：D.10．過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線：的垂線，垂足為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，將表示成a的函數(shù)，求出函數(shù)的值域的作答.【解析】依題意，，直線l的方向向量，則有，解得，因此，，因當(dāng)時(shí)，取最小值，則有，所以的取值范圍是.故選：D11．對(duì)于直線：（），現(xiàn)有下列說法：①無論如何變化，直線l的傾斜角大小不變；②無論如何變化，直線l一定不經(jīng)過第三象限；③無論如何變化，直線l必經(jīng)過第一、二、三象限；④當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將直線化為斜截式方程，得出直線的斜率與傾斜角，可判斷①正確，④正確；由直線的縱截距為正，可判斷②正確，③錯(cuò)誤．【解析】直線：（），可化簡為：，即，則直線的斜率為，傾斜角為，故①正確；直線在軸上的截距為，可得直線經(jīng)過一二四象限，故②正確，③錯(cuò)誤；當(dāng)取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組斜率為的平行直線，故④正確；故選：C12．在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的圖象為直線，且與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：①存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有一條；②存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有二條；③存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有三條；④存在正實(shí)數(shù)，使的面積為的直線僅有四條．其中，所有真命題的序號(hào)是．A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④【答案】D【解析】∵直線與軸，軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是：，，∴，當(dāng)時(shí)，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)，在時(shí)，有兩個(gè)值；當(dāng)時(shí)，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，在時(shí)，有兩個(gè)值；∴當(dāng)時(shí)，僅有一條直線使的面積為，故①不正確；當(dāng)時(shí)，僅有兩條直線使的面積為，故②正確；當(dāng)時(shí)，僅有三條直線使的面積為，故③正確；當(dāng)時(shí)，僅有四條直線使的面積為，故④正確；綜上所述，真命題的序號(hào)是②③④，故選D.二、多選題13．已知直線l：＝0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l的傾斜角是B．若直線m：＝0，則l⊥mC．點(diǎn)到直線l的距離是2D．過與直線l平行的直線方程是【答案】BCD【分析】對(duì)A，根據(jù)斜率判斷即可；對(duì)B，根據(jù)直線垂直斜率之積為-1求解即可；對(duì)C，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求解即可；對(duì)D，先求得的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求解即可【解析】對(duì)A，直線l：＝0，直線的斜率為：所以直線的傾斜角為：所以A不正確；對(duì)B，直線m：＝0的斜率為：因?yàn)?，故兩條直線垂直，所以B正確；對(duì)C，點(diǎn)到直線l的距離是：＝2，所以C正確；對(duì)D，的斜率為，故過與直線l平行的直線方程是，化簡得正確，所以D正確；故選：BCD．14．已知直線，直線，過點(diǎn)的直線與，的交點(diǎn)分別為，，若，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)已知直線的方程知：且距離、傾斜角為，結(jié)合確定直線與，的夾角，進(jìn)而可得直線的傾斜角，寫出直線的方程即可.【解析】由題設(shè)，顯然且它們的距離，而，易知：直線與，的夾角為.而，即，的傾斜角為，∴直線的傾斜角為0或，又直線過.∴或.故選：AC15．下列說法不正確的是（

）A．經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的方向向量為，則B．“或-1”是“直線與直線互相平行”的充要條件C．直線的傾斜角的取值范圍是D．過，兩點(diǎn)的直線方程為【答案】BCD【分析】根據(jù)直線的方向向量定義判斷A,根據(jù)直線平行公式判斷B,根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系判斷出C,根據(jù)兩點(diǎn)式的限制條件判斷D即可得出結(jié)果.【解析】對(duì)于A,由已知可得,則可看作經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的方向向量，則，A正確；對(duì)于B，若與互相平行，則有：，解得或-1（舍），B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，時(shí)斜率不存在，此時(shí)直線傾斜角為，時(shí)，，則，時(shí)，.即傾斜角取值范圍,綜上傾斜角,C錯(cuò)誤.對(duì)于D，必須在且的條件下才成立，無此條件，則D錯(cuò)誤.故選：BCD.16．如圖，直線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若x，y分別表示點(diǎn)P到的距離，則稱（x，y）為點(diǎn)P的“距離坐標(biāo)”.下列說法正確的是（）A．距離坐標(biāo)為（0，0）的點(diǎn)有1個(gè) B．距離坐標(biāo)為（0，1）的點(diǎn)有2個(gè)C．距離坐標(biāo)為（1，2）的點(diǎn)有4個(gè) D．距離坐標(biāo)為（x，x）的點(diǎn)在一條直線上【答案】ABC【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合即可得答案．【解析】對(duì)于A，若距離坐標(biāo)為（0，0)，即P到兩條直線的距離都為0，P為兩直線的交點(diǎn)，即距離坐標(biāo)為（0，0)的點(diǎn)只有1個(gè)，A正確，對(duì)于B，若距離坐標(biāo)為(0，1)，即P到直線的距離為0，到直線的距離為1，P在直線上，到直線的距離為1，符合條件的點(diǎn)有2個(gè)，B正確，對(duì)于C，若距離坐標(biāo)為（1，2)，即P到直線的距離為1，到直線的距離為2，有4個(gè)符合條件的點(diǎn)，即四個(gè)交點(diǎn)為與直線相距為2的兩條平行線和與直線相距為1的兩條平行線的交點(diǎn)，C正確，對(duì)于D，若距離坐標(biāo)為（x，x)，即P到兩條直線的距離相等，則距離坐標(biāo)為(x，x)的點(diǎn)在2條相互垂直的直線上，D錯(cuò)誤，故選：ABC17．對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，，定義它們之間的一種“距離”：，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則B．在中，若，則C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【分析】對(duì)于AC，根據(jù)距離的新定義分析判斷，對(duì)于B，舉例判斷，對(duì)于D，根據(jù)距離的新定義結(jié)合圖形分析判斷【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，取，則，而，不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，因?yàn)?，同理，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，當(dāng)正方形的邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，易知，如圖，設(shè)AB與x軸的夾角為，由圖可知，故D正確.故選：ACD18．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之比為定值（）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，成為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)Р滿足，設(shè)點(diǎn)Р所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的方程為B．在C上存在點(diǎn)D，使得C．在C上存在點(diǎn)M，使M在直線上D．在C上存在點(diǎn)N，使得【答案】AD【分析】通過設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用，即可求出曲線C的軌跡方程，然后假設(shè)曲線C上一點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)BCD三個(gè)選項(xiàng)逐一列出所滿足條件，然后與C的軌跡方程聯(lián)立，判斷是否有解，即可得出答案.【解析】設(shè)點(diǎn)，由，得，化簡得，即，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，由得，又，聯(lián)立方程可知無解，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，由M在直線上得，又，聯(lián)立方程可知無解，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程可知有解，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.三、填空題19．若直線k的斜率滿足，則該直線的傾斜角α的范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)斜率范圍得到，數(shù)形結(jié)合求出直線的傾斜角α的范圍.【解析】根據(jù)，得到，結(jié)合正切的函數(shù)圖象可得：.故答案為：20．若直線與重合，則正數(shù)a、b的和為______.【答案】12【分析】根據(jù)題意可得，解方程即可求出正數(shù)a、b，從而得出結(jié)果.【解析】由題意可得，解得或，又因?yàn)?，所以，因此，故答案為?2.21．在直角坐標(biāo)系中，已知和直線，試在直線上找一點(diǎn)，在軸上找一點(diǎn)，使三角形的周長最小，最小值為__．【答案】【分析】如圖，作出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則連結(jié)，交直線于，交軸于，則的周長的最小值等于.【解析】解：如圖，作出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，作出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)，交直線于，交軸于，，，三角形的周長為線段的長，由兩點(diǎn)間線段最短得此時(shí)三角形的周長最小，三角形的周長最小時(shí)，最小值為：．故答案為：．22．設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意可得點(diǎn)坐標(biāo)及，設(shè)，利用三角函數(shù)分別表示，，由三角恒等變換后求正弦型函數(shù)的值域得解.【解析】由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線，即，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)，m≠0時(shí)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，兩條直線垂直，m=0時(shí)，兩條直線也垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，，.設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，，，故答案為：23．如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成和角，過點(diǎn)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線上時(shí)，則直線AB的方程是________.【答案】【分析】由題意求出直線的方程，設(shè)得到AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由A，P，B三點(diǎn)共線求出，得到直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程可得答案.【解析】由題意可得，，所以直線，設(shè)，所以AB的中點(diǎn)C.由點(diǎn)C在直線上，且A，P，B三點(diǎn)共線得解得，所以,又，所以＝，所以，即直線AB的方程為.24．在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)、之間的“直角距離”為：，現(xiàn)有以下命題：①若P、Q是x軸上的兩點(diǎn)，則；②已知，，則為定值；③原點(diǎn)O與直線上任意一點(diǎn)P之間的直角距離的最小值為；④若表示P、Q兩點(diǎn)間的距離，那么．其中真命題是__________（寫出所有真命題的序號(hào)）【答案】①②③④【分析】由根據(jù)新定義可判斷①；根據(jù)三角函數(shù)的有界性和同角關(guān)系可判斷②；由直角距離定義以及絕對(duì)值函數(shù)求最值可判斷③；由兩點(diǎn)距離公式和基本不等式可判斷，可判斷④．【解析】若P、Q是x軸上的兩點(diǎn)，則，故；故①正確；已知，,則為定值，故②正確；設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，故③正確若表示、兩點(diǎn)間的距離，那么，，，，即，則，故④正確；故答案為：①②③④四、解答題25．已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在的直線方程為的平分線所在直線方程為.(1)求直線的方程；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）設(shè)寫出的中點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上求得，令關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為求坐標(biāo)，最后應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.（2）聯(lián)立直線方程求坐標(biāo)，由在線段上，設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系求參數(shù)n并判斷點(diǎn)的存在性.（1）由題意知，在角平分線上，設(shè)，則的中點(diǎn)，在直線上，所以，解得：，故.設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，可得，即由在直線上，則，所以直線為，即.（2）為直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立可得在線段上，為在線段上，設(shè)，因?yàn)椋?，解得，因?yàn)?，所以存?26．已知點(diǎn)和，P為直線上的動(dòng)點(diǎn).(1)求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，直線和直線垂直，列出方程，解方程即可得出答案；（2），當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，即可求出的最小值為，代入即可得出答案.（1）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為，，則，解得，，所以的坐標(biāo)為.（2）由（1）及已知得：，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，則的最小值為：．27．已知直線及點(diǎn)，，．(1)試在上求一點(diǎn)，使最小，并求這個(gè)最小值；(2)試在上求一點(diǎn)，使最大，并求這個(gè)最大值．【答案】(1)，，最小值為(2)，最大值為【分析】（1）求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，線段與直線的交點(diǎn)為，最小值為；（2）求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，射線與直線的交點(diǎn)為，最大值為．（1）設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則，解得，即，則的直線方程為：，聯(lián)立，解得，即交點(diǎn)為，，此時(shí)最小，最小為；（2）設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則，解得，得，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，即，由對(duì)稱性知，，（當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取“”，上的點(diǎn)，是使最大的點(diǎn)．此時(shí)最大值為；28．已知直線經(jīng)過定點(diǎn)P．(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）將變形為，解方程組，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)直線l的傾斜角為，可表示出，即得的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)，求出當(dāng)取最小值時(shí)參數(shù)的值，即可求得答案.（1）證明：由可得：，由可得，所以l經(jīng)過定點(diǎn)；即直線l過定點(diǎn),且定點(diǎn)在第二象限，所以無論k取何值，直線l始終經(jīng)過第二象限．（2）設(shè)直線l的傾斜角為，則，可得，所以，令，因?yàn)椋傻?，即，將兩邊平方可得：，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，可得，所以，所以直線的方程為．29．已知兩條直線，．(1)若，不重合，且垂直于同一條直線，將垂足分別記為，，求；(2)若，直線與垂直，且______，求直線的方程．從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中，使?jié)M足條件的直線有且僅有一條，并作答．條件①：直線過坐標(biāo)原點(diǎn)；條件②：坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為1；條件③：直線與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由，不重合，且垂直于同一條直線，得到，列出方程組，求得，再利用兩平行線間的距離公式，即可求解.（2）當(dāng)時(shí)，得到直線和的方程，根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，分別選擇①②③，根題設(shè)條件，求得的值，即可求解.（1）解：若，不重合，且垂直于同一條直線，所以，則，解得，即直線，，即為，，可得兩平行線間的距離為，即.（2）解：當(dāng)時(shí)，直線，因?yàn)橹本€與垂直，可設(shè)直線的方程為，若滿足條件①：由直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，此時(shí)直線的方程為.若滿足條件②：由坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為1，可得，解得，此時(shí)直線的方程為.若滿足條件③：由，聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)橹本€與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即，解得，此時(shí)直線的方程為.30．已知直線，且與坐標(biāo)軸形成的三角形面積為.求：（1）求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線過定點(diǎn)P；（2）分別求和時(shí)，所對(duì)應(yīng)的直線條數(shù)；（3）針對(duì)的不同取值，討論集合直線經(jīng)過P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素個(gè)數(shù).【答案】（1）定點(diǎn)，見解析；（2）時(shí)，2條直線，時(shí)，4條直線；（3）①時(shí)，2條直線；

②時(shí)，3條直線；

③時(shí)，4條直線.【分析】（1）直線方程化為，令求得直線所過的定點(diǎn)；（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)出直線方程，求出直線與軸的交點(diǎn)，計(jì)算對(duì)應(yīng)三角形的面積，由此求得直線條數(shù)；（3）由題意得，討論和時(shí)方程對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)根，從而求出對(duì)應(yīng)直線的條數(shù)，即可得出集合直線經(jīng)過P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中元素的個(gè)數(shù)．【解析】（1）直線可化為，令，解得，∴不論為何實(shí)數(shù)，直線過定點(diǎn).（2）由題意知，直線的斜率存在，且，設(shè)直線方程為，則直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為；∴的面積為；令，得，時(shí)，方程化為，解得，有兩個(gè)正根，即有兩條直線；時(shí)，方程化為，，方程無實(shí)數(shù)根，即無直線；綜上知，時(shí)有兩條直線；令，得，時(shí)，方程化為，解得，有兩個(gè)正根，即有兩條直線；時(shí)，方程化為，解得，有兩個(gè)負(fù)根，即有兩條直線；綜上知，時(shí)有四條直線；（3）由題意得，，時(shí)，方程化為，解得，有兩個(gè)正根，即有兩條直線；時(shí)，方程化為，，時(shí)，，方程無實(shí)數(shù)根，此時(shí)無直線；時(shí)，，方程有一負(fù)根，此時(shí)有一條直線；時(shí)，，解得，方程有兩負(fù)根，即有兩條直線；綜上知，時(shí)有兩條直線；時(shí)有三條直線，時(shí)有4條直線；所以時(shí)，集合直線經(jīng)過P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素有2個(gè)；時(shí)，集合直線經(jīng)過P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素有3個(gè)；時(shí)，集合直線經(jīng)過P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素有4個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查直線恒過定點(diǎn)、集合元素個(gè)數(shù)的判斷，考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．31．如圖所示，將一塊直角三角形板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)是三角板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點(diǎn)P的任一直線MN將三角形鋸成，設(shè)直線MN的斜率為k，問：（1）求直線MN的方程；（2）若的面積為，求的表達(dá)式；（3）若S為的面積，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于S的不等式有解，若存在，求m的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）利用點(diǎn)斜式方程，即可求得直線的方程，得到答案；（2）聯(lián)立直線方程求出直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的范圍，再利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，由，即可得到答案；（3）根據(jù)有解問題最值法，先分離變量，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)最小值，即可求解．【解析】（1）依題意，點(diǎn)，直線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程，可得直線MN的方程為．（2）由題意，因?yàn)椋傻弥本€OA方程為，直線AB方程為，聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)?，所以或，又由，解得，∵，∴所以由弦長公式可得，又由點(diǎn)P到直線OM的距離為，所以．（3）由題意，可得，設(shè)，令，即，函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，的最大值為，即，所以，又且，所以，可得的最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線