人大版微積分第三版課件7-1級(jí)數(shù)概念與正項(xiàng)級(jí)數(shù)

無(wú)窮級(jí)數(shù)

第7章常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

第一節(jié)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

等差數(shù)列：等比數(shù)列：無(wú)窮數(shù)列：級(jí)數(shù)：定義：給定一個(gè)數(shù)列無(wú)窮級(jí)數(shù):叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)(通項(xiàng)),n次部分和:部分和數(shù)列:當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)記作(誤差).例1.

討論等比級(jí)數(shù)

(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散

;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂

;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散

.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,

其和為比如:說(shuō)明:(2)斂+散不一定發(fā)散.例如,

(用反證法可證)(1)斂+斂=斂

(性質(zhì)2)=發(fā)散由性質(zhì)2知,矛盾!(3)散+散性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.比如:收斂!發(fā)散!性質(zhì)4.

收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:

設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,因此必有例如機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注:1

逆否命題:若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.2收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但例如，發(fā)散.或加刮號(hào)后的級(jí)數(shù)收斂,原級(jí)數(shù)不一定收斂三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件

設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:逆否:

若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散

.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,

調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散

.事實(shí)上

,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.例判斷斂散性例:判斷收斂與否機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解(1)原式=

(2)原式=五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若定理1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和數(shù)列有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

.定理2

(比較審斂法)(1)若大則小(2)若小則大則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.例1.

討論p-級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,因?yàn)楫?dāng)故考慮大級(jí)數(shù)的部分和故大級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知

p-級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若調(diào)和級(jí)數(shù)與p-級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).證明級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.定理3.

(比較審斂法的極限形式)設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),特別取可得如下結(jié)論:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),

(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)且收斂時(shí),(3)當(dāng)且發(fā)散時(shí),也收斂;也發(fā)散.比如: