臨汾市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

臨汾市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A1 B.2C.4 D.82．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的極大值為，無極小值 B.函數(shù)的極小值為，無極大值C.函數(shù)的極大值為0，無極小值 D.函數(shù)的極小值為0，無極大值3．設(shè)函數(shù)，則（）A.4 B.5C.6 D.74．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對(duì)乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（）種A.54 B.72C.96 D.1205．的展開式中的系數(shù)是（）A. B.C. D.6．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(2)=2,，則f(x)＞x的解集是（）A. B.C. D.7．設(shè)，則的一個(gè)必要不充分條件為（）A. B.C. D.8．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一條平行于y軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則經(jīng)點(diǎn)B反射后的反射光線必過點(diǎn)（）A. B.C. D.9．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，則正數(shù)的值是（）A.3 B.4C.9 D.2110．由1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中1與2不能相鄰的排法總數(shù)為（）A.20 B.36C.60 D.7211．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A. B.C. D.12．設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.0 B.C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若，則______14．雙曲線的右焦點(diǎn)到C的漸近線的距離為，則C漸近線方程為______15．若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，可形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷進(jìn)行構(gòu)造，又可以得到新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列1，，，，…，，2；記則______，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______16．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，有一條長度為3的線段，端點(diǎn)，分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，為線段上一點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知不過原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段始終被直線平分.求的面積取最大時(shí)直線的方程.18．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面.20．（12分）已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在上無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，（1）求證：；（2）求直線與所成角的余弦值22．（10分）“既要金山銀山，又要綠水青山”.濱江風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑為100米的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光線路（如圖所示）.在點(diǎn)與圓弧上的一點(diǎn)（不同于A，B兩點(diǎn)）之間設(shè)計(jì)為直線段小路，在直線段小路的兩側(cè)（注意是兩側(cè)）種植綠化帶；再從點(diǎn)到點(diǎn)設(shè)計(jì)為沿弧的弧形小路，在弧形小路的內(nèi)側(cè)（注意是一側(cè)）種植綠化帶（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計(jì)）.（1）設(shè)(弧度)，將綠化帶總長度表示為的函數(shù)；（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大.(弧度公式：，其中為弧所對(duì)的圓心角)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)即可求出【詳解】依題可知，，所以故選：C2、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)來求得的極值.【詳解】的定義域?yàn)?，，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A3、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.4、A【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，由加法原理計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A5、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出答案即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)是故選：B6、D【解析】構(gòu)造，結(jié)合已知有在R上遞增且，原不等式等價(jià)于，利用單調(diào)性求解集.【詳解】令，由題設(shè)知：，即在R上遞增，又，所以f(x)＞x等價(jià)于，即.故選：D7、C【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，，，所以是的充分不必要條件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，所以是的非充分非必要條件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，，所以是必要不充分條件，C正確；D選項(xiàng)：，，，所以是的非充分非必要條件，D錯(cuò)誤.故選：C.8、D【解析】求出、坐標(biāo)可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出，根據(jù)選項(xiàng)可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯(lián)立解得，所以，因?yàn)榉瓷涔饩€平行于y軸，根據(jù)選項(xiàng)可得D正確,故選：D9、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因?yàn)椋?故選：A10、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4個(gè)位置上選2個(gè)排1，2.【詳解】先排3，4，5,,共有種排法，然后在4個(gè)位置上選2個(gè)排列1,2，有種排法，則1與2不能相鄰的排法總數(shù)為種，故選：D.11、B【解析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，.故選：B12、A【解析】先畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由，可得，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)，即，表示斜率為，截距為的直線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)向量平行求得，由此求得.【詳解】由于，所以.故答案為：14、【解析】根據(jù)給定條件求出雙曲線漸近線，再用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算作答【詳解】雙曲線的漸近線為：，即，依題意，，即，解得，所以C漸近線方程為.故答案為：15、①.81②.【解析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造寫出前面幾次得到的新數(shù)列，尋找規(guī)律，構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，再進(jìn)行求和.【詳解】第1次得到數(shù)列1，3，2，此時(shí)；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時(shí)；第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時(shí)；第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時(shí)，故81，且故，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，故，所以故答案為：81，16、##31.5【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又，所以，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)設(shè)，根據(jù)題意可得，，利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；(2)設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示直線斜率的公式和點(diǎn)差法求出直線的斜率，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示、進(jìn)而得出弦長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到的距離，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)，由為線段上一點(diǎn)，且，得，，又，則，整理可得，所以軌跡的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為.∵在直線上，∴，∵A，在軌跡上，∴兩式相減，可得，∴，即直線的斜率為，依題意，可設(shè)直線的方程為，由可得，則解得且由韋達(dá)定理，得，∴∵原點(diǎn)到直線的距離為∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)直線的方程為.18、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關(guān)系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出、所在直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程，分別表示出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出弦長關(guān)系，再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，把面積用和的式子表示出來，通過給出的面積的值，找到和的等量關(guān)系，將等量關(guān)系帶入到利用跟與系數(shù)關(guān)系組合成的中即可得到答案.【小問1詳解】由題意：，由知：，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】設(shè)：，①橢圓.②聯(lián)立①②得：，，即∴，O到直線l的距離，∴，∴，即，∴.故為定值6.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）由直棱柱的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，由線面垂直判定定理即可得結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，通過線線平行得到面面，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】（1）∵直三棱柱，∴面，∴，又∵，，，∴，∴，∵，∴面，∴（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，面，∴面，∵，且，∴四邊形平行四邊形，∴，面，∴面，∵，∴面面，∴平面.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線面平行常見的證明方法：（1）通過構(gòu)造相似三角形（三角形中位線），得到線線平行；（2）通過構(gòu)造平行四邊形得到線線平行；（3）通過線面平行得到面面平行，再得線面平行.20、（1）；（2）見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)在處取極值可得，可求得，驗(yàn)證可知滿足題意；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可求得切線方程；（2）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到的單調(diào)性；（3）根據(jù)在上無零點(diǎn)可知在上的最大值和最小值符號(hào)一致；分別在，兩種情況下根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最大值和最小值，利用符號(hào)一致構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：在處取極值，解得：則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增為極小值點(diǎn)，滿足題意函數(shù)當(dāng)時(shí)，由得：在處的切線方程為：，即：（2）由題意知：函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)若，恒成立，恒成立在內(nèi)單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí)由，得：；由得：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增（3）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減在上無零點(diǎn)，且②當(dāng)時(shí)（i）若，即，則在上單調(diào)遞增由，知符合題意（ii）若，即，則在上單調(diào)遞減在上無零點(diǎn)，且（iii）若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，符合題意綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用問題，涉及到導(dǎo)數(shù)幾何意義、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問題.本題的關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性以及最值.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，由，，證出平面，即可證出.（2）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，即可得到答案.【小問1詳解】過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即?因?yàn)?，所以平?/p>