婁底市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

婁底市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B.“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C.“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D.“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”2．在等比數(shù)列{an}中，a1=8，a4=64，則a3等于（）A.16 B.16或-16C.32 D.32或-323．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且，則的長為（）A. B.1C. D.4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.5．若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B.C. D.6．在正四面體中，棱長為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則的值為A. B.1C. D.7．兩個(gè)圓和的位置是關(guān)系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內(nèi)含8．已知拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，則（）A. B.C. D.9．已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，延長交另一條漸近線于點(diǎn)A.已知為原點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，若存在使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”.下列選項(xiàng)中沒有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是()A. B.C. D.11．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.2512．某中學(xué)高一年級(jí)有200名學(xué)生，高二年級(jí)有260名學(xué)生，高三年級(jí)有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13C.17 D.26二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知.若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.14．若點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為________15．已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道4選1的單選題16．函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，，，，四邊形為菱形，在平面ABCD內(nèi)的射影O恰好為AD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任意兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出該定值19．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式;（2）若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍20．（12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)21．（12分）圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）求圓與圓的公共弦的長.22．（10分）已知橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3，0)，離心率為e.（1）若e＝，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線y＝kx與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為線段AF2，BF2的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，且<e≤，求k的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念,對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C,“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件,符合題意;對(duì)于選項(xiàng)D,“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】首先根據(jù)a4=a1q3，求得q=2，再由a3=即可得解.【詳解】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故選：C3、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C4、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結(jié)論【詳解】解：由，得最小時(shí)，最小，而，所以故選：A.5、B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6、A【解析】根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點(diǎn)，可得，代入，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點(diǎn)故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.7、C【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關(guān)系，可得選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以兩圓的位置是關(guān)系是相交，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于運(yùn)用判定兩圓的位置關(guān)系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】首先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，確定的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.【詳解】，，因?yàn)辄c(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，所以，得故選：C9、C【解析】畫出圖象，結(jié)合漸近線方程得到，，進(jìn)而得到，結(jié)合漸近線的斜率及角度關(guān)系，列出方程，求出，從而求出.【詳解】漸近線為，如圖，過點(diǎn)F作FB垂直于點(diǎn)B，交于點(diǎn)A，則到漸近線距離為，則，又，由勾股定理得：，則，又，，所以，解得：，所以.故選：C10、C【解析】利用新定義：存在使得，則稱是的一個(gè)“巧點(diǎn)”，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行一一的判斷即可【詳解】對(duì)于A，，則，令，解得或，即有解，故選項(xiàng)A的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于B，，則，令，令，則g(x)在x＞0時(shí)為增函數(shù)，∵(1)，(e)，由零點(diǎn)的存在性定理可得，在上存在唯一零點(diǎn)，即方程有解，故選項(xiàng)B的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意；對(duì)于C，，則，令，故方程無解，故選項(xiàng)C的函數(shù)沒有“巧值點(diǎn)”，符合題意；對(duì)于D，，則，令，則.∴方程有解，故選項(xiàng)D的函數(shù)有“巧值點(diǎn)”，不符合題意故選：C11、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.12、B【解析】計(jì)算出抽樣比可得答案.【詳解】該校高中學(xué)生共有名，所以高二年級(jí)抽取的人數(shù)名.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)椋?故答案為：14、7【解析】根據(jù)給定條件求出圓C的圓心C到直線l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線的距離，所以圓C上點(diǎn)P到直線l距離的最大值為.故答案為：715、##0.84375【解析】合理設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)小王從這8題中任選1題，且作對(duì)為事件A，選到能完整做對(duì)的5道題為事件B，選到有思路的兩道題為事件C，選到完全沒有思路為事件D，則，，，由全概率公式可得：PA=PB故答案為：16、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并且通過導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到原函數(shù)的極值，因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值小于或極小值大于，即可得到答案.【詳解】解：由題意可得：函數(shù)，所以，令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，，因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，，所以或，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)镺為在平面ABCD內(nèi)的射影，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.如圖，連接BD，在中，.設(shè)CD的中點(diǎn)為P，連接BP，因?yàn)椋?，，所以，且，則.因?yàn)?，所以，易知，所?因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平?【小問2詳解】由（1）知平面ABCD，所以可以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A，，所在直線分別為x，z，以平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)O且垂直于OA的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以,,，，設(shè)平面的法向量為，，，則可取平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，，，則令，得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的平面角為，由法向量的方向可知與法向量的夾角大小相等，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，將題目轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)得到，代入計(jì)算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，故，即，即，化簡(jiǎn)整理得到：，原點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，即直線方程為，到原點(diǎn)的距離為.綜上所述：原點(diǎn)到直線的距離為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將圓過原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.19、（1）（2）【解析】(1)移項(xiàng),兩邊平方即可獲解;(2)利用絕對(duì)值不等式即可.【小問1詳解】即即,即即即或所以不等式的解集為【小問2詳解】由題知對(duì)恒成立因?yàn)?所以,解得即或,所以實(shí)數(shù)的取值范為20、（1）（2）答案見解析.【解析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大、極小值，結(jié)合函數(shù)的圖象分類討論可得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，且在處取得極值，所以，即，得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)。，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立，所以，得.【小問2詳解】，，由，得，由，得或，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時(shí)取得極大值為，在時(shí)取得極小值為，因?yàn)楫?dāng)大于0趨近于0時(shí)，趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，趨近于正無窮，所以當(dāng)，即時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且只有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述：當(dāng)或時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)有且只有三個(gè)零點(diǎn).21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓的方程為，代入所過的點(diǎn)后可求，從而可求圓的方程.（2）利用兩圓的方程可求公共弦的方程，利用垂徑定理可求公共弦的弦長.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，，，所以圓的方程為；【小問2詳解】由圓的方程和圓的方程可得公共弦的方程為：，整理得到：，到公共弦距離為，故公共弦的弦長為：.22、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)右焦點(diǎn)為F2(3，0)，以及，求得a，b，c即可.(2)聯(lián)立，根據(jù)M，N分別為線段AF2，BF2中點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，易得OM⊥ON，則四邊形OMF2N為矩形，從而AF2⊥BF2，然后由0，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】(1)由題意得c＝3，，所以.又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以橢圓的方程為.(2)由