2018年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二真題及答案

2018年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二真題及答案一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1、若，則______

A．

B．

C．

D．

2、下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是______

A．f(x)=|x|sin|x|

B．

C．f(x)=cos|x|

D．

3、設(shè)函數(shù)，若f(x)+g(x)在R上連續(xù)，則______

A．a(chǎn)=3，b=1

B．a(chǎn)=3，b=2

C．a(chǎn)=-3，b=1

D．a(chǎn)=-3，b=2

4、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且，則______

A．當f'(x)＜0時，

B．當f"(x)＜0時，

C．當f'(x)＞0時，

D．當f"(x)＞0時，

5、設(shè)，則______

A．M＞N＞K

B．M＞K＞N

C．K＞M＞N

D．K＞N＞M

6、

A．

B．

C．

D．

7、下列矩陣中，與矩陣相似的為______

A．

B．

C．

D．

8、設(shè)A，B為n階矩陣，記r(X)為矩陣X的秩，(X，Y)表示分塊矩陣，則______

A．r(A，AB.=rA.

B．r(A，BA.=rA.

C．r(A，B.=max{rA.，r(B.}

D．r(A，B.=r(AT，BT)

二、填空題9、

10、曲線y=x2+2lnx在其拐點處的切線方程是______．

11、

12、曲線對應(yīng)點處的曲率為______．

13、設(shè)函數(shù)z=z(x，y)由方程lnz+ez-1=xy確定，則

14、設(shè)A為3階矩陣，α1，α2，α3為線性無關(guān)的向量組．若Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=-α2+α3，則A的實特征值為______.

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15、求不定積分

已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足16、求f(x)；17、若f(x)在區(qū)間[0，1]上的平均值為1，求a的值．18、設(shè)平面區(qū)域D由曲線與x軸圍成．

計算二重積分

19、已知常數(shù)k≥ln2-1，證明：(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0．

20、將長為2m的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個圖形的面積之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．

21、已知曲線，點O(0，0)，點A(0，1)，設(shè)P是L上的動點，S是直線OA與直線AP及曲線L所圍成圖形的面積．若P運動到點(3，4)時沿x軸正向的速度是4，求此時S關(guān)于時間t的變化率．

22、設(shè)數(shù)列{xn}滿足：x1＞0，xnexn+1=exn-1(n=1，2，…)．證明{xn}收斂，并求

設(shè)實二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是參數(shù)．23、求f(x1，x2，x3)=0的解；24、求f(x1，x2，x3)的規(guī)范形．已知a是常數(shù)，且矩陣可經(jīng)初等列變換化為矩陣25、求a；26、求滿足AP=B的可逆矩陣P．

答案:

一、選擇題

1、B[解析]

要使得極限存在，則成立

提示：對于極限，可將ex展開成泰勒函數(shù)形式，進而求出a，b．

要使得上式極限存在，則2、D[解析]

本題考查導(dǎo)數(shù)的極限定義．

對于D選項：由定義得

由于，因此f(x)在x=0處不可導(dǎo)．3、D[解析]

分段點為x=-1，x=0．當x≤-1時，f(x)+g(x)=-1+2+ax=1-ax；

當-1＜x＜0時，f(x)+g(x)=-1+x；當x≥0時，f(x)+g(x)=1+x-b．

綜上知：，則

又f(x)+g(x)在R上連續(xù)，因此4、D[解析]

對于A選項：取，此時f'(x)=-1＜0，但

對于B、D選項：取，由，可得

當f"(x)=2a＜0時，；當f"(x)=2a＞0時，

對于C選項：取，此時f'(x)=1＞0，但．故D選項正確．

提示：本題也可用泰勒公式展開求解．

對于A、C選項，令

可知無論f'(x)＞0，還是f'(x)＜0，都有．排除A、C選項．

對于B、D選項，令

可知當f"(x)＜0時，；當f"(x)＞0時，．B選項錯誤，D選項正確．5、C[解析]

由定積分的性質(zhì)，可知

即K＞M＞N．故C選項正確．6、C[解析]

積分區(qū)域D可表示為

D={(x，y)|-1≤x≤0，-x≤y≤2-x2}∪{(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤2-x2}．

D關(guān)于y軸對稱，而xy關(guān)于x為奇函數(shù)，因此

7、A[解析]

本題考查矩陣相似的定義及相似矩陣的性質(zhì)(相似矩陣的秩相等)．

若存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則A～B．從而可知

E-A～E-B，且r(E-A)=r(E-B)．

設(shè)題中所給矩陣為A，各選項中的矩陣分別為B1，B2，B3，B4．經(jīng)驗證知

r(E-B1)=2，r(E-B2)=r(E-B3)=r(E-B4)=1．

因此A～B1，即A相似于A選項下的矩陣．8、A[解析]

解這道題的關(guān)鍵，要熟悉以下兩個不等關(guān)系，

①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．

由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B)≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．

又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．

從而可得r(A，AB)=r(A)．二、填空題

9、[解析]

由拉格朗日中值定理，得

且當x→+∞時，ξ→+∞．10、y=4x-3[解析]

首先求得函數(shù)y=x2+2lnx的定義域為(0，+∞)．

求一階、二階導(dǎo)，可得

令y"=0，得x=1．當x＞1時，y"＞0；當x＜1時，y"＜0．

因此(1，1)為曲線的拐點，點(1，1)處的切線斜率k=y'(1)=4．

因此切線方程為y-1=4(x-1)，即y=4x-3．11、[解析]

12、[解析]

當時，

因此，曲線的曲率13、[解析]

將方程lnz+ez-1=xy兩邊對x求偏導(dǎo)，得

當x=2，時，z=1，代入上式，可得14、[解析]

由題可得

由于α1，α2，α3線性無關(guān)，因此P=(α1，α2，α3)為可逆矩陣，則

因此A～B，則矩陣A、B具有相同的特征值．而

從而可知B的實特征值為2，A的實特征值為2．三、解答題15、解：

提示：本題還可利用變量替換求解．令，化簡過后，利用分部積分逐步求解．最后求得關(guān)于t的表達式后，記得將再代回去．(求解過程略)

16、解：令u=x-t，則t=x-u，dt=-du．因此

從而可轉(zhuǎn)化為

將上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得

即

將上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得

f'(x)+f(x)=2n．

由通解公式，可求得上述一階非齊次線性微分方程的通解為

又f(0)=0，則可得C=-2a．因此

f(x)=2a(1-e-x)．

17、解：由于，則有

因此

18、解：題中所給曲線是一條拱線，平面區(qū)域D可表示為

0≤x≤2π，0≤y≤y(x)．

下面利用換元法求解，令x=t-sint，y(x)=1-cost，則

19、證明：當x=1時，顯然所證成立，

當x≠1時，令f(x)=x-ln2x+2klnx-1(x＞0)，求導(dǎo)得

令g(x)=x-2lnx+2k，求導(dǎo)得

令g'(x)=0，得駐點x=2．

①當0＜x＜1時，g'(x)＜0，因此g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，則

g(x)＞g(1)=1+2k≥1+2(ln2-1)=2ln2-1＞0．

因此f'(x)＞0，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，故f(x)＜f(1)=0．

在(0，1)上，由x-1＜0，f(x)＜0，可得

(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)＞0．

②當x＞1時，可知當1＜x＜2時，g'(x)＜0；當x＞2時，g'(x)＞0．

因此g(x)在(1，2)上單調(diào)遞減，在(2，+∞)上單調(diào)遞增，則

g(x)＞g(2)=2-2ln2+2k≥2-2ln2+2(ln2-1)=0．

因此f'(x)＞0，f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)＞f(1)=0．

在(1，+∞)上，由x-1＞0，f(x)＞0，可得

(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)＞0．

綜上所述：當x＞0時，不等式(x-1)(x-ln2x+2klnx-1)≥0恒成立．

20、解：設(shè)分割后的三段鐵絲的長分別為x，y，z，則x+y+z=2．

對應(yīng)圓的面積為

對應(yīng)正方形的面積為

對應(yīng)正三角形的面積為

則三個圖形的面積之和為

構(gòu)造輔助函數(shù)

從而所求最值問題轉(zhuǎn)化為求解多元函數(shù)的條件極值問題．

從而得唯一駐點

由問題的實際背景可知，在該駐點處，S取得最小值．因此

21、解：設(shè)點P坐標為，則所圍圖形的面積為

其中，前者為直線AP與直線x=x(t)及x軸、y軸所圍梯形的面積，后者為曲線與直線x=x(t)及x軸所圍曲面圖形的面積．S為兩者之差．

則S關(guān)于時間t的變化率為

又已知當x(t)=3時，x'(t)=4，代入上式，可得S'(t)|x=3=10．

22、證明：設(shè)f(x)=ex-1-x(x＞0)，則有

f'(x)=ex-1＞0，因此f(x)＞f(0)=0，

從而，可知x2＞0．

猜想xn＞0，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．

當n=1時，x1＞0，成立；

假設(shè)當n=k(k=2，3，…)時，有xk＞0，則n=k+1時，有

因此xk+1＞0．

從而得知無論n取任何自然數(shù)，都有xn＞0，即數(shù)列{xn}有下界．

又，設(shè)g(x)=ex-1-xex．

當x＞0時，g'(x)=ex-ex-xex=-xex＜0．

因此g(x)單調(diào)遞減，g(x)＜g(0)=0，即有ex-1＜xex，

因此，可知數(shù)列{xn}單調(diào)遞減．

由單調(diào)有界準則可知數(shù)列{xn}收斂．

設(shè)，則有AeA=eA-1(A≥0)．可知A=0是該方程的解．

因為當x＞0時，g(x)=ex-1-xex＜g(0)=0．

因此A=0是方程AeA=eA-1唯一的解，故

23、解：由f(x1，x2，x3)=0得

當a≠2時，方程組有唯一解：x1=x2=x3=0．

當a=2時，方程組有無窮解：令x1=1，可得解

24、解：當a≠2時，做非退化的線性變換

此時f(x1，x2，x3)的規(guī)范形為

當a=2時，做非退化的線性變換

則f(x1，x2，x3)的規(guī)范形為

25、解：由題意知，|A|=|B|，且r(A)=r(B)．由于

因此可得a=2．

26、解：求滿足AP=B的可逆矩陣P，即求方程組Ax=B的解．

令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，x=(x1，x2，x3)，

則可得方程組Ax1=β1的基礎(chǔ)解系為(-6，2，1)T，特解為(3，-1，0)T；

得方程組Ax2