《子空間的交與和》

§6子空間的交與和主要內(nèi)容子空間的交子空間的和目錄下頁返回結(jié)束子空間的交與和的性質(zhì)維數(shù)公式1整理ppt一、子空間的交首頁上頁下頁返回結(jié)束2整理ppt子空間的交的運(yùn)算規(guī)律:1)交換律

V1∩V2=V2∩V1；2)結(jié)合律(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)

.由結(jié)合律，我們可以定義多個子空間的交：它也是子空間.首頁上頁下頁返回結(jié)束3整理ppt二、子空間的和

定義8設(shè)V1,V2是線性空間V的兩個子空間,所謂V1與V2的和，是指由所有能表示成

1+

2，而

1

V1，

2

V2的向量組成的子集合，記作V1+V2，即V1+V2={

|

=

1+

2,

1

V1,

2

V2

}首頁上頁下頁返回結(jié)束4整理ppt首頁上頁下頁返回結(jié)束5整理ppt注：首頁上頁下頁返回結(jié)束6整理ppt子空間的和的運(yùn)算規(guī)律1)交換律

V1

+V2=V2

+V1；2)結(jié)合律(V1+V2)+V3=V1+(V2

+V3)

.由結(jié)合律，我們可以定義多個子空間的和：的向量組的子空間.它是由所有表示成

1+

2+…+

s,

i

Vi

(i=1,2,…,s)首頁上頁下頁返回結(jié)束7整理ppt三、子空間的交與和的性質(zhì)1.設(shè)V1,V2,W都是子空間，那么由W

V1與W

V2可推出W

V1∩V2;而由W

V1與W

V2可推出W

V1+V2.2.對于子空間V1,V2,以下三個論斷是等價的:1)V1

V2；2)V1∩V2=V1；3)V1+V2=V2.首頁上頁下頁返回結(jié)束8整理ppt首頁上頁下頁返回結(jié)束9整理ppt例2設(shè)V1=L(

1,

2),V2=L(

1,

3)是R3兩個不同的2維子空間，求V1∩V2和V1+V2，并指它們的幾何意義.解因?yàn)閂1和V2是兩個不同的子空間，所以

1,

2,

3線性無關(guān)，從而V1=V2與題設(shè)矛盾.于是由子空間的交與和的定義可得V1∩V2=L(

1),V1+V2=L(

1,

2,

3)=R3.否那么3可由1,2線性表示其幾何意義是：V1=L(

1,

2)是向量

1,

2所確定的平面，V2=L(

1,

3)是向量

1,

3所確定首頁上頁下頁返回結(jié)束10整理ppt的平面，個3維空間.V1∩V2是這兩個平面的交線，V1+V2是整xoyz

1

2

3V1V2V1∩V2首頁上頁下頁返回結(jié)束11整理ppt例3設(shè)V1,V2分別是P3中齊次方程組與首頁上頁下頁返回結(jié)束12整理ppt的解空間.首頁上頁下頁返回結(jié)束的解空間，那么V1∩V2就是齊次方程組13整理ppt首頁上頁下頁返回結(jié)束14整理ppt四、維數(shù)公式首頁上頁下頁返回結(jié)束15整理ppt首頁上頁下頁返回結(jié)束16整理ppt首頁上頁下頁返回結(jié)束17整理ppt首頁上頁下頁返回結(jié)束18整理ppt首頁上頁下頁返回結(jié)束19整理ppt從維數(shù)公式可以看到,和的維數(shù)往往要比維數(shù)的和來得小.例如，在三維幾何空間中，兩張通過原點(diǎn)的不同的平面之和是整個三維空間，而其維數(shù)之和卻等于4.由此說明這兩張平面的交是一維的直線.首頁上頁下頁返回結(jié)束20整理ppt推論如果n維線性空間V中兩個子空間V1,V2的維數(shù)之和大于n,那么V1,V2

必含有非零的公共向量.證由假設(shè)維(V1+V2)+維(V1∩V2)=維(V1)+維(V2)>n.但因V1+V2是V的子空間而有維(V1+V2)

n,所以維(V1∩V2)>0.這就是說，V1∩V2中含有非零向量.首頁上頁下頁返回結(jié)束21整理ppt解因?yàn)閂1+V2=L(

1,

2,

3

)+L(

1,

2)=L(

1,

2,

3

,

1,

2),所以向量組

1,

2,

3

,

1,

2的一個極大無關(guān)組就首頁上頁下頁返回結(jié)束22整理ppt是V1+V2的一組基.把向量組

1,

2,

3

,

1,

2中的每個向量作為矩陣的一列，構(gòu)造矩陣A，對A進(jìn)行初等行變換，化成行最簡形：行變換首頁上頁下頁返回結(jié)束23整理ppt由A的行最簡形矩陣

1,

2,

1線性無關(guān)，且

2=

1-3

2+4

1.于是

1,

2,

1是V1+V2的一組基，維(V1+V2)=3；又由A的行最簡形知

1,

2是V1的一組基,維(V1)=2,維(V1∩V2)=維(V1)+維(V2)-維(V1+V2)=2+2-3=1.

1,

2是V2的一組基，維(V2)=2.所以首頁上頁下頁返回結(jié)束24整理ppt由

2=

1-3

2+4

1得

1-3

2