第五章：積分方程

數(shù)學(xué)物理方法概論之——（積分方程法）聯(lián)系電話(huà)ailto:blu@n/bailu2021/5/91第五章積分方程積分方程是研究數(shù)學(xué)其它學(xué)科和各種物理問(wèn)題的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具。它在彈性介質(zhì)理論和流體力學(xué)中應(yīng)用很廣，也常見(jiàn)于電磁場(chǎng)理論物理中。本節(jié)將介紹求解積分方程的理論和一般方法。

2021/5/921、基本概念；2、迭代法；3、算子的范數(shù)；4、巴拿赫空間中的迭代法；5、非線(xiàn)性方程的迭代法；6、可分核；7、普遍的有限秩；8、全連續(xù)算子；9、全連續(xù)厄米算子；10、全連續(xù)算子的弗雷德霍姆擇一定理；11、積分方程的數(shù)值計(jì)算；第五章積分方程2021/5/93§5積分方程法

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5.1基本概念一、積分方程的定義在方程中，若未知函數(shù)在積分號(hào)下出現(xiàn)，則稱(chēng)這種方程為積分方程。一般的線(xiàn)性積分方程，可寫(xiě)為如下的形式其中，和已知。是未知函數(shù)，積分方程的核，也是已知函數(shù)。被稱(chēng)為本征值的作用）是常數(shù)因子（經(jīng)常起一2021/5/94若未知函數(shù)僅出現(xiàn)在積分號(hào)內(nèi)，稱(chēng)為第一類(lèi)方程。若未知函數(shù)既出現(xiàn)在積分號(hào)內(nèi)，又出現(xiàn)在積分號(hào)外稱(chēng)為第二類(lèi)方程。積分限為常數(shù)的，稱(chēng)為Fredholm弗雷德霍姆方程。積分限中有一個(gè)是變數(shù)的，稱(chēng)為volterra伏特拉方程§5積分方程法

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5.1基本概念積分方程的核，是的連續(xù)函數(shù)。或平方可積，稱(chēng)核為非奇性核或fredholm核。此外，還有弱奇性核及Cauchy奇性核二、積分方程的分類(lèi)1）按照積分上下限2）按照未知函數(shù)是否在積分內(nèi)第一類(lèi)第二類(lèi)3）按照積分的核進(jìn)行分類(lèi)2021/5/95§

5.1基本概念三、積分方程的算子形式積分方程也可采用算符的形式來(lái)表示。即其中K為積分算子若算子方程的逆存在，則問(wèn)題在形式上就解決了。此時(shí)§5積分方程法

2021/5/96§5.2退化核的方程的解法

如果積分方程的核具有如下的形式則被稱(chēng)為是退化的，具有退化的核的積分方程，可用初等的方法來(lái)求解。以下通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明如何求解退化核方程。例.求解積分方程解：令則式(1)可以變?yōu)?1)§5積分方程法

(2)(3)2021/5/97§5積分方程法

顯然，采用迭代的方法，將式(3)代入(2)，得這個(gè)方程組的解是代入式(3)就可以得到積分方程的解為注意有兩個(gè)的值可使上式的解變?yōu)闊o(wú)窮大。當(dāng)取某些特殊值時(shí)，齊次積分方程有非零解，這樣的值稱(chēng)為積分方程的本征值，而相應(yīng)的非零解稱(chēng)作本征函數(shù)。§5.2退化核的方程的解法

2021/5/98定理1.

如果§5積分方程法

齊次方程有唯一解；若是本征值，則齊次方程從上例可以看到，如果核是退化的，則解一個(gè)積分方程的問(wèn)題就簡(jiǎn)化為解一個(gè)大家非常熟悉的代數(shù)方程組的問(wèn)題。如果退化核有N項(xiàng)，顯然將有N個(gè)本征值，當(dāng)然它們不一定都不同。既然退化核方程的解是與相應(yīng)的線(xiàn)性代數(shù)方程組密切相關(guān)的，所以退化核方程的許多性質(zhì)可由相應(yīng)的代數(shù)方程組的有關(guān)性質(zhì)導(dǎo)出。弗雷德霍姆將之簡(jiǎn)化為一系列理論，這些理論被人們稱(chēng)為弗雷德霍姆定理，在此我們不作證明。不是本征值，則對(duì)于任何的非齊次項(xiàng),非至少有一個(gè)非平凡解即本征函數(shù)，且與一個(gè)本征值相對(duì)于的，線(xiàn)性獨(dú)立的本征函數(shù)只有一個(gè)?！?.2退化核的方程的解法

2021/5/99定理3.

如果是一個(gè)本征值，那么非齊次方程有解的充要條件是：與轉(zhuǎn)置齊次方程的一切解正交，即定理2.

如果不是一個(gè)本征值，那么也不是轉(zhuǎn)置方程§5積分方程法

至少有一個(gè)平凡解。的一個(gè)本征值；如果是一個(gè)本征值，則也是轉(zhuǎn)置方程的一個(gè)本征值，即其中滿(mǎn)足式§5.2退化核的方程的解法

2021/5/910§5積分方程法

并對(duì)x積分，便可得定理3的正交關(guān)系。事實(shí)上，定理2是這樣一個(gè)事實(shí)的模擬，即矩陣和它的轉(zhuǎn)置具有同樣的本征值。如果我們以乘以

需要指出的是弗雷德霍姆定理僅嚴(yán)格地適用于非奇異的積分方程。奇異積分方程的理論是一個(gè)不同的問(wèn)題。對(duì)于具有退化核的伏特拉方程，常常能通過(guò)求微分變?yōu)槲⒎址匠?。我們?nèi)砸砸粋€(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明?！?.2退化核的方程的解法

2021/5/911§5積分方程法

例2.求解積分方程解：令代入原式，有所以解此微分方程可得于是得把它再代入原方程可求得，因此§5.2退化核的方程的解法

2021/5/912§5積分方程法

到于是得§5.3具有位移核的方程的求解

如果核僅僅是的一個(gè)函數(shù)，即所謂的位移核且積分范圍是，則可以應(yīng)用傅立葉變換來(lái)求解?？紤]方程對(duì)此方程進(jìn)行傅氏變換，并記則由卷積定理有2021/5/913§5積分方程法

§5.3具有位移核的方程的求解

因此如果我們能求上式的逆變換，就能得到方程的解。如果積分區(qū)間是從0到x，具有一位移核，且被積函數(shù)對(duì)于則可用拉氏變換來(lái)求解，因?yàn)樵谶@種情況下也有相應(yīng)的卷積積分定理。2021/5/914§5積分方程法

§5.4迭代解法

求解積分方程的另一個(gè)直接方法就是迭代法，我們首先取近似將此式代入原方程右邊的積分中，便得到一級(jí)近似再將一級(jí)近似代入原式的右邊，便得到二級(jí)近似零級(jí)近似2021/5/915§5積分方程法

§5.4迭代解法

重復(fù)迭代，得級(jí)數(shù)其中被稱(chēng)為諾依曼級(jí)數(shù)或積分方程的諾依曼解?？梢宰C明，如果核和在區(qū)間上連續(xù)，對(duì)于足夠小的，該級(jí)數(shù)解將收斂。2021/5/916§5積分方程法

§5.4迭代解法

其中例3.求解描述粒子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程表示粒子的波函數(shù)，第一項(xiàng)表示粒子的動(dòng)能，V(r)表示作用勢(shì)，E表示系統(tǒng)的總能量，它可表為解：方程又可寫(xiě)為此方程具有邊界條件2021/5/917§5積分方程法

§5.4迭代解法

其中邊界條件,第一項(xiàng)表示入射粒子的平面波，第二項(xiàng)表示入射粒子與V(r)的作用而散射的粒子的球面波。于是，由格林函數(shù)法知亥姆霍茲方程的格林函數(shù)為這樣，我們可以將散射問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榉e分方程2021/5/918§5積分方程法

§5.4迭代解法

其中,第一項(xiàng)是用來(lái)調(diào)整解使之滿(mǎn)足邊界條件的補(bǔ)充修正函數(shù)。解可以寫(xiě)為諾依曼級(jí)數(shù)由第一代迭代，即取我們可得到一非常重要的結(jié)果，被稱(chēng)作玻恩(Born)近似記2021/5/919§5積分方程法

§5.4迭代解法

繼續(xù)迭代得于是解可表示為級(jí)數(shù)這個(gè)級(jí)數(shù)解當(dāng)較小時(shí)，便能很快收斂。2021/5/920§5積分方程法

§5.4迭代解法

通過(guò)迭代解法將g(x)作為f(x)的零級(jí)近似，代入得方程的一級(jí)近似，繼續(xù)下去，得到由第二類(lèi)的弗雷德霍姆方程這個(gè)級(jí)數(shù)解是非收斂的條件可以利用算子的性質(zhì)進(jìn)行討論2021/5/921§5積分方程法

§5.4迭代解法

將迭代解法表示為更為抽象的算子形式注意到雖然K是積分算子，但I(xiàn)不是。當(dāng)K在某種意義下“小”，則我們可以將其展開(kāi)為因?yàn)橐呀?jīng)要求當(dāng)K作用在V中的任何元素上時(shí)產(chǎn)生V中的另一個(gè)元素，所以可把Kn簡(jiǎn)單定義為K的連續(xù)作用：

若算子方程的逆存在，則問(wèn)題在形式上就解決了。此時(shí)2021/5/922§5積分方程法

§5.4迭代解法

對(duì)于K的這個(gè)限制并不是無(wú)關(guān)緊要的，因?yàn)橐恍┛瓷先ズ侠淼乃阕?，?dāng)它作用在V上時(shí)，所產(chǎn)生的客體不在V中。例如：考慮在[0,1]上定義的單變量的平方可積函數(shù)空間L2[0,1]，將算子d/dx作用在這個(gè)空間上，顯然，是屬于L2[0,1]空間的，但不屬于L2[0,1]，因此d/dx不能把L2[0,1]空間中的每一個(gè)元素變換成同一空間中的另一個(gè)元素，所以對(duì)我們的要求來(lái)說(shuō)，它不是可允許的算子。

2021/5/923§5積分方程法

§5.4迭代解法

收斂時(shí)，它就是方程的解。上述級(jí)數(shù)式，數(shù)學(xué)家稱(chēng)為諾依曼級(jí)數(shù)，而物理學(xué)家稱(chēng)為波恩級(jí)數(shù)，因?yàn)檎邱R克思波恩首先在量子力學(xué)中運(yùn)用了基本迭代的想法。

假設(shè)的右邊“收斂”(收斂上的引號(hào)是因?yàn)檫€沒(méi)對(duì)算子的收斂性仔細(xì)加以定義)因此它收斂所趨近的算子是(I-K)的逆算子，這是因?yàn)閷?I-K)從任意一邊去乘都給出I，因此我們猜測(cè)，當(dāng)級(jí)數(shù)2021/5/924則可以證明：當(dāng)，那么由§5積分方程法

§5.4迭代解法

假設(shè):a)級(jí)數(shù)解收斂的條件：b)在[a,b]內(nèi)，有界，即c)存在，且等于一個(gè)有限的常數(shù)C.表示的諾依曼級(jí)數(shù)就收斂。但這絕不意味著要使諾依曼級(jí)數(shù)收斂，M就必須小于。很容易構(gòu)造出一些核，對(duì)于M大于但它的諾依曼級(jí)數(shù)仍然收斂。即該條件是保障諾依曼級(jí)數(shù)收斂的充分非必要條件。2021/5/925§5積分方程法

§5.5弗雷德霍姆解法

求解積分方程用弗雷德霍姆方法，可以得到上述方程一個(gè)更完善的級(jí)數(shù)解。通過(guò)細(xì)分積分區(qū)間，用求和代替積分，解得到的代數(shù)方程，然后討論無(wú)限多的細(xì)分的極限，結(jié)果得到積分方程的解為其中被稱(chēng)為解核，是兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的比2021/5/926§5積分方程法

§5.5弗雷德霍姆解法

其中而的定義為其中，行列式2021/5/927§5積分方程法

§5.5弗雷德霍姆解法

其中，行列式的定義為可以證明弗雷德霍姆解法的重要性在于其是收斂的，而不像諾依曼級(jí)數(shù)常是發(fā)散的，本征值可通