第四講 遠(yuǎn)期與期貨的定價(jià)原理

金融工程概論

2021/5/91第四講遠(yuǎn)期與期貨的定價(jià)原理遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的關(guān)系遠(yuǎn)期的定價(jià)遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)模型2021/5/92基本假設(shè)沒有交易費(fèi)用和稅收市場(chǎng)參與者能以相同的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金遠(yuǎn)期合約沒有違約風(fēng)險(xiǎn)允許現(xiàn)貨賣空行為當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，市場(chǎng)參與者將參與套利活動(dòng)期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率2021/5/93符號(hào)2021/5/94概念遠(yuǎn)期價(jià)格：使得遠(yuǎn)期合約價(jià)值為零的交割價(jià)格遠(yuǎn)期價(jià)值是指遠(yuǎn)期合約本身的價(jià)值

關(guān)于遠(yuǎn)期價(jià)值的討論要分遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)和簽訂后兩種情形

－在簽訂遠(yuǎn)期合約時(shí)，如果信息是對(duì)稱的，而且合約雙方對(duì)未來(lái)的預(yù)期相同，對(duì)于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價(jià)格應(yīng)使遠(yuǎn)期價(jià)值在簽署合約時(shí)等于零。

－在遠(yuǎn)期合約簽訂以后，由于交割價(jià)格不再變化，多空雙方的遠(yuǎn)期價(jià)值將隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化而變化。2021/5/95遠(yuǎn)期的定價(jià)無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)2021/5/96無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值

例：構(gòu)建如下兩種組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭f

加上一筆數(shù)額為K的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)S

根據(jù)無(wú)套利原則，這兩種組合在t時(shí)刻的價(jià)值必須相等

f+K=Sf=S－K

2021/5/97無(wú)收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)2021/5/98現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價(jià)定理例如：考慮一個(gè)股票遠(yuǎn)期合約，標(biāo)的股票不支付紅利。合約的期限是3個(gè)月，假設(shè)標(biāo)的股票現(xiàn)在的價(jià)格是30元，連續(xù)復(fù)利的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為4%。那么這份遠(yuǎn)期合約的合理交割價(jià)格應(yīng)該為：如果市場(chǎng)上該合約的交割價(jià)格為30.10元，則套利者可以賣出股票并將所得收入以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，期末可以獲得30.30－30.10＝0.20元。反之，如果市場(chǎng)上的遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格大于30.30元，套利者可以借錢買入股票并賣出遠(yuǎn)期合約，期末也可以獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的利潤(rùn)。2021/5/99支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約定價(jià)的一般方法

例：構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為K的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、期限為從現(xiàn)在到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負(fù)債。f+K=S－If=S－I－K2021/5/910支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價(jià)公式遠(yuǎn)期價(jià)格（F）就是使合約價(jià)值（f）為零的交割價(jià)格（K）即當(dāng)f=0時(shí)，K=F，F(xiàn)=(S－I)

證明（反證法）2021/5/911現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價(jià)公式例：假設(shè)黃金的現(xiàn)價(jià)為每盎司450美元，其存儲(chǔ)成本為每年每盎司2美元，在年底支付，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為7%。則一年期黃金遠(yuǎn)期價(jià)格為：

F=(450－I)其中，I=－2

=－1.865，故：

F=(450+1.865)

=484.6美元/盎司2021/5/912支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為K的現(xiàn)金組合B：?jiǎn)挝蛔C券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的已知收益率2021/5/913支付已知收益率資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價(jià)公式遠(yuǎn)期價(jià)格（F）就是使合約價(jià)值（f）為零的交割價(jià)格（K）即當(dāng)f=0時(shí)，K=F，

證明（反證法）2021/5/914現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價(jià)公式例：A股票現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是25美元，年平均紅利率為4％，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10％，若該股票6個(gè)月的遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為27美元，求該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值及遠(yuǎn)期價(jià)格:

遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值遠(yuǎn)期價(jià)格2021/5/915遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)模型持有成本模型風(fēng)險(xiǎn)收益模型2021/5/916持有成本模型完全市場(chǎng)假設(shè)下的期貨定價(jià)投資性資產(chǎn)期貨合約的定價(jià)消費(fèi)性資產(chǎn)期貨合約的定價(jià)非完全市場(chǎng)情況下的期貨定價(jià)存在交易成本的時(shí)候借貸存在利差的時(shí)候存在賣空限制的時(shí)候2021/5/917完全市場(chǎng)假設(shè)下的期貨定價(jià)投資性資產(chǎn)期貨合約的定價(jià)持有成本＝保存成本＋利息成本－標(biāo)的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)提供的收益如果我們用C表示持有成本，那么，投資性資產(chǎn)的期貨價(jià)格就為：2021/5/918完全市場(chǎng)假設(shè)下的期貨定價(jià)2021/5/919非完全市場(chǎng)情況下的期貨定價(jià)

存在交易成本的時(shí)候：假定每一筆交易的費(fèi)率為Y，那么不存在套利機(jī)會(huì)的遠(yuǎn)期價(jià)格就不再是確定的值，而是一個(gè)區(qū)間：2021/5/920非完全市場(chǎng)情況下的期貨定價(jià)

借貸存在利差的時(shí)候：如果用表示借入利率，用表示借出利率，對(duì)非銀行的機(jī)構(gòu)和個(gè)人，一般是。這時(shí)遠(yuǎn)期和期貨的價(jià)格區(qū)間為：2021/5/921非完全市場(chǎng)情況下的期貨定價(jià)

存在賣空限制的時(shí)候：假設(shè)保證金比例為X，那么均衡的遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間應(yīng)該是：2021/5/922

如果上述三種情況同時(shí)存在，遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間應(yīng)該是：完全市場(chǎng)可以看成是的特殊情況。2021/5/923羅斯等證明：當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率恒定，且對(duì)所有到期日都不變時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等當(dāng)利率變化無(wú)法預(yù)測(cè)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格就不相等遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異幅度還取決于合約有效期的長(zhǎng)短。遠(yuǎn)期和期貨的價(jià)格關(guān)系2021/5/924風(fēng)險(xiǎn)收益模型●例如，市場(chǎng)預(yù)期某一不易保存的商品3個(gè)月后的現(xiàn)貨市場(chǎng)價(jià)格為$10，而當(dāng)前市場(chǎng)上3個(gè)月后到期的該商品的期貨價(jià)格為$12。假設(shè)市場(chǎng)預(yù)期是準(zhǔn)確的，則投機(jī)者可以通過賣出該期貨合約，等合約到期時(shí)再?gòu)默F(xiàn)貨市場(chǎng)上買入該商品進(jìn)行實(shí)物交割，從而獲得$2的投機(jī)利潤(rùn)。反之，如果當(dāng)前市場(chǎng)上該商品期貨合約的價(jià)格為$8，則投機(jī)者可以通過買入該期貨合約，待合約到期時(shí)接受實(shí)物交割，再拿到現(xiàn)貨市場(chǎng)上去賣，從而獲得$2的投機(jī)利潤(rùn)。2021/5/925期貨價(jià)格與預(yù)期即期價(jià)格預(yù)期即期價(jià)格：市場(chǎng)對(duì)于在將來(lái)某時(shí)刻資產(chǎn)的即期價(jià)格的一般觀點(diǎn)。2021/5/926期貨價(jià)格與預(yù)期即期價(jià)格凱恩斯和?？怂梗喝绻麑?duì)沖者傾向于持有短頭寸而投機(jī)者傾向于持有長(zhǎng)頭寸，則資產(chǎn)期貨價(jià)格會(huì)低于預(yù)期即期價(jià)格。反之，資產(chǎn)期貨價(jià)格會(huì)高于預(yù)期即期價(jià)格。2021/5/927期貨價(jià)格與預(yù)期即期價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)與收益學(xué)說(shuō)：當(dāng)期貨標(biāo)的資產(chǎn)存在系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，期貨價(jià)格并非預(yù)期即期價(jià)格的無(wú)偏估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)資產(chǎn)期望收益率k與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r期貨價(jià)格F與預(yù)期即期價(jià)格E(S)無(wú)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)k=rF=E(S)正系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)k>rF>E(S)負(fù)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)K<rF<E(S)2021/5/928期貨價(jià)格與預(yù)期即期價(jià)格正常期貨溢價(jià)（遠(yuǎn)期貼水）:期貨價(jià)格低