冪函數(shù)講義 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

.3冪函數(shù)1、冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)。2、冪函數(shù)的特征：①的系數(shù)為；②的底數(shù)是自變量；③的指數(shù)為常數(shù)。同時滿足以上三個條件才是冪函數(shù)。3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減4、特定冪函數(shù)的性質(zhì)：①函數(shù)，，，和的圖像都通過點(diǎn)（，）；②函數(shù)，，是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)；③在區(qū)間（，）上，函數(shù)，，，單調(diào)遞增，函數(shù)是單調(diào)遞減。④在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖像向上與軸無限接近，向右與軸無限接近。⑤在（，）上，冪函數(shù)中越大，函數(shù)圖像越靠近軸；在（，）上冪函數(shù)中越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離軸。5、單調(diào)區(qū)間：當(dāng)為整數(shù)時，的正負(fù)性和奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性。①當(dāng)為正奇數(shù)時，圖像在定義域?yàn)閮?nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)為正偶數(shù)時，圖像在定義域?yàn)榈诙笙迌?nèi)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)為負(fù)奇數(shù)時，圖像在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減（但不能說在定義域內(nèi)單調(diào)遞減）；④當(dāng)為負(fù)偶數(shù)時，圖像在第二象限上單調(diào)遞增，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。⑤，在第一象限內(nèi)遞增；，在第一象限內(nèi)遞減。6、冪函數(shù)圖象的特點(diǎn)、性質(zhì)：①如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，那么交點(diǎn)一定是原點(diǎn)。②冪函數(shù)的圖象最多只能經(jīng)過兩個象限內(nèi)；冪函數(shù)的圖象一定會經(jīng)過第一象限，一定不會經(jīng)過第四象限，是否經(jīng)過第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性。冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限（圖象關(guān)于軸對稱）；冪函數(shù)是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱）；冪函數(shù)是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限。③過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在（，）都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)（，）。④單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在（，）上為增函數(shù)。如果，則冪函數(shù)的圖象在（，）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸。⑤奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)。當(dāng)（其中互質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)，則是非奇非偶函數(shù)。⑥圖象特征：冪函數(shù)，（，），當(dāng)時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方；當(dāng)時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方。⑦在第一象限，作直線，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列。7、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：我們規(guī)定，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是且。我們規(guī)定，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是且。我們規(guī)定，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。【題型1】判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)A根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y＝2x2 B．y=1x2 C．y＝﹣x﹣1 D．2．下列函數(shù)中，y=1x3，y＝2x+1，y＝x3+xA．1 B．2 C．3 D．43．現(xiàn)有下列函數(shù)：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝aA．1 B．2 C．3 D．44．若函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xm+1是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝（）A．0 B．1 C．2 D．1或25．已知函數(shù)f（x）＝（a2﹣a﹣1）x1a?2為冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)A．﹣1或2 B．﹣2或1 C．﹣1 D．1【題型2】求冪函數(shù)的解析式1．已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，16），則f（x）＝（）A．x4 B．x3 C．x6 D．x52．若冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，316)，則函數(shù)fA．f(x)=x43 C．f(x)=x?43．已知點(diǎn)（a3，2）在冪函數(shù)f（x）＝（a﹣1）xb的圖象上，則（）A．f（x）＝x﹣1 B．f(x)=2xC．f（x）＝x3 D．f(x)=4．已知點(diǎn)（m，116）在冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xnA．f（x）＝x﹣2 B．f（x）＝x﹣4 C．f（x）＝x2 D．f（x）＝x45．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m＝（）A．﹣1 B．1 C．3 D．2【題型3】求冪函數(shù)的值1．已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），則f（16）＝（）A．18 B．14 C．42．若冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)(2，2)，則A．2 B．?2 C．2 3．冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象過點(diǎn)(12，A．2 B．2 C．12 D．4．若f（x）是冪函數(shù)，且滿足f(4)f(2)=4，則fA．﹣4 B．4 C．?12 5．已知冪函數(shù)f（x）滿足f(6)f(2)=4，則f（A．2 B．14 C．?1【題型4】求冪函數(shù)的定義域1．已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)(2，2)，則f（A．R B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）2．若冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，19A．{x|x∈R，x＞0} B．{x|x∈R，x＜0} C．{x|x∈R，且x≠0} D．R3．下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)镽的冪函數(shù)是（）A．y=x34 B．y=x?12 C．y4．若冪函數(shù)y=(m2?2m?2)x?m2+m+3的定義域?yàn)閧A．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝35．已知冪函數(shù)y＝﹣3αxα，則此函數(shù)的定義域?yàn)椋绢}型5】求冪函數(shù)的值域1．已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(diǎn)(8,4)，則f(x)=xA．?∞,0 B．?∞,0C．0,+∞ D．0,+∞2．下列函數(shù)中，值域?yàn)?0,+∞)的是（

）A．y=x2 B．y=2x C．3．下列函數(shù)中，值域?yàn)?,+∞的是（

A．fx=xC．fx=14．冪函數(shù)y=fx的圖象過點(diǎn)2,2，則函數(shù)y=x?fxA．?∞,+∞ B．?∞,15．函數(shù)y=x23+2x【題型6】冪函數(shù)的圖象1．冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），則冪函數(shù)y＝f（x）的圖象是（）A． B． C． D．2．函數(shù)y=xA． B． C． D．3．函數(shù)y=xA．B．C．D．4．如圖是冪函數(shù)y＝xα的部分圖像，已知α分別取13、3、﹣3、?13這四個值，則與曲線C1、C2、C3、C4A．3，13，?13，﹣3 B．﹣3，?1C．?13，3，﹣3，13 D．3，5．冪函數(shù)y＝x﹣1及直線y＝x，y＝1，x＝1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如圖所示），則冪函數(shù)y=xA．①，⑦ B．④，⑧ C．③，⑦ D．①，⑤【題型7】冪函數(shù)的單調(diào)性1．下列冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減的是（）A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x﹣12．已知冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(diǎn)(1A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）3．若冪函數(shù)f（x）＝（2m2﹣3m﹣1）xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則m＝（）A．2 B．12 C．?14．已知函數(shù)f(x)=(m2?m?1)A．2 B．﹣1 C．4 D．2或﹣15．已知冪函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則f（x）的解析式可以是（）A．f(x)=x12 B．f(x)=x23 C．f（x）＝x﹣2 D．【題型8】冪函數(shù)的奇偶性1．下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）A．y=3x B．y=1x2 C．y＝22．冪函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為減函數(shù)的是（）A．f（x）＝x﹣2 B．f(x)=x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝x3．設(shè)α∈{?1，1，12，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽A．﹣1，1，3 B．12，1 C．﹣1，3 4．冪函數(shù)y=x2mA．0 B．1 C．0或1 D．25．冪函數(shù)f（x）＝（m2+5m﹣5）xm2?3m（m∈Z）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6【題型9】由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小1．已知a=243，b=A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b2．設(shè)a=1.2A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a3．若a=(12)23，b=(1A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c4．已知a=243，b=A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．若a＝20.4，b＝30.3，c＝40.2，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．c＝a＞b D．b＞a＝c當(dāng)堂檢測一．選擇題（共8小題）1．冪函數(shù)y＝f（x）經(jīng)過點(diǎn)（3，3），則f（x）是（）A．偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù) C．奇函數(shù)，且在（0，+∞）是減函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)2．函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是冪函數(shù)，且在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2 3．y=xA．增函數(shù)且是奇函數(shù) B．增函數(shù)且是偶函數(shù) C．減函數(shù)且是奇函數(shù) D．減函數(shù)且是偶函數(shù)4．冪函數(shù)y＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在x∈（0，+∞）時為減函數(shù)，則m＝（）A．﹣1 B．2 C．0或1 D．﹣1或25．若f（x）是冪函數(shù)，且滿足f(4)f(2)=3，則A．3 B．﹣3 C．13 D．6．已知冪函數(shù)f（x）＝xm﹣2（m∈N）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，若(a+1)?m2A．（﹣1，3）B．（23，32）C．（﹣1，327．設(shè)a=(34)12，b=(4A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a8．函數(shù)f(x)=(m2?m?1)xm2+m?3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f(x1)?f(x2)x1?x2＞0，若aA．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷二．多選題（共4小題）（多選）9．已知冪函數(shù)f(x)=xmn(m，n∈N?，m，A．當(dāng)m，n都是奇數(shù)時，冪函數(shù)f（x）是奇函數(shù) B．當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)f（x）是偶函數(shù) C．當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)f（x）是偶函數(shù) D．當(dāng)0＜mn＜1時，冪函數(shù)f（多選）10．已知函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1A．f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，9） B．f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱 C．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減 D．f（x）在（0，+∞）內(nèi)的值域?yàn)椋?，+∞）（多選）11．已知冪函數(shù)f(x)=(m+9A．f(?32)=116 B．f（x）的定義域是C．f（x）是偶函數(shù) D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]（多選）12．已知函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm2+m?3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f(x1)?f(x2)x1?x2＞0．若A．a(chǎn)+b＞0，ab＜0 B．a(chǎn)+b＜0，ab＞0 C．a(chǎn)+b＜0，ab＜0 D．以上都可能三．填空題（共4小題）13．若冪函數(shù)y＝（m2﹣m﹣1）xm為偶函數(shù)，則m＝．14．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm滿足f（2）＜f（3），則m＝．15．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則滿足（a+1）m＞（3﹣2a）m成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為．16．已知冪函數(shù)f（x）＝xα（α為常數(shù)）過點(diǎn)（4，2），則f（a﹣3）+f（5﹣a）的最大值為．四．解答題（共6小題）17．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1為偶函數(shù)．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x）﹣ax﹣3在[1，3]上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．若冪函數(shù)f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1在其定義域上是增函數(shù)．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2﹣a）＜f（a2﹣4），求a的取值范圍．19．已知冪函數(shù)f(x)=(2m（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣2（a﹣1）x+1在區(qū)間[0，4]上的最大值為9，求實(shí)數(shù)a的值．20．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）xm的圖象關(guān)于y軸對稱，集合A＝{x|1﹣a＜x≤3a+1}．（1）求m的值；（2）當(dāng)x∈[22，2]時，f（x）的值域?yàn)榧螧，若x∈B是x∈A21．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m﹣17）xm﹣2的圖象關(guān)于y軸對稱．（1）求f（x）的解析式；（2）求函數(shù)g（x）＝f（2x）﹣4x2+3在[﹣1，2]上的值域．22．已知冪函數(shù)f(x)=(m2?2m+2)x5k?2（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），求x的取值范圍；（3）若實(shí)數(shù)a，b（a，b∈R+）滿足2a+3b＝7m，求3a+1課后作業(yè)一、單選題1．已知冪函數(shù)fx=m2?4m?4xmA．12 B．2 C．1322．已知冪函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)3,19，則函數(shù)gx=A．2 B．1 C．14 3．函數(shù)fx=m2?m?1xm2+m?3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈0,+∞，且x1A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷4．函數(shù)fx=1?xA．?∞,1 B．?∞,12∪12,15．函數(shù)y=x?1A．

B．

C．

D．

6．函數(shù)f(x)=(6?x?x2A．[?12,2] B．[?3,?12]7．若冪函數(shù)fx=x?m2+2m+259的圖象關(guān)于y軸對稱，fA．19 B．19或499 C．?138．設(shè)a=4512，b=5415，c=3A．c<a<b B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a二、多選題9．已知冪函數(shù)y=fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9,3)，則下列結(jié)論正確的有（

A．fx為偶函數(shù) B．fC．若x>1，則fx>1 D．若x10．已知函數(shù)fx=xα(α是常數(shù)），A．α=12 B．fxC．fx的定義域?yàn)?,+∞ D．在區(qū)間0,111．冪函數(shù)f(x)=(2m2+m?2)A．m=1 B．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)C．f(?2)<f(3) D．函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0,+12．若函數(shù)f(x)=m2?6m+9xmA．1 B．2 C．3 D．4三、填空題13．當(dāng)α∈R時，函數(shù)y=xα?2的圖象恒過定點(diǎn)A，則點(diǎn)14．已知函數(shù)fx=x13，則關(guān)于t15．已知冪函數(shù)y=fx的圖象過點(diǎn)(3，19)，且當(dāng)x∈12，16．若函數(shù)fx=m+4四、解答題17．已知冪函數(shù)fx=m2?6m+10(1)求m和n的值；(2)求滿足不等式2a+3?m318．已知函數(shù)fx(1)若fx是冪函數(shù)，求實(shí)數(shù)m，n，p(2)如果m≥1，n>0，且fx在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，求mn19．已知冪函數(shù)fx=3（1）求函數(shù)fx（2）解不等式f3x+220．已知冪函數(shù)f(x)=xm2?m?3(m∈N（1）求f(x)的解析式；（2）當(dāng)x∈[12,3]時，a≤x+2f(x)21．已知冪函數(shù)fx(1)求fx(2)若gx=fx?3x+4，求函數(shù)22．已知冪函數(shù)fx=m(1)求fx(2)若?x∈1,+∞，2x+afx3.3冪函數(shù)1、冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)。2、冪函數(shù)的特征：①的系數(shù)為；②的底數(shù)是自變量；③的指數(shù)為常數(shù)。同時滿足以上三個條件才是冪函數(shù)。3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減4、特定冪函數(shù)的性質(zhì)：①函數(shù)，，，和的圖像都通過點(diǎn)（，）；②函數(shù)，，是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)；③在區(qū)間（，）上，函數(shù)，，，單調(diào)遞增，函數(shù)是單調(diào)遞減。④在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖像向上與軸無限接近，向右與軸無限接近。⑤在（，）上，冪函數(shù)中越大，函數(shù)圖像越靠近軸；在（，）上冪函數(shù)中越大，函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離軸。5、單調(diào)區(qū)間：當(dāng)為整數(shù)時，的正負(fù)性和奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性。①當(dāng)為正奇數(shù)時，圖像在定義域?yàn)閮?nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)為正偶數(shù)時，圖像在定義域?yàn)榈诙笙迌?nèi)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)為負(fù)奇數(shù)時，圖像在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減（但不能說在定義域內(nèi)單調(diào)遞減）；④當(dāng)為負(fù)偶數(shù)時，圖像在第二象限上單調(diào)遞增，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。⑤，在第一象限內(nèi)遞增；，在第一象限內(nèi)遞減。6、冪函數(shù)圖象的特點(diǎn)、性質(zhì)：①如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，那么交點(diǎn)一定是原點(diǎn)。②冪函數(shù)的圖象最多只能經(jīng)過兩個象限內(nèi)；冪函數(shù)的圖象一定會經(jīng)過第一象限，一定不會經(jīng)過第四象限，是否經(jīng)過第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性。冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限（圖象關(guān)于軸對稱）；冪函數(shù)是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱）；冪函數(shù)是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限。③過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在（，）都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)（，）。④單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在（，）上為增函數(shù)。如果，則冪函數(shù)的圖象在（，）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸。⑤奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)。當(dāng)（其中互質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)，則是非奇非偶函數(shù)。⑥圖象特征：冪函數(shù)，（，），當(dāng)時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方；當(dāng)時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方。⑦在第一象限，作直線，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列。7、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：我們規(guī)定，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是且。我們規(guī)定，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是且。我們規(guī)定，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義?！绢}型1】判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)A根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y＝2x2 B．y=1x2 C．y＝﹣x﹣1 D．【解答】解：B項(xiàng)可化為y＝x﹣2，根據(jù)冪函數(shù)的概念，可知函數(shù)y＝x﹣2是冪函數(shù)，即函數(shù)y=1x2故選：B．2．下列函數(shù)中，y=1x3，y＝2x+1，y＝x3+xA．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)，故y=1x3=x?3，y=4x5=x5故選：B．3．現(xiàn)有下列函數(shù)：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝aA．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵形如y＝xα（α為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)，∴①y＝x3、⑥y＝x是冪函數(shù)，故①⑥滿足條件；而②y=(12)x、⑦y＝ax（顯然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是冪函數(shù)，故③④⑤不滿足條件；故其中冪函數(shù)的個數(shù)為2，故選：B．4．若函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xm+1是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝（m﹣1）xm+1是冪函數(shù)，所以m﹣1＝1，解得m＝2，故選：C．5．已知函數(shù)f（x）＝（a2﹣a﹣1）x1a?2為冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)A．﹣1或2 B．﹣2或1 C．﹣1 D．1【解答】解：因?yàn)閒（x）＝（a2﹣a﹣1）x1所以a2?a?1=1a?2≠0故選：C．【題型2】求冪函數(shù)的解析式1．已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，16），則f（x）＝（）A．x4 B．x3 C．x6 D．x5【解答】解：由題意可設(shè)f（x）＝xα，∵冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，16），∴2α＝16，解得α＝4，故f（x）＝x4．故選：A．2．若冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，316)，則函數(shù)fA．f(x)=x43 C．f(x)=x?4【解答】解：∴2a=316=23故選：A．3．已知點(diǎn)（a3，2）在冪函數(shù)f（x）＝（a﹣1）xb的圖象上，則（）A．f（x）＝x﹣1 B．f(x)=2xC．f（x）＝x3 D．f(x)=【解答】解：∵點(diǎn)（a3，2）在冪函數(shù)f（x）＝（a﹣1）xb的圖象上，∴a﹣1＝1，∴a＝2，且a3b＝23b＝2，∴3b＝1，b=13，f（x）故選：D．4．已知點(diǎn)（m，116）在冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xnA．f（x）＝x﹣2 B．f（x）＝x﹣4 C．f（x）＝x2 D．f（x）＝x4【解答】解：冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xn，可得m＝2，點(diǎn)（2，116）在冪函數(shù)f（x）＝xn的圖象上，可得n＝﹣4，故f（x）＝x﹣4故選：B．5．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣2的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則m＝（）A．﹣1 B．1 C．3 D．2【解答】解：令m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝﹣1或m＝3，當(dāng)m＝﹣1時，f（x）＝x﹣3的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，當(dāng)m＝3時，f（x）＝x的圖象經(jīng)過原點(diǎn)．故選：C．【題型3】求冪函數(shù)的值1．已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），則f（16）＝（）A．18 B．14 C．4【解答】解：由題意可設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，∵冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），∴4α＝2，解得α=1∴f（x）=x∴f（16）=16故選：C．2．若冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)(2，2)，則A．2 B．?2 C．2 【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，由題意得2α=2=2所以f(4)=4故選：C．3．冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象過點(diǎn)(12，A．2 B．2 C．12 D．【解答】解：∵冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象過點(diǎn)(1∴將點(diǎn)(12，22)代入冪函數(shù)f（x∴f（2）=2故選：A．4．若f（x）是冪函數(shù)，且滿足f(4)f(2)=4，則fA．﹣4 B．4 C．?12 【解答】解：f（x）是冪函數(shù)，可設(shè)f（x）＝xα，∵f(4)f(2)=22α2∴f（x）＝x2，∴f(1故選：D．5．已知冪函數(shù)f（x）滿足f(6)f(2)=4，則f（A．2 B．14 C．?1【解答】解：依題意，設(shè)f（x）＝xα，則f(6)f(2)所以f(1故選：B．【題型4】求冪函數(shù)的定義域1．已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)(2，2)，則f（A．R B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【解答】解：設(shè)f（x）＝xα，因?yàn)閒（x）的圖象過點(diǎn)(2，2)，所以2α則f(x)=x，所以f（x故選：C．2．若冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，19A．{x|x∈R，x＞0} B．{x|x∈R，x＜0} C．{x|x∈R，且x≠0} D．R【解答】解：由冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，19），可得：19=3α冪函數(shù)f（x）＝x﹣2，所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海ī仭蓿?）∪（0，+∞）．故選：C．3．下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)镽的冪函數(shù)是（）A．y=x34 B．y=x?12 C．y【解答】解：由于函數(shù)y=x34由于函數(shù)y=x?1由于函數(shù)y＝x﹣6=1x6的定義域?yàn)閧x|x由于函數(shù)y=x25=5故選：D．4．若冪函數(shù)y=(m2?2m?2)x?m2+m+3的定義域?yàn)閧A．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3【解答】解：函數(shù)y=(m則m2﹣2m﹣2＝1，即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝3或m＝﹣1；當(dāng)m＝3時，﹣m2+m+3＝﹣3，冪函數(shù)y＝x﹣3的定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，滿足題意；當(dāng)m＝﹣1時，﹣m2+m+3＝1，冪函數(shù)y＝x的定義域?yàn)镽，不滿足題意；所以m的值是3．故選：D．5．已知冪函數(shù)y＝﹣3αxα，則此函數(shù)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）．【解答】解：由冪函數(shù)y＝﹣3αxα，可得﹣3α＝1，解得a=?13，即則滿足x≠0，即冪函數(shù)y＝﹣3αxα的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）．【題型5】求冪函數(shù)的值域1．已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(diǎn)(8,4)，則f(x)=xA．?∞,0 B．?∞,0C．0,+∞ D．0,+∞【詳解】∵冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(diǎn)∴8α=4，解得α=∴f(x)的值域是0,+∞.故選：D.2．下列函數(shù)中，值域?yàn)?0,+∞)的是（

）A．y=x2 B．y=2x C．【詳解】A選項(xiàng)中，y=x2值域?yàn)锽選項(xiàng)中，y=2x值域?yàn)镃選項(xiàng)中，y=lnx值域?yàn)镈選項(xiàng)中，對勾函數(shù)y=x+1x，在?∞,?1上單調(diào)遞增，在?1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故值域?yàn)楣蔬x：B.3．下列函數(shù)中，值域?yàn)?,+∞的是（

A．fx=xC．fx=1【詳解】由已知f(x)=x值域?yàn)?,+∵x>0，∴fx=x+1f(x)=1x+1因?yàn)槎x域?yàn)閤∈?1,+∞，f(x)=1?1x(x>1)，1x∈故選：C.4．冪函數(shù)y=fx的圖象過點(diǎn)2,2，則函數(shù)y=x?fxA．?∞,+∞ B．?∞,1【詳解】設(shè)fx代入點(diǎn)2,2得∴a=1∴f則y=x?x12，令∴y=函數(shù)y=x?fx的值域是?故選：C.5．函數(shù)y=x23+2x【詳解】設(shè)t=x13，則y=t2+2t+4=(t+1)2+3【題型6】冪函數(shù)的圖象1．冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），則冪函數(shù)y＝f（x）的圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xa，∵冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（4，2），∴2＝4a，解得a=∴y=x當(dāng)0＜x＜1時，其圖象在直線y＝x的上方．對照選項(xiàng)．故選：C．2．函數(shù)y=xA． B． C． D．【解答】解：函數(shù)y=x23為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故D錯誤，當(dāng)x＝0時，y0＜23＜1，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y=x23的圖象增長速度變慢，故3．函數(shù)y=xA． B． C． D．【解答】解：研究函數(shù)y=x43知，其是一個偶函數(shù)，且在（0，+∞）上增，在（﹣∞，0）上減，由此可以排除C又函數(shù)的指數(shù)43＞1，故在（0，+∞）其遞增的趨勢越來越快，由此排除B，故故選A．故選：A．4．如圖是冪函數(shù)y＝xα的部分圖像，已知α分別取13、3、﹣3、?13這四個值，則與曲線C1、C2、C3、C4A．3，13，?13，﹣3 B．﹣3，?1C．?13，3，﹣3，13 D．3，【解答】解：根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，當(dāng)x＞1時，圖象越靠近x軸的指數(shù)越小，因此相應(yīng)于曲線C1、C2、C3、C4相應(yīng)的α依次為3，13，?故選：A．5．冪函數(shù)y＝x﹣1及直線y＝x，y＝1，x＝1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如圖所示），則冪函數(shù)y=xA．①，⑦ B．④，⑧ C．③，⑦ D．①，⑤【解答】解：取x=12得，y=(1再取x＝2得，y=212=故選：D．【題型7】冪函數(shù)的單調(diào)性1．下列冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減的是（）A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x﹣1【解答】解：函數(shù)y＝x在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故排除A；函數(shù)y＝x2在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故排除B；函數(shù)y＝x3在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故排除C；函數(shù)y＝x﹣1=1x在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，故故選：D．2．已知冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(diǎn)(1A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）【解答】解：根據(jù)冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(diǎn)(1得(12)所以函數(shù)y＝x﹣2，x≠0；所以函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．故選：D．3．若冪函數(shù)f（x）＝（2m2﹣3m﹣1）xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則m＝（）A．2 B．12 C．?1【解答】解：由冪函數(shù)的定義可知，2m2﹣3m﹣1＝1，即2m2﹣3m﹣2＝0，解得m＝2或m=?1當(dāng)m＝2時，f（x）＝x2，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)m=?12時，f(x)=x故選：C．4．已知函數(shù)f(x)=(m2?m?1)A．2 B．﹣1 C．4 D．2或﹣1【解答】解：冪函數(shù)f(x)=(m令m2﹣m﹣1＝1，得m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1；當(dāng)m＝2時，m2﹣2m﹣2＝﹣2，函數(shù)f（x）＝x﹣2，在（0，+∞）上是減函數(shù)，滿足題意；當(dāng)m＝﹣1時，m2﹣2m﹣2＝1，函數(shù)f（x）＝x，在（0，+∞）上是增函數(shù)，不滿足題意；所以實(shí)數(shù)m＝2．故選：A．5．已知冪函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則f（x）的解析式可以是（）A．f(x)=x12 B．f(x)=x23 C．f（x）＝x﹣2 D．【解答】解：對于選項(xiàng)A，函數(shù)f（x）=x12的定義域?yàn)閇0，+∞），因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)f（x對于選項(xiàng)B，函數(shù)f（x）=x23又因?yàn)閒（﹣x）=3(?x)2=3x2因?yàn)?3＞0，所以f（x）=x對于選項(xiàng)C，函數(shù)f（x）＝x﹣2=1x2又因?yàn)閒（﹣x）=1(?x)2=1x2因?yàn)椹?＜0，所以f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故C正確；對于選項(xiàng)D，函數(shù)f（x）＝x﹣3=1x3又因?yàn)閒（﹣x）=1(?x)3=?1x3=?f故選：C．【題型8】冪函數(shù)的奇偶性1．下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）A．y=3x B．y=1x2 C．y＝2【解答】解：由冪函數(shù)的定義知，y＝2x2，y＝x+1x不是冪函數(shù)，y=3x=x1∵f（﹣x）=(?x)13=?x13∵y=1x2故選：A．2．冪函數(shù)y＝f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為減函數(shù)的是（）A．f（x）＝x﹣2 B．f(x)=x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝x【解答】解：冪函數(shù)y＝f（x）＝x﹣2為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為減函數(shù)的，故A正確；冪函數(shù)y＝f（x）=x是非奇非偶函數(shù)，故B冪函數(shù)y＝f（x）＝x2為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)，故C錯誤；冪函數(shù)y＝f（x）＝x3是奇函數(shù)，故D錯誤．故選：A．3．設(shè)α∈{?1，1，12，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽A．﹣1，1，3 B．12，1 C．﹣1，3 【解答】解：當(dāng)a＝﹣1時，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，不滿足定義域?yàn)镽；當(dāng)a＝1時，函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，滿足要求；當(dāng)a=12函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥0}，不滿足定義域?yàn)楫?dāng)a＝3時，函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，滿足要求；故選：D．4．冪函數(shù)y=x2mA．0 B．1 C．0或1 D．2【解答】解：冪函數(shù)y=x所以2m2﹣3m﹣2＜0，?12＜m當(dāng)m＝0時，2m2﹣3m﹣2＝﹣2，滿足題意；當(dāng)m＝1時，2m2﹣3m﹣2＝﹣3，不滿足題意；所以m＝0．故選：A．5．冪函數(shù)f（x）＝（m2+5m﹣5）xm2?3m（m∈Z）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6【解答】解：∵冪函數(shù)f（x）＝（m2+5m﹣5）xm2?3m（m∈∴m2+5m?5=1m故選：B．【題型9】由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小1．已知a=243，b=A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由題意，a=2b=3c=25∵9＜16＜25，∴39故選：A．2．設(shè)a=1.2A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵a=1.212，c=1.112，b=0.9?∴1.212＞(109)故選：D．3．若a=(12)23，b=(1A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵y=x∴a=(∵y=(∴a=(12)23＜c=故選：D．4．已知a=243，b=A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a=2c=2512=∴b＜a＜c．故選：A．5．若a＝20.4，b＝30.3，c＝40.2，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．c＝a＞b D．b＞a＝c【解答】解：a＝20.4＝40.2＝c，∵c＝40.2=415=161又∵冪函數(shù)y=x∴b＞c，∴b＞a＝c，故選：D．當(dāng)堂檢測一．選擇題（共8小題）1．冪函數(shù)y＝f（x）經(jīng)過點(diǎn)（3，3），則f（x）是（）A．偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù) C．奇函數(shù)，且在（0，+∞）是減函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)【解答】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式為：y＝xα，將（3，3）代入解析式得：3α=3，解得α=∴y=x故選：D． 2．函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是冪函數(shù)，且在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣1或2【解答】解：要使函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是冪函數(shù)，且在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，則m2解得：m＝2．故選：B．3．y=xA．增函數(shù)且是奇函數(shù) B．增函數(shù)且是偶函數(shù) C．減函數(shù)且是奇函數(shù) D．減函數(shù)且是偶函數(shù)【解答】解：考查冪函數(shù)y=x∵35＞0，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)故選：A．4．冪函數(shù)y＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3在x∈（0，+∞）時為減函數(shù)，則m＝（）A．﹣1 B．2 C．0或1 D．﹣1或2【解答】解：由題意知：m2?m?1=1?5m?3＜0故選：B．5．若f（x）是冪函數(shù)，且滿足f(4)f(2)=3，則A．3 B．﹣3 C．13 D．【解答】解：設(shè)f（x）＝xa，∵f(4)f(2)=3，∴4a2a=2a＝3，∴a＝log23，∴故選：C．6．已知冪函數(shù)f（x）＝xm﹣2（m∈N）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，若(a+1)?m2A．（﹣1，3） B．（23，C．（﹣1，32） D．（﹣∞，﹣1）∪（2【解答】解：∵冪函數(shù)f（x）＝xm﹣2（m∈N）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且（0，+∞）上是減函數(shù)，所以m﹣2＜0，因?yàn)閙∈N，所以m＝0或m＝1，∴當(dāng)m＝0時，0﹣2＝﹣2，圖象關(guān)y軸對稱，不滿足題意；當(dāng)m＝1時，1﹣2＝﹣1，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，滿足題意，∴不等式(a+1)?m2因?yàn)楹瘮?shù)y=x?12在（0，+∞）上遞減，所以a+1＞0，3﹣2a＞0，解得23＜a＜32，即實(shí)數(shù)故選：B．7．設(shè)a=(34)12，b=(4A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：a=(34)12=且0＜827＜9所以(8所以c＜a；綜上知，c＜a＜b．故選：A．8．函數(shù)f(x)=(m2?m?1)xm2+m?3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f(x1)?f(x2)x1?x2＞0，若aA．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【解答】解：由已知函數(shù)f(x)=(m2?m?1)xm2+m?3是冪函數(shù)，可得m2當(dāng)m＝2時，f（x）＝x3；當(dāng)m＝﹣1時，f（x）＝x﹣3．對任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f(x∴m＝2，f（x）＝x3．a(chǎn)+b＞0，ab＜0，可知a，b異號，且正數(shù)的絕對值大于負(fù)數(shù)的絕對值，則f（a）+f（b）恒大于0．故選：A．二．多選題（共4小題）（多選）9．已知冪函數(shù)f(x)=xmn(m，n∈N?，m，A．當(dāng)m，n都是奇數(shù)時，冪函數(shù)f（x）是奇函數(shù) B．當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)f（x）是偶函數(shù) C．當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)f（x）是偶函數(shù) D．當(dāng)0＜mn＜1時，冪函數(shù)f【解答】解：∵冪函數(shù)f(x)=xmn(m，n∈N故m，n都是奇數(shù)時，冪函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故A正確；當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故B正確；當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)f（x）不一定是偶函數(shù)，如y=x12當(dāng)0＜mn＜1時，冪函數(shù)f（x故選：AB．（多選）10．已知函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1A．f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，9） B．f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱 C．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減 D．f（x）在（0，+∞）內(nèi)的值域?yàn)椋?，+∞）【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)(13，3)，∴(∴f（x）＝x﹣1=1顯然，當(dāng)x＝3時，f（x）=13，故顯然，f（x）不是偶函數(shù)，故它的圖象不關(guān)于y軸對稱，故B錯誤．在（0，+∞）上，f（x）=1x是減函數(shù)，故在（0，+∞）內(nèi)，f（x）=1x∈（0，+∞），故故選：CD． （多選）11．已知冪函數(shù)f(x)=(m+9A．f(?32)=116 B．f（x）的定義域是C．f（x）是偶函數(shù) D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]【解答】解：冪函數(shù)f(x)=(m+95)xm，∴m∴f（x）=x?4∵f（﹣32）=(?32)?4f（x）=x又∵f（﹣x）=15(?x)4=15x4∵f（x）=x?45，∴不等式f（x﹣1）≥f（2）等價于f（|x﹣1|）≥f（2），∴x?1≠0|x?1|≤2解得：﹣1≤x＜1，或1＜x≤3，故選項(xiàng)D故選：ACD．（多選）12．已知函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm2+m?3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f(x1)?f(x2)x1?x2＞0．若A．a(chǎn)+b＞0，ab＜0 B．a(chǎn)+b＜0，ab＞0 C．a(chǎn)+b＜0，ab＜0 D．以上都可能【解答】解：∵對任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，滿足f(x∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∵f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm2+m?3是冪函數(shù)，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝﹣1或若m＝﹣1，則f（x）＝x﹣3，不符合題意；若m＝2，則f（x）＝x3，符合題意；故f（x）＝x3，則f（x）在R上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)；對于選項(xiàng)A，∵a+b＞0，∴a＞﹣b，∴f（a）+f（b）＝f（a）﹣f（﹣b）＞0，故不符合題意；對于選項(xiàng)B，當(dāng)a＝b＝﹣1時，a+b＜0，ab＞0，且f（a）+f（b）＝﹣2＜0，當(dāng)a＝﹣2，b＝1時，a+b＜0，ab＜0，且f（a）+f（b）＝﹣8+1＝﹣7＜0，故符合題意；對于選項(xiàng)C，當(dāng)a＝﹣2，b＝1時，a+b＜0，ab＜0，且f（a）+f（b）＝﹣8+1＝﹣7＜0，故符合題意；對于選項(xiàng)D，顯然不符合題意；故選：BC．三．填空題（共4小題）13．若冪函數(shù)y＝（m2﹣m﹣1）xm為偶函數(shù)，則m＝2．【解答】解：∵冪函數(shù)y＝（m2﹣m﹣1）xm為偶函數(shù)，∴m2?m?1=1m=2k，k∈Z故答案為：2．14．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm滿足f（2）＜f（3），則m＝3．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm為冪函數(shù)，則m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝3或m＝﹣1，又因?yàn)閒（2）＜f（3），所以m＝3，故答案為：3．15．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則滿足（a+1）m＞（3﹣2a）m成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為(23【解答】解：由冪函數(shù)的定義可知，m2﹣3m+3＝1，解得：m＝1或2，又∵冪函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴m＝2，原不等式化為：（a+1）2＞（3﹣2a）2，整理得：3a2﹣14a+8＜0，解得：23故答案為：（2316．已知冪函數(shù)f（x）＝xα（α為常數(shù)）過點(diǎn)（4，2），則f（a﹣3）+f（5﹣a）的最大值為2．【解答】解：∵冪函數(shù)f（x）＝xα（α為常數(shù)）過點(diǎn)（4，2），∴4α＝2，∴α=12，f（x）則f（a﹣3）+f（5﹣a）=a?3+5?a∴f（a﹣3）+f（5﹣a）=a?3+5?a∵（a?3+5?a）2＝a﹣3+5﹣a+2?a∴當(dāng)a＝4時，（a?2+5?a）∴a?2+∴f（a﹣3）+f（5﹣a）的最大值為2．故答案為：2．四．解答題（共6小題）17．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1為偶函數(shù)．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x）﹣ax﹣3在[1，3]上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）由題意m2﹣5m+7＝1，解得：m＝2或3，若f（x）是偶函數(shù)，故f（x）＝x2；（2）g（x）＝f（x）﹣ax﹣3＝x2﹣ax﹣3，g（x）的對稱軸是x=a若g（x）在[1，3]上不是單調(diào)函數(shù)，則1＜a2＜即a的取值范圍是（2，6）．18．若冪函數(shù)f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1在其定義域上是增函數(shù)．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2﹣a）＜f（a2﹣4），求a的取值范圍．【解答】解：（1）由函數(shù)f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1是冪函數(shù)，所以2m2+m﹣2＝1，解得m＝1或m=?3當(dāng)m＝1時，f（x）＝x3，在定義域R上是增函數(shù)，滿足題意；當(dāng)m=?32時，f（x）＝x所以m＝1，f（x）＝x3．（2）由f（x）＝x3，在定義域R上是增函數(shù)，所以不等式f（2﹣a）＜f（a2﹣4）等價于2﹣a＜a2﹣4，化簡得a2+a﹣6＞0，解得a＜﹣3或a＞2，所以a的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．19．已知冪函數(shù)f(x)=(2m（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣2（a﹣1）x+1在區(qū)間[0，4]上的最大值為9，求實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是冪函數(shù)，∴2m2﹣m﹣2＝1，解得：m=32，或m=32時，f（x）＝xm＝﹣1時，f（x）＝x2；綜上，函數(shù)f（x）是解析式是f（x）＝x2；（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣2（a﹣1）x+1＝x2﹣2（a﹣1）x+1，對稱軸是x＝（a﹣1），函數(shù)圖像開口向上，（1）a﹣1≤2即a≤3時，f（x）max＝f（4）＝16﹣8a+9＝9，解得：a＝2，（2）a﹣1＞2即a＞3時，f（x）max＝f（0）＝1，不合題意，故a＝2．20．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）xm的圖象關(guān)于y軸對稱，集合A＝{x|1﹣a＜x≤3a+1}．（1）求m的值；（2）當(dāng)x∈[22，2]時，f（x）的值域?yàn)榧螧，若x∈B是x∈A【解答】解：（1）由冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）xm，可知m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2，當(dāng)m＝1時，f（x）＝x的圖象不關(guān)于y軸對稱，舍去，當(dāng)m＝2時，f（x）＝x2的圖象關(guān)于y軸對稱，滿足條件，因此，m＝2．（2）當(dāng)x∈[﹣1，2]時，f（x）的值域?yàn)閇12，4]由題意知B?A，得1?a＜3a+11?a＜12所以a的取值范圍為[1，+∞）．21．已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m﹣17）xm﹣2的圖象關(guān)于y軸對稱．（1）求f（x）的解析式；（2）求函數(shù)g（x）＝f（2x）﹣4x2+3在[﹣1，2]上的值域．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝（m2﹣3m﹣17）xm﹣2是冪函數(shù)，所以m2﹣3m﹣17＝1，解得m＝6或m＝﹣3．又f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以m＝6，故f（x）＝x4．（2）由（1）可知，g(x)=16x因?yàn)閤∈[﹣1，2]，所以x2∈[0，4]，所以16(x故g（x）在[﹣1，2]上的值域?yàn)閇1122．已知冪函數(shù)f(x)=(m2?2m+2)x5k?2（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），求x的取值范圍；（3）若實(shí)數(shù)a，b（a，b∈R+）滿足2a+3b＝7m，求3a+1【解答】解：（1）∵冪函數(shù)f(x)=(m2?2m+2)x5k?2∴m2﹣2m+2＝1，且5k﹣2k2為正偶數(shù)，∴m＝1，k＝2，故f（x）＝x2．（2）∵f（2x﹣1）＜f（2﹣x），∴|2x﹣1|＜|2﹣x|，∴4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，即3x2＜3，求得﹣1＜x＜1．（3）若實(shí)數(shù)a，b（a，b∈R+）滿足2a+3b＝7m＝7，∴2（a+1）+3（b+1）＝12，即112[2（a+1）+3（b則3a+1+2b+1=112[2（a+1）+3（b+1）]?（3＝1+112（4?a+1b+1+9?b+1a+1）≥1+當(dāng)且僅當(dāng)4?a+1b+1=9?b+1a+1時，即2a故3a+1課后作業(yè)一、單選題1．已知冪函數(shù)fx=m2?4m?4xmA．12 B．2 C．132【詳解】因?yàn)閒x所以m2?4m?4=1，即m2?4m?5=0，解得當(dāng)m=?1時，fx=x當(dāng)m=5時，fx=x所以冪函數(shù)fx的解析式為f所以f2故選：D.2．已知冪函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)3,19，則函數(shù)gx=A．2 B．1 C．14 【詳解】設(shè)f∴gx=x?1由于y=?t2+t在區(qū)間1∴?t2+tmax故選：C.3．函數(shù)fx=m2?m?1xm2+m?3是冪函數(shù)，對任意x1，x2∈0,+∞，且x1A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【詳解】因?yàn)閷θ我鈞1，x2∈0,+∞，且x1≠由已知fx=m2?m?1xm當(dāng)m=2時，fx=x當(dāng)m=?1時，fx=x故m=?1，fx=x因?yàn)閍<0<b，a<b，所以0<?a<b，所以所以?fa>fb4．函數(shù)fx=1?xA．?∞,1 B．?∞,12∪12,1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式組，由此可解得函數(shù)fx【詳解】因?yàn)閒x則有1?x>02x?1≠0，解得x<1且x≠12，因此f故選：B.5．函數(shù)y=x?1A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)直接判斷即可.【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)知：y=x?1∴ABC錯誤，D正確.故選：D.6．函數(shù)f(x)=(6?x?x2A．[?12,2] B．[?3,?12]【詳解】f(x)=6?x?由6?x?x2≥0得?3≤x≤2所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為?故選：A．7．若冪函數(shù)fx=x?m2+2m+259的圖象關(guān)于y軸對稱，fA．19 B．19或499 C．?13【詳解】由題意知fx是偶函數(shù)，因?yàn)閒x在?∞又?m2+2m+259=?(m?1)故選：D．8．設(shè)a=4512，b=5415，c=3A．c<a<b B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a【詳解】因?yàn)閍=4512=又0<2764<12<1625<1故選：A．二、多選題9．已知冪函數(shù)y=fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9,3)，則下列結(jié)論正確的有（

A．fx為偶函數(shù) B．fC．若x>1，則fx>1 D．若x【詳解】將點(diǎn)(9,3)代入函數(shù)f(x)=xα得：2=4α，則∴f(x)的定義域?yàn)閇0,+∞)，所以函數(shù)f(x)在定義域[0,+∞當(dāng)x>1時，x>1，即f(x)>1若x2fx=x=2x即fx故選：BCD.10．已知函數(shù)fx=xα(α是常數(shù)），A．α=12 B．fxC．fx