專題07導數與隱零點問題（練）【解析版】

第一篇熱點、難點突破篇專題07導數與隱零點問題（練）【對點演練】一、單選題1．（2022·重慶高三階段練習）若函數有極值點，，且，則關于x的方程的不同實數根個數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】求導數，由題意知是方程的兩根，從而關于的方程有兩個根，作出草圖，由圖像可得答案.【詳解】，對于有是方程的兩根令，則，，，不妨設，利用有兩根，所以，根據三次函數的性質，可以畫出的圖像，如圖所示，又因為，所以由圖可知，有1個解，有2個解故選：A．2．（2022·江蘇南京·模擬預測）已知函數（），且在有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用零點的意義等價轉化，構造函數，再借助導數探討函數在有兩個零點作答.【詳解】，，由得，，則，令，依題意，函數在有兩個零點，顯然，而在上單調遞增，則有，當或，即或時，在上單調遞增或單調遞減，即有函數在只有一個零點1，因此，此時當時，，當時，，函數在上單調遞減，在單調遞增，則，要函數在有兩個零點，當且僅當在上有一個零點，即有，解得，所以的取值范圍.故選：C3．（2022·四川瀘州·一模（理））已知函數，若方程恰好有三個不等的實數根，則實數k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將問題轉化為與的圖象有三個交點的問題，利用導數判斷的單調性，數形結合，即可求得結果.【詳解】當時，，故不是方程的根；當時，方程恰好有三個不等的實數根即與的圖象有個交點；又，當時，，故當時，單調遞減，在時，單調遞增；當，時，；時，；且；又當時，，故在單調遞減，當，時，；時，；故在同一坐標系下，的圖象如下所示：數形結合可得，當，即時滿足題意，故的取值范圍為.故選：D.二、多選題4.（2022·福建泉州·高三開學考試）設函數，則下列判斷正確的是（）A．存在兩個極值點B．當時，存在兩個零點C．當時，存在一個零點D．若有兩個零點，則【答案】BD【分析】利用導數與極值點的關系可判斷A，利用與圖像結合條件可判斷BC，根據零點的概念結合不等式的性質可判斷D.【詳解】因為函數的定義域為，，設，，且方程的兩根之積為，在上有一個正根，設為，在上，，函數單調遞增，在上，，函數單調遞減，所以存在一個極大值點，A錯誤；令，即，函數的零點即為與的交點，如圖所示：函數圖像與軸的交點為，當時，與有兩個不同的交點，即存在兩個零點，B正確；當時，與有兩個不同的交點，所以當時，存在一個零點，此說法不正確，C錯誤；若有兩個零點，假設，則有即兩式相減得：，，則，，，所以，即，D正確.故選：BD.5．（2022·山東菏澤·高三期中）已知函數，，設方程的3個實根分別為，，，且，則的值可能為（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用導數研究的單調性、極值及區(qū)間值域，由題設可知在上必有兩個不等的實根(假設)且，結合的性質有且，，進而求目標式的值，即可確定答案.【詳解】由題設，的定義域為，且，∴當時，，即遞減；當時，，即遞增.∴，又在上逐漸變小時逐漸趨近于0，當時且隨趨向于0，趨向無窮大.（如圖2）∴的圖象如圖1、圖2：圖1圖2∵的定義域為，由可得：在上必有兩個不等的實根(假設)且，∴令，要使的3個實根，則、，即，可得.∴由知：，，∴.故選：BC.【點睛】首先應用導數研究的性質，根據有3個實根，則在上必有兩個不等的實根，結合的值域求m的范圍且、，即可求目標式的范圍.三、填空題6．（2022·全國·高三階段練習（理））已知函數有兩個極值點，則實數a的取值范圍為____________．【答案】【分析】根據極值點的定義，求導求零點，將問題轉化為兩函數求交點問題，可得答案.【詳解】解：因為函數有兩個極值點，所以方程有兩個不同的實數根，即有兩個不同的解．令，則函數的圖象與直線有兩個不同的交點．因為，令，得．所以當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增．所以．所以當時，；當時，．所以函數的圖象與的圖象有兩個不同的交點的充要條件是：，即．故實數a的取值范圍為．故答案為：.7．（2023·廣東廣州·高三階段練習）方程有唯一的實數解，實數的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據給定條件，構造函數，利用導數探討函數單調性，結合零點存在性定理求解作答.【詳解】令函數，依題意，函數有唯一零點，求導得，當時，，無零點，當時，，函數在上單調遞增，，當且時，，則在上存在唯一零點，因此，當時，當時，，當時，，函數在上遞減，在上遞增，，當且僅當，即時，在上存在唯一零點，因此，所以實數的取值范圍為.故答案為：8．（2022·廣東·高三階段練習）已知，函數，若函數無零點，則實數a的取值范圍是______．【答案】【分析】先將的解析式代入并求得的解析式，將無零點等價轉化為無零點，再通過求導判斷的單調性和最值，將其等價轉化為，據此求得實數a的取值范圍.【詳解】∵，無零點，即無實根．∴無實根．令，則，由，得；，得．∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴．而時，，時，，∴若無零點，需，即．又，∴.故答案為：．9．（2022·全國·模擬預測）已知函數的圖象與函數的圖象有且僅有一個公共點，則實數的取值范圍是______．【答案】【分析】令，由于有且僅有一個零點，所以分，,討論的單調性即可.【詳解】由題知，構造新函數，等價轉化令，則，由題意知有且僅有一個零點．，①當時，令，解得；令，解得．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取得極小值，且．又因為，且當越小時，越大，所以有兩個零點．②當時，，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取得極小值，且，又因為，且當時，，所以只有一個零點．③當時，由，得或，當時，，則、上，上，所以、上遞增，上遞減；故極大值為，極小值為；當時，，此時，在R上，即遞增，故無極值；當時，，則、上，上，所以、上遞增，上遞減；故極大值為，極小值為；又，，當趨于負無窮時，接近負無窮，當趨于正無窮時，接近正無窮，綜上，只有一個零點．綜上所述，，即實數的取值范圍為．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由函數的零點、圖象的交點求參數的值（或取值范圍）問題，往往需要對參數分類討論，如何劃分討論的區(qū)間是思維的難點．由于這類問題涉及函數的單調區(qū)間，因此分類的標準是使函數在指定的區(qū)間內其導數的符號是確定的.四、解答題10．（2022·河南·高三階段練習（理））已知函數（）(1)當時，有兩個實根，求取值范圍；(2)若方程有兩個實根，且，證明：【答案】(1)取值范圍是(2)證明見解析【分析】（1）利用導數求得的單調區(qū)間，由此求得的取值范圍.（2）將方程有兩個實根轉化為有兩個不相等的零點，由此列方程，將證明轉化為證明，解得或導數證得不等式成立.【詳解】（1）的定義域為，，在上單調遞增，所以的取值范圍是.（2）的定義域為，有兩個不相等的實數根，令，由（1）知在上遞增，則，則有兩個不相等的零點，，，.要證，只需證，即證，即證，，故只需證，不妨設，令，則只需證，只需證，令，，所以，即當時，成立.所以，即，所以.【點睛】利用導數證明不等式，主要的方法是通過已知條件，劃歸與轉化所要證明的不等式，然后通過構造函數法，結合導數來求所構造函數的取值范圍來證得不等式成立.【沖刺提升】一、單選題1．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級高三階段練習）已知函數，下列說法中錯誤的是（

）A．函數在原點處的切線方程是B．是函數的極大值點C．函數在上有3個極值點D．函數在上有3個零點【答案】C【分析】由導數的幾何意義求出切線方程判斷A，由導數確定函數的單調性，極值點判斷B，由的性質判斷其與函數的圖象的交點個數判斷D．利用導數確定極值點個數判斷C．【詳解】，，又，所以切線方程是，即，A正確；或時，，時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，因此是極大值點，B正確；顯然1是極小值點，，，時，，時，，，，，在上遞增，在和上遞減，因此與的圖象有3個交點，即有3個零點，D正確；設，，令，則，設，則恒成立，所以是增函數，而，所以時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，，易知，所以存在兩個零點，由的單調性知這兩個零點就是的兩個極值點，C錯．故選：C．2．（2022·四川·達州外國語高三階段練習（理））若關于的方程有三個不等的實數解，且，其中，為自然對數的底數，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則有，令函數，畫出其圖象，結合圖象可得關于的方程一定有兩個實根，且，，即可求解．【詳解】解：由關于的方程，令，則有，令函數，則，當時，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，其圖象如下：要使關于的方程有3個不相等的實數解，，，且，結合圖象可得關于的方程一定有兩個實根，，且，，由韋達定理知，，，，又，可得，故選：B．3．（2022·天津·南開高三階段練習）設函數①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是④方程的不同實根的個數只能是1，2，3，6四個結論中，正確的結論個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作出的圖像，利用函數與方程之間的關系，分析問題，即可得出答案．【詳解】解：對于①：作出的圖像如下：若方程有四個不同的實根，，，，則，不妨設，則，是方程的兩個不等的實數根，，是方程的兩個不等的實數根，所以，，所以，所以，所以，故①正確；對于②：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故②錯誤；對于③：方程的實數根的個數，即為函數與的交點個數，因為恒過坐標原點，當時，有3個交點，當時最多2個交點，所以，當與相切時，設切點為，即，所以，解得，所以，所以，所以當與相切時，即時，此時有4個交點，若有4個實數根，即有4個交點，當時由圖可知只有3個交點，當時，令，，則，則當時，即單調遞增，當時，即單調遞減，所以當時，函數取得極大值即最大值，，又及對數函數與一次函數的增長趨勢可知，當無限大時，即在和內各有一個零點，即有5個實數根，故③錯誤；對于④：，所以，所以或，由圖可知，當時，的交點個數為2，當，0時，的交點個數為3，當時，的交點個數為4，當時，的交點個數為1，所以若時，則，交點的個數為個，若時，則，交點的個數為3個，若，則，交點有個，若且時，則且，交點有個，若，交點有1個，綜上所述，交點可能有1，2，3，6個，即方程不同實數根1，2，3，6，故④正確；故選：B．二、多選題4．（2022·河北·邢臺高一階段練習）已知，設，，其中，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，則【答案】ABD【分析】作出函數的圖像,當時，即，可推得即，判斷A，結合基本不等式可判斷B;取特殊值，舉反例，可判斷C;由，，可得為的兩個解，說明，即，可判斷D.【詳解】作出函數的圖像如圖示：由于，，其中，故，不能同時為0，當時，即，，則，，故，A正確；由可得（，取不到等號），即，B正確；取，則，即，符合題意，故C錯誤；若，，則，由，可得，說明為的兩個解，設，則，又單調遞增，當時，，遞增，故，即此時，當時，由，可得，由于，故，由于遞增，即存在唯一的，使得，當時，，遞減，當時，，遞增，故，而，故此時，綜合上述，說明的零點僅有0和1，即，即，則，故D正確，故選：.5．（2022·海南昌茂花園高三階段練習）已知函數，其中，均為實數，則下列說法錯誤的是（

）A．若，則為奇函數B．若，則為奇函數C．若，則方程有一個實數根D．若，則方程（為實數）可能有兩個不同的實數根【答案】ABC【分析】根據函數的結構特點，可利用特殊值檢驗法推出選項A、B不正確，根據時的表達式得出的解析式，然后利用導數研究出函數的單調性，求得極值，畫出圖像，利用數形結合可得C、D的正誤.【詳解】對于A，時，若，則，此時，即函數的圖象可由函數的圖象先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到，易知函數為奇函數，故函數的圖象不關于原點對稱，所以A不正確；對于B，，時，滿足，此時，的圖象不關于原點對稱，所以B不正確；若，則，，求導可得，易知，，當時，，當時，，故函數在，上單調遞增，在，上單調遞減，所以在處取得極大值，為，在處取得極小值，為.如下圖，結合圖象對于C，方程有一個實數根，等價于函數與函數有一個交點，由圖可得C不正確，對于D，方程可能有兩個不同的實數根，等價于函數與函數有兩個交點，由圖可得當時，方程可能有兩個不同的實數根，所以D正確.故選：ABC.6．（2022·全國·模擬預測）已知方程有兩個不同的根，，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】首先等式變形，并構造函數，利用導數判斷函數的單調性，以及結合零點存在性定理，求的取值范圍，判斷AB；首先構造函數，利用導數判斷函數的單調性，并假設，利用函數的單調性，比較自變量的大小，即可判斷C;變形不等式得到，再結合C的判斷，即可判斷D.【詳解】A，B選項：方程等價于方程，構造函數，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則，因此只需滿足，即．當時，，，由以上可知，當時，分別在，上各有一個零點，（零點存在定理的應用）則方程有兩個不同的根，，因此選項A正確，選項B錯誤；C選項：構造函數，則，因此在上單調遞減，易知，假設,則，即成立，又，則，因此，即，因此選項C正確；D選項：由即，得，不一定成立，故選項D錯誤．故選：AC7．（2022·山東·濟南高一階段練習）已知函數的零點為，函數的零點為，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】注意到，又可得在單調遞增，則有，后由零點存在性定理可得范圍.，之后判斷各選項正誤即可得答案..【詳解】，又函數的零點為，則，其中.，得在上單調遞增，又其有零點，則為其唯一零點.又，得.注意到，，則，且.對于A，因，，則，故A正確.對于B，因，則.令.在上單調遞減，則，得在上單調遞增.則，即，故B錯誤.對于C選項，因，，則，故.則由基本不等式結合有：，故C正確.對于D選項，因，則，由C選項分析可知.則令，.得在上單調遞增，故，即.故D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題涉及函數零點，構造函數證明不等式，需注意以下兩點:（1）若題目中同時出現與，常通過使出現相同結構.（2）對于雙變量問題，常利用消元思想轉化為關于一個未知數的問題.三、填空題8．（2022·江蘇省江浦高級高三階段練習）已知函數在上有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為______.【答案】【分析】先利用同構得到，換元后得到，參變分離得到有兩個不同的根，構造，求導得到其單調性，極值和最值情況，得到函數圖象，數形結合得到，解出答案即可.【詳解】由題意得有兩個不同的根，即有兩個不同的根，變形為，即，令，則，其中令，，恒成立，故在單調遞增，得到，故有兩個不同的根，令，則，，當時，，當時，，故在處取得極大值，也是最大值，，且當時，，當時，，畫出的圖象如下圖：故時，有兩個不同的根，解得：.故答案為：.【點睛】導函數求解參數取值范圍，當函數中同時出現與，通常使用同構來進行求解，本題難點是變形得到，即從而構造進行求解.四、解答題9．（2019·天津·高考真題（文））設函數，其中.（Ⅰ）若，討論的單調性；（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個零點（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.【答案】（I）在內單調遞增.；（II）（i）見解析；（ii）見解析.【分析】（I）；首先寫出函數的定義域，對函數求導，判斷導數在對應區(qū)間上的符號，從而得到結果；（II）（i）對函數求導，確定函數的單調性，求得極值的符號，從而確定出函數的零點個數，得到結果；（ii）首先根據題意，列出方程組，借助于中介函數，證得結果.【詳解】（I）解：由已知，的定義域為，且，因此當時，，從而，所以在內單調遞增.（II）證明：（i）由（I）知，，令，由，可知在內單調遞減，又，且，故在內有唯一解，從而在內有唯一解，不妨設為，則，當時，，所以在內單調遞增；當時，，所以在內單調遞減，因此是的唯一極值點.令，則當時，，故在內單調遞減，從而當時，，所以，從而，又因為，所以在內有唯一零點，又在內有唯一零點1，從而，在內恰有兩個零點.（ii）由題意，，即，從而，即，因為當時，，又，故，兩邊取對數，得，于是，整理得，【點睛】本小題主要考查導數的運算、不等式證明、運用導數研究函數的性質等基礎知識和方法，考查函數思想、化歸與轉化思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力.10．（2022·江西·金溪高三階段練習（文））已知函數，．(1)設，當a＝3，b＝5時，求F（x）的單調區(qū)間；(2)若g（x）有兩個不同的零點，，求證：．【答案】(1)單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）代入a，b的值，求的單調區(qū)間；（2）分離參數得，研究的單調性得，再將所證變形為由比值代換法令可轉化成，研究的單調性即可證明.【詳解】（1）當，時，，的定義域為，∴，令，解得或，令，解得，∴的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為．（2）由得：，令∴在有兩個交點.由得：，由得：∴在上單增，在上單減，又∵，，當時，由于，是方程的實根，∴，不妨設由，，∴，，∴，．要證：，只需證：，即證：，即證：．設，則，代入上式得：．∴只需證：設，則，∴在上單調遞增，∴，∴，故．【點睛】極值點偏移問題的解法(1)(對稱化構造法)構造輔助函數：對結論型，構造函數；對結論型，構造函數，通過研究F(x)的單調性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數不等式，利用函數單調性證明．11．（2022·河北邯鄲·高三階段練習）已知函數.(1)求的圖象在處的切線方程；(2)已知在上的最大值為，討論關于x的方程在內的根個數，并加以證明.【答案】(1)(2)關于x的方程在內有兩個不相等的實數根，證明見解析【分析】（1）由函數解析式，求導，并求出該點處的函數值與導數值，根據切線方程的求法，可得答案；（2）由（1）分三種情況，